Métodos topológicos para ecuaciones diferenciales no lineales

Objetivos

• Formular shooting y aplicaciones de Poincaré para problemas escalares y planares.
• Calcular grado de Brouwer y aplicar continuación y teoremas de punto fijo.
• Usar Schauder, Leray–Schauder y Lyapunov–Schmidt en problemas de frontera y resonancia.

1. 01

   Shooting escalar, cotas a priori y Picard

   Probar existencia en problemas escalares mediante valores intermedios, truncación, condición de Hartman, Poincaré, sub y supersoluciones y Picard.

   Actividad evaluable: Problema periódico y problema de Dirichlet resueltos mediante shooting con cotas explícitas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
2. 02

   Shooting planar, índice y condiciones de Lazer–Leach

   Extender el disparo a dos dimensiones y trabajar con condiciones periódicas, índice de curvas, resonancia y condiciones de Lazer–Leach.

   Actividad evaluable: Argumento de existencia planar apoyado por índice y comprobación numérica del disparo. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
3. 03

   Grado de Brouwer

   Definir el grado mediante normalización, aditividad, homotopía y cálculo local, y justificar sus consecuencias de existencia.

   Actividad evaluable: Cálculo de grado por valores regulares y homotopía con frontera controlada. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
4. 04

   Grado de Brouwer en contorno, problemas discretos y continuación

   Aplicar grado a problemas de contorno y discretos y formular teoremas de continuación sin ceros sobre la frontera.

   Actividad evaluable: Problema de contorno convertido en aplicación finito-dimensional y continuado por homotopía. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
5. 05

   Banach, contracción, derivada de Fréchet y función implícita

   Construir el marco funcional, probar contracción y usar diferenciación de Fréchet y función implícita.

   Actividad evaluable: Aplicación funcional con derivada, inversa lineal y vecindad de unicidad verificadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
6. 06

   Promediado, resonancias, multiplicadores y bifurcación

   Relacionar promediado, resonancias múltiples, extremos ligados, multiplicadores de Lagrange y ramas de soluciones.

   Actividad evaluable: Ecuación reducida con condición de resonancia y rama local de soluciones calculadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
7. 07

   Iteración, sub y supersoluciones y función de Green

   Construir iteraciones monótonas y operadores de Green para problemas de frontera en espacios funcionales.

   Actividad evaluable: Iteración funcional con intervalo ordenado, convergencia y residuo del contorno. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
8. 08

   Schauder, Kakutani y condición de Nagumo

   Probar compacidad mediante equicontinuidad y usar cotas de derivadas, sub y supersoluciones y el teorema de Schauder.

   Actividad evaluable: Operador compacto construido y verificado antes de aplicar punto fijo. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
9. 09

   Retardo, Rothe, Schaefer y Schauder implícito

   Tratar operadores con retardo, continuidad compacta, prolongación y cotas a priori en dimensión infinita.

   Actividad evaluable: Operador con retardo sometido a una cota uniforme y a una alternativa de continuación. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
   10 h
10. 10

    Leray–Schauder y reducción de Lyapunov–Schmidt

    Extender el grado a perturbaciones compactas de la identidad y tratar resonancia, multiplicidad, separación, biorreactores y promediado de Kepler.

    Actividad evaluable: Problema resonante reducido y resuelto mediante grado con todas las hipótesis identificadas. Distribución de la carga: 2 h desarrollo conceptual · 2 h ejemplos guiados · 1 h lectura contrastada · 4 h práctica · 1 h evidencia evaluable.
    10 h