Grado de Leray–Schauder, reducción de Lyapunov–Schmidt y resonancia

Los teoremas de punto fijo de la unidad anterior prueban existencia cuando un operador compacto conserva un conjunto o cuando una familia homotópica permanece acotada. El grado de Leray–Schauder va más lejos: asigna un entero a $I-K$ y permite contar algebraicamente regiones de soluciones, deformar una ecuación, separar ramas y detectar multiplicidad. La dificultad infinita-dimensional se controla porque $K$ es compacto; sobre su imagen relevante se construyen aproximaciones de rango finito y se recupera el grado de Brouwer.

El segundo eje de la unidad es la resonancia. Si el operador lineal $L$ tiene núcleo no trivial, no existe una inversa global y no podemos escribir simplemente $u=L^{-1}N(u)$. La reducción de Lyapunov–Schmidt separa la ecuación en una parte invertible y una parte finito-dimensional. Las condiciones de Landesman–Lazer y Lazer–Leach son precisamente desigualdades que hacen no nulo el grado de esa ecuación reducida.

Grado de Leray–Schauder

Sea $X$ un espacio de Banach, $\Omega\subset X$ abierto y acotado, y $K:\overline\Omega\to X$ continuo y compacto. Si

$$u\ne K(u)\qquad\text{para todo }u\in\partial\Omega,$$

se define $\deg_{LS}(I-K,\Omega,0)$. Intuitivamente se aproxima $K(\overline\Omega)$ por un conjunto contenido en un subespacio finito-dimensional $X_n$ y se calcula

$$\deg_B(I-K_n,\Omega\cap X_n,0).$$

La compacidad permite elegir la aproximación uniformemente cerca de $K$; la ausencia de ceros en la frontera garantiza que aproximaciones suficientemente finas dan el mismo entero. No se trata de escoger una malla y esperar convergencia numérica: la definición prueba independencia respecto de la aproximación.

Las propiedades que se usan en EDO son paralelas a las de Brouwer:

• normalización: el grado de la identidad en una región que contiene al origen es uno;
• existencia: grado no nulo implica un cero de $I-K$ en $\Omega$;
• aditividad: si los ceros están en abiertos disjuntos, el grado total es la suma de los grados locales;
• invariancia homotópica: el grado permanece constante si ningún cero atraviesa la frontera;
• excision: una zona cerrada sin ceros puede retirarse sin cambiar el grado.

La hipótesis de frontera es parte del teorema, no una formalidad. Normalmente se demuestra mediante una cota a priori para todas las soluciones de

$$u=\lambda K(u),\qquad 0\le\lambda\le1.$$

Una vez elegido $R$ mayor que esa cota, la homotopía no tiene puntos fijos en $\partial B_R$ y el grado se transporta desde una ecuación sencilla hasta la original. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 7, §§7.1–7.2, pp. 273–285 Abrir fuente

Problemas de contorno, barreras y tres soluciones

Para el problema de Dirichlet

$$-u''=f(t,u),\qquad u(0)=u(1)=0,$$

la función de Green produce $u=K(u)$ con

$$(Ku)(t)=\int_0^1G(t,s)f(s,u(s))\,ds.$$

Si $f$ es continua sobre bandas acotadas, $K$ es compacto en $C[0,1]$. Un par ordenado de sub y supersoluciones $\alpha\le\beta$ define una región funcional. Mediante truncación se calcula un grado no nulo dentro de la banda. El principio máximo garantiza después que un punto fijo truncado resuelve la ecuación original.

La aditividad permite obtener multiplicidad. Supongamos que existen dos regiones disjuntas $\Omega_1,\Omega_2$ en las que los grados locales valen uno, mientras que el grado en una región mayor $\Omega$ vale uno. Si $\overline\Omega_1\cup\overline\Omega_2\subset\Omega$ y no hay ceros en las fronteras, entonces

$$\deg_{LS}(I-K,\Omega\setminus (\overline\Omega_1\cup\overline\Omega_2),0) =1-1-1=-1.$$

Hay al menos una tercera solución en la región restante. Esta conclusión no procede de “ver” tres intersecciones en una gráfica; depende de localizar regiones, excluir soluciones en sus fronteras y calcular cada grado.

Reducción de Lyapunov–Schmidt

Consideremos

$$Lu=N(u),$$

donde $L:D(L)\subset X\to Y$ es Fredholm de índice cero. Elegimos proyecciones continuas

$$P:X\to\ker L, \qquad Q:Y\to\operatorname{coker}L,$$

de modo que $X=\ker L\oplus X_1$ y $Y=\operatorname{Ran}L\oplus Y_0$. Escribimos $u=z+w$, con $z=Pu$ y $w=(I-P)u$. La ecuación se descompone en

$$(I-Q)Lw=(I-Q)N(z+w),$$ $$0=QN(z+w).$$

La restricción de $L$ a $X_1$ es invertible sobre $\operatorname{Ran}L$. Si la primera ecuación determina $w=W(z)$ —por contracción, función implícita o grado— queda la ecuación reducida

$$\Phi(z)=QN(z+W(z))=0$$

en el espacio finito-dimensional $\ker L$. El componente $w$ corrige la forma de la solución; $z$ contiene la obstrucción resonante.

Esta reducción también explica la teoría de coincidencia. En lugar de invertir $L$, se construye un operador compacto usando un inverso sobre el complemento del núcleo y se combina su grado de Leray–Schauder con el grado de Brouwer de la ecuación proyectada. Decir que $L$ y $N$ “coinciden” significa encontrar $u$ con $Lu=Nu$; no presupone que ninguno de los dos sea invertible globalmente.

Landesman–Lazer y Lazer–Leach

Tomemos el problema periódico resonante

$$u''+u=p(t)+g(u),\qquad u(t+2\pi)=u(t).$$

El núcleo de $L u=u''+u$ está generado por $\cos t$ y $\sin t$. Por la alternativa de Fredholm, $Lw=h$ tiene solución periódica sólo si

$$\int_0^{2\pi}h(t)\cos t\,dt=0, \qquad \int_0^{2\pi}h(t)\sin t\,dt=0.$$

Sean

$$A=\int_0^{2\pi}p(t)\cos t\,dt, \qquad B=\int_0^{2\pi}p(t)\sin t\,dt.$$

Si $g$ es acotada y posee límites $g(-\infty)=g_-$ y $g(+\infty)=g_+$ con $g_-<g_+$, el componente reducido, evaluado sobre $z=R\cos(t-\delta)$, tiene para $R$ grande una contribución radial asintótica

$$\int_0^{2\pi}g(R\cos(t-\delta))\cos(t-\delta)\,dt \longrightarrow 2(g_+-g_-).$$

La identidad se obtiene separando los semicírculos donde el coseno es positivo y negativo. Por tanto la desigualdad clásica de Lazer–Leach, con esta normalización,

$$\sqrt{A^2+B^2}<2(g_+-g_-),$$

hace que el campo reducido apunte con grado no nulo sobre una circunferencia grande. Una cota para $w$ y el grado de Leray–Schauder levantan el cero reducido a una solución periódica.

Las condiciones de Landesman–Lazer expresan el mismo mecanismo para núcleos más generales. Se compara la proyección del forzamiento con integrales que usan los límites de $g$ en las zonas positiva y negativa de cada función del núcleo. No son condiciones necesarias en toda ecuación; son criterios suficientes que impiden que la proyección resonante quede en la frontera del rango no lineal. El artículo abierto de Amster, Kuna y Santos muestra una aplicación distinta pero relacionada: obtiene multiplicidad de soluciones periódicas para ecuaciones de Liénard con retardo mediante métodos basados en el grado de Leray–Schauder. Amster, 2020 Pablo Amster, Mariel P. Kuna y Dionicio D. Santos (2020) Multiplicity of Periodic Solutions for Dynamic Liénard Equations with Delay and Singular φ-Laplacian of Relativistic Type arXiv Ubicación consultada: artículo completo, grado de Leray–Schauder y soluciones periódicas con retardo Abrir fuente

Ejemplo trabajado: cálculo de la condición reducida

Estudiemos

$$u''+u=\rho\cos(t-\delta)+\tanh u, \qquad u(t+2\pi)=u(t).$$

Aquí $p(t)=\rho\cos(t-\delta)$ y $g_+-g_-=2$. Calculamos

$$A=\rho\int_0^{2\pi}\cos(t-\delta)\cos t\,dt =\pi\rho\cos\delta,$$ $$B=\rho\int_0^{2\pi}\cos(t-\delta)\sin t\,dt =\pi\rho\sin\delta.$$

Luego $\sqrt{A^2+B^2}=\pi|\rho|$. La condición de Lazer–Leach queda

$$\pi|\rho|<4.$$

Para ver el origen del número cuatro, proyectamos $\tanh(R\cos(t-\delta))$ sobre la dirección radial. Por convergencia dominada,

$$\lim_{R\to\infty} \int_0^{2\pi}\tanh(R\cos s)\cos s\,ds =\int_0^{2\pi}|\cos s|\,ds=4.$$

En una circunferencia grande del plano $(a,b)$ del núcleo, el término no lineal domina estrictamente al vector del forzamiento si $\pi|\rho|<4$. La homotopía radial no se anula en esa frontera y su grado es distinto de cero. Esto prueba existencia, no unicidad. En el umbral $\pi|\rho|=4$ el argumento deja de separar la frontera; tampoco prueba automáticamente que no haya solución.

Separación y barreras no ordenadas

Las sub y supersoluciones no siempre vienen ordenadas. Un lema de separación construye vecindades funcionales disjuntas o una función intermedia que impide que conjuntos de soluciones asociados a distintas barreras se toquen. La información de grado puede entonces calcularse en componentes separadas y combinarse por aditividad.

El esquema es el siguiente. Se trunca la no linealidad alrededor de cada banda, se usa el principio máximo para excluir contacto impropio y se demuestra que ninguna solución está en la frontera del abierto funcional. Si $\alpha$ y $\beta$ no satisfacen globalmente $\alpha\le\beta$, no se puede escribir sin más el intervalo $[\alpha,\beta]$; la separación topológica sustituye precisamente a ese orden ausente. Esta técnica es valiosa en resultados de dos o tres soluciones.

Índice en espacios métricos y modelo de biorreactor

Parte del razonamiento sólo necesita compacidad, continuidad y una noción de región aislante, por lo que puede formularse en espacios métricos mediante índice de punto fijo. Como ejemplo, un reactor continuo puede modelarse por

$$S'=D(S_{in}-S)-\mu(S)X, \qquad X'=(\mu(S)-D)X,$$

con $S,X\ge0$. Las caras $S=0$, $X=0$ y una cota de balance para $S+X$ delimitan una región físicamente relevante. Para buscar estados periódicos bajo alimentación $S_{in}(t)$ o dilución $D(t)$ periódicas, se estudia el mapa de traslación por un periodo. Una región aislante y la compacidad del mapa permiten definir un índice; un índice no nulo produce una órbita periódica positiva. Aún deben verificarse la invariancia del cono y la exclusión de la solución de lavado $X=0$ si se quiere positividad estricta.

La reducción puede complementarse con promediación. Si los coeficientes oscilan rápidamente o la perturbación es pequeña, el grado del mapa periódico se transporta al grado del campo promedio, siempre que ninguna solución aparezca en la frontera durante la homotopía. Promediar una fórmula sin esa exclusión no constituye una prueba topológica.

Aplicación planar: Kepler forzado

El problema de Kepler planar forzado tiene la forma

$$x''(t)=-\frac{x(t)}{|x(t)|^3}+p(t), \qquad x(t+T)=x(t),$$

con $x(t)\in\mathbb R^2$. La singularidad en $x=0$ impide aplicar directamente un operador compacto sobre una bola que incluya colisiones. El método topológico separa tres tareas:

1. regularizar o trabajar en un abierto que excluya $x=0$;
2. obtener cotas a priori que eviten tanto colisión como escape al infinito;
3. calcular un grado o número de giro en una homotopía hacia un problema controlable.

La geometría planar es esencial: una curva periódica no colisionante posee un índice respecto del origen. Ese entero distingue componentes del espacio de lazos y puede impedir que una solución desaparezca durante la deformación. El resultado topológico garantiza una órbita en una clase de giro; no garantiza por sí solo que sea estable ni que represente una órbita planetaria observada. Amster cierra el recorrido del libro con esta aplicación para mostrar cómo el grado, la reducción y las cotas a priori colaboran frente a una singularidad real. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 7, §§7.8–7.9, pp. 306–316 Abrir fuente

Procedimiento integral

1. Escribe el problema como $Lu=N(u)$ y determina núcleo, rango y condiciones de compatibilidad de $L$.
2. Decide si procede un punto fijo $I-K$ o un grado de coincidencia sin invertir globalmente $L$.
3. Construye proyecciones sobre núcleo y conúcleo y deriva explícitamente las ecuaciones de Lyapunov–Schmidt.
4. Obtén cotas uniformes para la parte complementaria y para todas las soluciones de la homotopía.
5. Calcula el campo reducido; en resonancia, proyecta el forzamiento y compara con los límites de la no linealidad.
6. Elige un abierto cuya frontera esté libre de soluciones y sólo entonces invoca invariancia del grado.
7. Para multiplicidad, separa regiones y usa aditividad o excisión; para barreras no ordenadas, prueba primero un lema de separación.
8. En modelos singulares o positivos, verifica además no colisión, invariancia del cono y significado físico de la solución.

Ejercicios

1. Construye una aproximación de rango finito de un operador compacto y explica por qué dos aproximaciones suficientemente cercanas producen el mismo grado de Leray–Schauder.
2. Para $-u''=\lambda e^u$ con datos de Dirichlet, formula el operador de Green y describe qué cota a priori necesitarías para definir el grado en una bola.
3. Diseña tres abiertos anidados con grados locales hipotéticos y usa aditividad para deducir una tercera solución; identifica todas las condiciones de frontera requeridas.
4. Realiza la descomposición de Lyapunov–Schmidt de $u''+u=p(t)+\varepsilon u^3$ en funciones $2\pi$-periódicas y escribe las dos ecuaciones proyectadas.
5. Repite el cálculo del ejemplo trabajado para $g(u)=c\arctan u$ y obtiene la desigualdad suficiente sobre la amplitud de la primera armónica de $p$.
6. En el modelo de biorreactor, demuestra invariancia del cuadrante positivo y obtiene una cota para $S+X$ bajo hipótesis explícitas sobre $D$, $S_{in}$ y $\mu$.
7. Explica por qué una cota superior para una órbita de Kepler no excluye colisión; propone una cantidad adicional que permita mantener distancia positiva al origen durante una homotopía.

El grado de Leray–Schauder no elimina el análisis: lo organiza. Las cotas a priori hacen posible definirlo, Lyapunov–Schmidt aísla la obstrucción resonante y las desigualdades de Landesman–Lazer–Leach calculan la orientación de la ecuación reducida. Separación, biorreactores y Kepler muestran el mismo patrón bajo geometrías diferentes: aislar la región, excluir su frontera y conservar una información topológica que obligue a existir una solución.