Escalas, unidades y modelos comparables

La coherencia dimensional debe comprobarse antes de integrar una ecuación diferencial. Sumar magnitudes incompatibles, ocultar una escala decisiva dentro de un parámetro o comparar experimentos con unidades distintas altera el modelo antes del cálculo numérico. El análisis dimensional evita esos errores y, además, revela qué combinaciones de parámetros controlan de verdad la evolución. Una buena adimensionalización no elimina la física: separa lo esencial de la elección de metros, segundos o voltios.

Balances físicos y consistencia dimensional

Si una variable $x$ representa una longitud, entonces $\dot x$ tiene dimensiones $LT^{-1}$ y $\ddot x$ tiene dimensiones $LT^{-2}$. En una igualdad, todos los términos que se suman deben pertenecer a la misma dimensión. Por ejemplo, en

$$m\ddot x+c\dot x+kx=F(t),$$

la masa $m$ tiene dimensión $M$, el coeficiente viscoso $c$ tiene dimensión $MT^{-1}$ y la rigidez $k$ tiene dimensión $MT^{-2}$. Los cuatro términos son fuerzas. Esta comprobación no demuestra que el modelo describa bien un resorte real, pero detecta de inmediato una ecuación imposible, como $m\ddot x+c x+k\dot x=F(t)$ si se conservan las unidades anteriores.

También conviene distinguir dimensión y unidad. Longitud es una dimensión; metro, centímetro y pulgada son unidades. Cambiar de unidad modifica los números, no la relación física. Un parámetro adimensional, en cambio, conserva su valor bajo un cambio coherente de unidades. Por eso resulta idóneo para comparar dispositivos.

Fuchs introduce una EDO como una regla que relaciona el estado, su cambio y los parámetros del sistema; esa separación ayuda a no confundir una coordenada con la constante que fija su escala Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 1, §§1.2-1.4, pp. 6-10 .

Selección de escalas y balances dominantes

Supongamos que $X$ es una amplitud característica y $T$ un tiempo característico. Escribimos

$$x(t)=X,u(s),\qquad t=T,s.$$

La regla de la cadena da

$$\dot x=\frac{X}{T}u',\qquad \ddot x=\frac{X}{T^2}u'',$$

donde las primas se refieren al tiempo sin unidades $s$. Sustituir estas expresiones no es todavía adimensionalizar: aún hay que dividir por una magnitud de referencia y escoger $X,T$ de modo que algunos coeficientes se vuelvan uno.

No existe una escala universalmente correcta. Si interesa el periodo de un oscilador, se toma su frecuencia natural. Si interesa el decaimiento viscoso, puede ser más informativo usar el tiempo de relajación. Las dos elecciones describen el mismo sistema, pero destacan balances distintos. La decisión debe acompañarse por una frase física: “comparo inercia con elasticidad” es más útil que “tomo $T=1$”.

Escalamiento del péndulo físico

Un péndulo de masa $m$, longitud $\ell$, amortiguamiento rotacional $c$ y torque periódico $\tau_0\cos(\Omega t)$ satisface

$$m\ell^2\ddot\theta+c\dot\theta+mg\ell\sin\theta =\tau_0\cos(\Omega t).$$

El ángulo es adimensional. Al comparar inercia y gravedad aparece la escala

$$T_0=\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$$

Tomamos $s=t/T_0$. Como $d/dt=T_0^{-1}d/ds$, al dividir la ecuación por $mg\ell$ se obtiene

$$\theta''+\gamma\theta'+\sin\theta=A\cos(\omega s),$$

con

$$\gamma=\frac{c}{m\ell^2}\sqrt{\frac{\ell}{g}},\qquad A=\frac{\tau_0}{mg\ell},\qquad \omega=\Omega\sqrt{\frac{\ell}{g}}.$$

Ahora cada término carece de unidades. $\gamma$ compara la disipación durante un tiempo gravitacional; $A$ compara el torque aplicado con el torque gravitacional máximo; $\omega$ compara la frecuencia externa con la frecuencia natural. Decir que el forzamiento es “rápido” significa $\omega\gg1$, no que $\Omega$ sea grande en alguna unidad aislada.

Si dos péndulos tienen los mismos valores de $(\gamma,A,\omega)$ y parten del mismo $(\theta,\theta')$, comparten la misma trayectoria adimensional. Sus movimientos medidos en segundos pueden tener periodos distintos, pues cada uno recupera el tiempo físico mediante su propio $T_0$.

Teorema Pi y grupos adimensionales

Cuando intervienen numerosas variables, el teorema $\Pi$ de Buckingham da una cuenta previa. Si hay $n$ magnitudes y sus dimensiones se generan con $r$ dimensiones básicas independientes, pueden formarse $n-r$ grupos adimensionales independientes. El teorema restringe la forma de una relación, aunque no determina su función.

Considérese la fuerza de arrastre $D$ sobre un cuerpo que depende de densidad $\rho$, rapidez $V$, longitud $L$ y viscosidad dinámica $\mu$. Las dimensiones básicas son $M,L,T$. Hay cinco magnitudes y rango dimensional tres, por lo que esperamos dos grupos. Una elección habitual es

$$C_D=\frac{D}{\rho V^2L^2},\qquad \mathrm{Re}=\frac{\rho VL}{\mu}.$$

La relación desconocida puede escribirse $C_D=\Phi(\mathrm{Re})$. Este resultado no calcula $\Phi$, pero indica cómo ordenar datos de cuerpos geométricamente semejantes. Si los puntos no colapsan sobre una curva, falta una variable, cambia la geometría o se violó una hipótesis.

El procedimiento algebraico consiste en crear una matriz de exponentes dimensionales y hallar su espacio nulo. Cada vector del núcleo produce un monomio sin unidades. La base no es única: dos investigadores pueden usar grupos diferentes y describir la misma información mediante transformaciones invertibles.

Escalamiento de la ecuación logística

El modelo dimensional

$$\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)$$

usa una población $P$, una tasa $r$ con dimensión $T^{-1}$ y una capacidad $K$ con la misma unidad que $P$. Definimos $u=P/K$ y $s=rt$. Entonces

$$\frac{du}{ds}=u(1-u).$$

La familia con dos parámetros se reduce a una sola ecuación. $K$ fija la escala vertical y $1/r$ fija la horizontal; ninguno cambia la forma adimensional. Hirsch, Smale y Devaney construyen el modelo logístico y después muestran cómo la cosecha introduce un control que sí modifica el número y la estabilidad de los equilibrios Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 1, §§1.2-1.3, pp. 4-10 .

Si se agrega una extracción constante $H$,

$$\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)-H,$$

el mismo cambio produce

$$\frac{du}{ds}=u(1-u)-h,\qquad h=\frac{H}{rK}.$$

La dinámica cualitativa depende de $h$, no de $H$ por separado. El máximo crecimiento natural adimensional es $1/4$; por tanto, el umbral $h=1/4$ separa dos equilibrios, uno doble y ausencia de equilibrio positivo. La reducción permite comparar pesquerías con poblaciones y ritmos muy distintos.

Escalamiento del estado y condicionamiento numérico

En un sistema multivariable, una temperatura puede variar diez unidades mientras una concentración cambia $10^{-8}$. Aplicar una única tolerancia absoluta a ambas coordenadas equivale a exigir precisiones físicas incompatibles. Una transformación

$$x_i=X_i u_i$$

lleva las variables a órdenes comparables, pero las tolerancias deben volver a interpretarse al recuperar unidades. El escalamiento puede mejorar el condicionamiento; no corrige una matriz intrínsecamente mal condicionada ni justifica resultados sin estudio de convergencia.

También afecta la presentación de datos. Un error adimensional $|u-u_h|$ se transforma en $X|u-u_h|$. Si sólo se informa el primero, no se sabe si el error físico es un micrómetro o un kilómetro. Todo informe reproducible conserva las escalas de ida y vuelta.

Zill desarrolla los modelos diferenciales mediante la identificación de variables y supuestos, la formulación de las ecuaciones y la comprobación de la solución; sus ejemplos de mezclas, crecimiento y movimiento permiten practicar esta traducción sin confundir el cálculo con la validación física Zill, 2009 Dennis G. Zill (2009) Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 9.ª ed. · Cengage Learning Ubicación consultada: cap. 1, §1.3, pp. 19-32; cap. 3, pp. 82-113 .

Límites dominantes y términos pequeños

Una vez adimensionalizada la ecuación, un parámetro pequeño adquiere significado. En

$$\varepsilon u''+u'+u=0,$$

$\varepsilon$ compara la escala inercial con la disipativa. Poner $\varepsilon=0$ reduce el orden de la ecuación y elimina una condición inicial; por eso el límite puede contener una capa temporal rápida. “Pequeño” no siempre significa “descartable en todo instante”. Antes de eliminar un término hay que preguntar qué balance sostiene y en qué región deja de ser menor.

Strogatz usa formas reducidas para estudiar familias completas de flujos escalares; esa estrategia funciona porque los cambios de variables conservan el orden de los puntos y hacen visible el parámetro que altera la geometría Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 2, §§2.0-2.3, pp. 15-29 .

El crecimiento logístico con cosecha muestra por qué no todos los parámetros desempeñan el mismo papel. La escala de tiempo y la capacidad de carga fijan unidades; la cosecha adimensional sí puede crear o destruir equilibrios y, por tanto, cambiar el retrato de fase. Esta separación entre estado, trayectoria, escala y parámetro sigue la terminología de Fuchs Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 1, §§1.3-1.5, pp. 7-12 y permite comparar modelos escritos con unidades distintas sin confundir equivalencia dimensional con equivalencia dinámica.

Ejercicios: balances y grupos adimensionales

1. Comprueba las unidades de todos los términos del oscilador masa-resorte-amortiguador y deriva $u''+2\zeta u'+u=0$ usando $T=\sqrt{m/k}$. Interpreta $\zeta=c/(2\sqrt{mk})$.
2. Adimensionaliza la ley de enfriamiento $C\dot T=-hA(T-T_a)$ y explica qué tiempo de relajación aparece.
3. Construye la matriz dimensional del problema de arrastre y verifica que los dos grupos propuestos pertenecen a su núcleo.
4. Para la logística con cosecha, deduce el umbral $h=1/4$ y tradúcelo de nuevo a una condición sobre $H$.
5. Propón escalas para un circuito RLC y compara la elección basada en $\sqrt{LC}$ con la basada en $L/R$.
6. Diseña tolerancias físicas para un estado con posición, velocidad y temperatura; después conviértelas a variables adimensionales.

La compatibilidad entre términos, las escalas recuperables y la interpretación de cada grupo sin unidades dejan el modelo reducido en condiciones de ser analizado. Solo entonces su campo de direcciones representa una familia física bien definida, no una colección arbitraria de flechas.