Retardo, teoremas de Rothe y Schaefer y Schauder implícito

Una ecuación con retardo no determina el futuro a partir de un solo vector. En

$$u'(t)=F(t,u(t),u(t-\tau)),\qquad \tau>0,$$

conocer $u(0)$ no basta: para calcular el término retrasado durante el primer intervalo se necesita toda la historia $u(t)$ para $-\tau\le t\le0$. El estado natural es, por tanto, el segmento

$$u_t(\theta)=u(t+\theta),\qquad -\tau\le\theta\le0,$$

que pertenece al espacio de Banach $C([ -\tau,0],\mathbb R^m)$. Esta sustitución conceptual —de puntos por historias— explica por qué los métodos de punto fijo resultan especialmente adecuados: la evolución completa puede representarse como un operador sobre un espacio de funciones.

El reto no consiste sólo en escribir ese operador. Hay que demostrar que es continuo, que convierte conjuntos acotados en conjuntos relativamente compactos y que ninguna solución de una familia auxiliar escapa al infinito. Los teoremas de Rothe y Schaefer empaquetan esas tres tareas de maneras diferentes. La versión implícita de Schauder permite, además, conservar una parte de la ecuación dentro de un operador que no conviene invertir globalmente.

El estado es una historia

Sea $\varphi\in C([ -\tau,0],\mathbb R^m)$ una historia prescrita y supongamos que $F$ es continua y localmente Lipschitz en las variables de estado. El problema inicial se escribe

$$u(t)=\varphi(0)+\int_0^t F(s,u(s),u(s-\tau))\,ds, \qquad 0\le t\le\tau,$$

mientras que $u(s-\tau)=\varphi(s-\tau)$ en ese primer intervalo. Una vez calculado $u$ en $[0,\tau]$, la misma fórmula permite avanzar a $[\tau,2\tau]$. Este método de pasos reduce sucesivamente el problema con retardo a problemas ordinarios, pero no resuelve por sí solo una condición global como periodicidad o contorno.

Para buscar una solución $T$-periódica es mejor trabajar en

$$X=C_T(\mathbb R,\mathbb R^m), \qquad \|u\|_\infty=\max_{0\le t\le T}|u(t)|.$$

El desplazamiento $S_\tau u(t)=u(t-\tau)$ es una isometría de $X$. Si la parte lineal $Lu=u'+au$ posee inversa periódica, la ecuación

$$u'(t)+au(t)=f(t,u(t),u(t-\tau))$$

equivale a $u=K N(u)$, donde $N(u)(t)=f(t,u(t),u(t-\tau))$ y $K=L^{-1}$. La continuidad de $S_\tau$ y de $f$ hace continuo a $N$; el operador $K$ regulariza, pues integra y produce familias equicontinuas. Así aparece la compacidad que Schauder requiere. El capítulo sexto de Amster usa precisamente el retardo para mostrar que la monotonía puntual puede perderse aunque sobreviva la formulación compacta. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 6, §§6.4.3–6.4.4, pp. 259–264 Abrir fuente

Por qué la monotonía exige cuidado

En una EDO escalar sin retardo, dos soluciones ordenadas no se cruzan bajo hipótesis estándar de unicidad. Con retardo, el signo de $u(t)-v(t)$ no controla el de $u(t-\tau)-v(t-\tau)$ si no conocemos el orden de las historias completas. Una condición útil es la cuasimonotonía: para historias $\phi\le\psi$ con $\phi(0)=\psi(0)$ se pide

$$F(t,\phi)\le F(t,\psi).$$

Entonces el semiflujo en el espacio de historias puede preservar el orden. Sin esa hipótesis, aplicar iteración monótona sólo porque $f$ crece respecto de su segunda variable es incorrecto: también debe examinarse la variable retrasada.

Hay otra sutileza. El mapa de retorno de una ecuación con retardo actúa sobre un espacio infinito-dimensional: envía una historia inicial a la historia observada un periodo después. Una gráfica planar puede orientar la intuición, pero no demuestra compacidad ni permite calcular directamente un índice de Brouwer.

Teorema de Rothe: controlar la frontera de una bola

Una forma útil del teorema de Rothe afirma lo siguiente. Sea $B_R$ la bola cerrada de radio $R$ en un espacio de Banach y sea $T:B_R\to X$ continuo y compacto. Si

$$T(\partial B_R)\subset B_R,$$

es decir, $\|Tu\|\le R$ cuando $\|u\|=R$, entonces $T$ tiene un punto fijo en $B_R$. Existen variantes con desigualdad estricta o con una condición radial equivalente. La idea es modificar radialmente $T$ para que envíe toda la bola en sí misma y aplicar Schauder; la condición de frontera impide que un punto fijo de la retracción sea espurio.

La ventaja práctica es que no es necesario demostrar $T(B_R)\subset B_R$. Puede bastar una estimación mejor justo cuando $u$ alcanza el tamaño crítico. Para una ecuación escalar, esa estimación suele proceder de evaluar la ecuación en un máximo o de multiplicarla por $u$ e integrar. Si $u$ es periódica y alcanza un máximo positivo en $t_0$, entonces $u'(t_0)=0$; una condición disipativa como

$$x f(t,x,y)<0\quad\text{para } |x|\ge R, |y|\le R$$

puede excluir soluciones en la frontera, aunque la presencia de $y=u(t_0-\tau)$ obliga a obtener primero una cota compatible para la historia.

Teorema de Schaefer: acotar todas las soluciones escaladas

El teorema de Schaefer elimina la elección previa de una bola invariante:

Si $T:X\to X$ es continuo y compacto y el conjunto $\mathcal S=\{u\in X:u=\lambda Tu\text{ para algún }0\le\lambda\le1\}$ es acotado, entonces $T$ tiene un punto fijo.

La justificación revela por qué se estudia la ecuación homotópica. Si $\mathcal S\subset B_R$, ningún punto de la esfera $\partial B_R$ satisface $u=\lambda Tu$. La homotopía $H(\lambda,u)=\lambda Tu$ conecta el operador nulo con $T$ sin crear puntos fijos en la frontera. El grado de $I-H(\lambda,\cdot)$ permanece igual a uno; en $\lambda=1$ existe un punto fijo.

En una aplicación, la cota debe ser uniforme en $\lambda$. No sirve resolver numéricamente $u=Tu$ y observar que una trayectoria particular es pequeña. Se toma

$$u=\lambda K N(u),$$

se vuelve a la ecuación diferencial

$$u'+au=\lambda f(t,u,u(t-\tau)),$$

y se deduce una estimación independiente de $\lambda$. Las notas abiertas de métodos topológicos presentan esta estrategia como una alternativa sistemática a construir conjuntos invariantes explícitos. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases sobre alternativas de Schaefer, homotopía y cotas a priori Abrir fuente

Schauder implícito

Algunas ecuaciones no se despejan de manera natural como $u=T(u)$. Consideremos

$$L(u)=N(u),$$

donde $L:X\to Y$ puede ser no lineal, pero para cada $v$ de un conjunto apropiado el problema $L(u)=N(v)$ tiene una solución única $u=A(v)$. Si el operador solución $A$ es continuo, compacto y conserva un conjunto cerrado, acotado y convexo $C$, Schauder aplicado a $A:C\to C$ produce $u=A(u)$, que satisface la ecuación implícita.

Una formulación frecuente separa dos variables:

$$u=A(u,v),\qquad v=B(u,v).$$

Si para cada $v$ la primera ecuación determina de forma continua $u=R(v)$, se sustituye en la segunda y se busca un punto fijo de $v\mapsto B(R(v),v)$. El paso decisivo no es algebraico: hay que probar que $R$ existe sobre todo el conjunto considerado y que preserva la regularidad necesaria para que la composición sea compacta. En problemas diferenciales, $R$ suele proceder de una ecuación lineal o fuertemente monótona y $B$ de un operador integral compacto.

Ejemplo trabajado: una ecuación periódica con memoria

Consideremos, con $a>0$, $b\in\mathbb R$ y $p$ continua y $T$-periódica,

$$u'(t)+a u(t)=b\tanh(u(t-\tau))+p(t), \qquad u(t+T)=u(t).$$

La inversa periódica de $L u=u'+au$ es

$$(Kh)(t)=\frac{1}{1-e^{-aT}} \int_{t-T}^{t}e^{-a(t-s)}h(s)\,ds.$$

En efecto, derivar bajo la integral produce $(Kh)'+aKh=h$, y cambiar $t$ por $t+T$ conserva el valor porque $h$ es periódica. Además,

$$\|Kh\|_\infty\le \frac{1}{a}\|h\|_\infty.$$

Definimos

$$(Tu)(t)=K\big[b\tanh(S_\tau u)+p\big](t).$$

El operador es continuo. Si $u$ recorre un conjunto acotado, el integrando queda uniformemente acotado; la ecuación $(Tu)'=-aTu+b\tanh(S_\tau u)+p$ acota uniformemente las derivadas. Arzelà–Ascoli demuestra que $T$ es compacto en $C_T$.

Para Schaefer, sea $u=\lambda Tu$. Entonces

$$u'+au=\lambda[b\tanh(u(t-\tau))+p(t)].$$

En un punto donde $|u|$ alcanza su máximo, o directamente usando la fórmula integral,

$$\|u\|_\infty \le\frac{\lambda}{a}(|b|+\|p\|_\infty) \le\frac{|b|+\|p\|_\infty}{a}.$$

El conjunto de Schaefer es acotado de manera independiente de $\lambda$; existe al menos una solución periódica. Si además $|b|<a$, entonces

$$\|Tu-Tv\|_\infty\le\frac{|b|}{a}\|u-v\|_\infty,$$

y Banach proporciona unicidad. Para $|b|\ge a$, Schaefer todavía da existencia, pero no autoriza afirmar unicidad ni estabilidad. El ejemplo muestra la jerarquía de los métodos: primero compacidad y cota a priori; la contracción es una conclusión adicional sólo cuando la constante lo permite.

Procedimiento de decisión

1. Identifica si el estado es puntual o una historia y fija el espacio funcional correcto.
2. Incorpora la condición inicial, periódica o de contorno al operador, no como una verificación posterior.
3. Separa una parte resoluble $L$ y escribe la ecuación integral o el operador solución.
4. Prueba continuidad y compacidad: acotación uniforme más equicontinuidad suelen ser el núcleo.
5. Si puedes controlar sólo la esfera, formula una condición de Rothe y comprueba que no aparece un punto fijo radial espurio.
6. Si la familia escalada es más fácil de estimar, estudia $u=\lambda Tu$ para todo $\lambda\in[0,1]$ y aplica Schaefer.
7. Si la ecuación queda implícita, demuestra existencia, unicidad y continuidad del resolvente parcial antes de invocar Schauder.
8. Distingue existencia de unicidad, positividad, estabilidad y dependencia continua: cada propiedad necesita un argumento propio.

Ejercicios

1. Aplica el método de pasos a $u'(t)=-u(t-1)$ con historia $u(t)=1$ en $[-1,0]$ y calcula la solución explícita en $[0,3]$.
2. Demuestra que el desplazamiento $S_\tau$ es una isometría de $C_T$ y decide cuándo es compacto.
3. Justifica con todos los detalles la fórmula para la inversa periódica de $u'+au=h$ y calcula su norma operatorial.
4. Para $u'+2u=\sin(u(t-\tau))+\cos t$, construye el operador compacto y da una cota uniforme para la familia de Schaefer.
5. Formula una condición de Rothe para un operador de Green asociado a un problema de Dirichlet con retardo y explica qué estimación debe verificarse en la frontera de la bola.
6. Construye dos historias ordenadas que muestren por qué la monotonía respecto de $u(t)$ no basta si la no linealidad decrece respecto de $u(t-\tau)$.
7. Reescribe un problema implícito $u'+a(u)u=f(t,u(t-\tau))$ como un resolvente parcial; enumera las hipótesis que garantizarían continuidad y compacidad sin asumirlas automáticamente.

En ecuaciones con memoria, el cambio decisivo no es añadir $t-\tau$ a una fórmula, sino escoger como estado una función. Rothe controla la geometría de una frontera, Schaefer convierte una cota homotópica en existencia y Schauder implícito permite conservar una parte resoluble del problema. Los tres resultados son útiles sólo después de documentar el operador, su compacidad y las estimaciones uniformes que impiden el escape de soluciones.