Grado de Brouwer en contorno, problemas discretos y continuación

El grado de Brouwer se define para mapas entre espacios de la misma dimensión. A primera vista, un problema de contorno para una función parece infinito-dimensional. La clave de este capítulo es identificar los pocos parámetros libres de la solución inicial, integrarlos hasta el extremo y medir el defecto de la condición final. Así, el contorno se transforma en un cero de un mapa finito-dimensional. En una ecuación en diferencias la reducción es todavía más directa: los valores interiores son las coordenadas de un vector.

En ambos casos, el cálculo de grado sólo es legítimo después de obtener cotas a priori. Ellas permiten escoger un abierto acotado cuya frontera no contenga soluciones. La continuación por homotopía transporta entonces el grado desde un problema sencillo hasta el problema original. Esta unidad desarrolla el procedimiento completo, incluidos los argumentos de descenso y energía que proporcionan regiones de confinamiento.

Representación residual del problema de contorno

Consideremos un sistema de primer orden

$$x'=f(t,x),\qquad t\in[0,T],$$

con una condición de contorno

$$B(x(0),x(T))=0,$$

donde $x\in\mathbb R^m$ y $B:\mathbb R^m\times\mathbb R^m\to\mathbb R^m$. Si el problema inicial tiene solución única en $[0,T]$, denotamos por $\Phi_T(a)$ el valor final de la solución que parte de $a$. El problema de contorno equivale a

$$F(a)=B(a,\Phi_T(a))=0.$$

La dependencia continua respecto de los datos hace continuo a $F$. Para periodicidad, $B(a,b)=b-a$ y

$$F(a)=\Phi_T(a)-a.$$

Para una ecuación escalar de segundo orden $u''=g(t,u,u')$ con $u(0)=u(T)=0$, se fija $u(0)=0$, se deja libre la pendiente $s=u'(0)$ y se estudia el residual escalar $F(s)=u_s(T)$. En sistemas o condiciones mezcladas pueden quedar varios parámetros libres; el número de residuos debe coincidir con el de parámetros para aplicar Brouwer.

Hay dos fallas que deben excluirse. Primero, la solución podría explotar antes de $T$, de modo que $\Phi_T$ ni siquiera estaría definido sobre toda la región. Segundo, un cero podría escapar por la frontera durante una homotopía. Una estimación sobre $|x(t)|$, obtenida mediante crecimiento lineal, energía o una región atrapante, resuelve ambos problemas.

Descenso y funciones de energía

Sea $V:\mathbb R^m\to\mathbb R$ continuamente diferenciable y considere el flujo de gradiente

$$x'=-\nabla V(x).$$

A lo largo de una solución,

$$\frac{d}{dt}V(x(t)) =\nabla V(x(t))\cdot x'(t) =-|\nabla V(x(t))|^2\le0.$$

Por eso las subniveles $\{V\le c\}$ pueden actuar como regiones de confinamiento. Si $\nabla V\ne0$ sobre la frontera lisa de una región y apunta hacia afuera, el mapa $\nabla V$ tiene el mismo grado que la normal exterior; en una bola, ese grado es uno. En consecuencia existe un punto crítico dentro. Ésta es una forma topológica del principio de que una función coerciva alcanza un mínimo.

El argumento se extiende a sistemas no exactamente gradiente. Si sobre $|x|=R$ se cumple

$$f(t,x)\cdot x<0,$$

el campo apunta hacia el interior de la bola. Una solución periódica no puede alcanzar por primera vez un máximo radial en la frontera, pues

$$\frac12\frac{d}{dt}|x|^2=x\cdot f(t,x)<0.$$

Esta desigualdad da una cota uniforme y permite definir el grado del mapa de Poincaré. El texto de Amster conecta descenso, energía y grado porque los tres producen la misma información esencial: una orientación de frontera que no puede desaparecer sin un cero. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 3, §§3.3–3.4, pp. 123–136 Abrir fuente

Problemas en diferencias como ecuaciones en $\mathbb R^N$

Sea $u_0=u_{N+1}=0$ y definamos

$$\Delta u_k=u_{k+1}-u_k, \qquad \Delta^2u_k=u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}.$$

El problema discreto

$$-\Delta^2u_k=f_k(u_k),\qquad k=1,\ldots,N,$$

es el sistema $F(u)=0$ en $\mathbb R^N$, donde

$$F_k(u)=2u_k-u_{k-1}-u_{k+1}-f_k(u_k).$$

La matriz lineal

$$A=\begin{pmatrix} 2&-1&0&\cdots&0\\ -1&2&-1&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&-1&2&-1\\ 0&\cdots&0&-1&2 \end{pmatrix}$$

es simétrica positiva definida. En efecto,

$$u^TAu=\sum_{k=0}^{N}(u_{k+1}-u_k)^2,$$

con $u_0=u_{N+1}=0$. Esta identidad discreta de energía permite controlar soluciones. Si $f_k(s)s\le c s^2+C$ con $c$ menor que el primer autovalor de $A$, multiplicar $Au=f(u)$ por $u$ da una cota para $\|u\|$.

También existe un principio de máximo discreto. Si $u_j$ es un máximo interior positivo, entonces

$$-\Delta^2u_j=2u_j-u_{j-1}-u_{j+1}\ge0.$$

El signo de $f_j(u_j)$ puede excluir máximos demasiado grandes. Esta observación produce una caja $[-R,R]^N$ libre de ceros en la frontera y es el análogo exacto de evaluar una EDO en un extremo.

Mapa de Poincaré discreto

Una recurrencia de orden dos,

$$u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}=g(k,u_k),$$

puede escribirse como un sistema de primer orden para $z_k=(u_k,u_k-u_{k-1})$. Un periodo de los coeficientes define un mapa

$$P(z_0)=z_M.$$

Las órbitas $M$-periódicas son ceros de $P-I$. No hay un teorema de existencia y unicidad que demostrar paso a paso: la recurrencia define $P$ algebraicamente. Sin embargo, siguen siendo necesarias una región acotada y la exclusión de puntos fijos en su frontera. El grado de $I-P$ puede calcularse por deformación hacia la parte lineal o hacia un mapa radial.

La discretización de una EDO no transfiere automáticamente el grado del continuo. Para relacionarlos hay que demostrar consistencia, estabilidad de las cotas y ausencia de ceros fronterizos uniformemente en el tamaño de malla. Un cálculo en una sola malla es evidencia numérica, no una prueba de la ecuación continua.

Teorema de continuación

Sea $F:[0,1]\times\overline\Omega\to\mathbb R^n$ continuo y supongamos

$$F(\lambda,x)\ne0 \qquad\text{para }(\lambda,x)\in[0,1]\times\partial\Omega.$$

Por invariancia homotópica,

$$\deg(F(1,\cdot),\Omega,0) =\deg(F(0,\cdot),\Omega,0).$$

Si el grado del problema inicial es no nulo, el problema final tiene una solución. El método suele tomar

$$F(\lambda,x)=Lx-\lambda N(x),$$

o deformar la no linealidad hacia un término cuya orientación se conoce. Toda la dificultad analítica queda concentrada en una afirmación uniforme: ninguna solución de $F(\lambda,x)=0$ para $0\le\lambda\le1$ toca $\partial\Omega$.

Una versión global de continuación añade compacidad y concluye la existencia de un conjunto conectado de soluciones que no puede quedar encerrado sin alcanzar el extremo del parámetro o la frontera. No debe confundirse con seguir una sola rama diferenciable. El grado tolera bifurcaciones, pliegues y múltiples soluciones; lo que conserva es la carga algebraica total.

Ejemplo trabajado: un problema discreto no lineal

Consideremos

$$2u_k-u_{k-1}-u_{k+1}+u_k^3=q_k, \qquad k=1,\ldots,N,$$

con $u_0=u_{N+1}=0$. Definimos

$$F_\lambda(u)=Au+\lambda u^{[3]}-\lambda q, \qquad 0\le\lambda\le1,$$

donde $u^{[3]}=(u_1^3,\ldots,u_N^3)$. Si $F_\lambda(u)=0$, el producto escalar con $u$ da

$$u^TAu+\lambda\sum_{k=1}^Nu_k^4 =\lambda q\cdot u.$$

Sea $\mu_1>0$ el primer autovalor de $A$. Entonces

$$\mu_1\|u\|_2^2 \le \|q\|_2\|u\|_2,$$

y toda solución satisface

$$\|u\|_2\le \frac{\|q\|_2}{\mu_1}.$$

Elegimos $R>\|q\|_2/\mu_1$. No hay ceros de $F_\lambda$ sobre $\partial B_R$. En $\lambda=0$, $F_0(u)=Au$ y

$$\deg(F_0,B_R,0)=\operatorname{sign}\det A=1,$$

porque $A$ es positiva definida. La invariancia homotópica da $\deg(F_1,B_R,0)=1$, de modo que existe una solución.

Aquí incluso hay unicidad: si $u$ y $v$ son soluciones, al restar y multiplicar por $u-v$ obtenemos

$$(u-v)^TA(u-v)+ \sum_k(u_k-v_k)(u_k^3-v_k^3)=0.$$

Ambos términos son no negativos y el primero sólo se anula cuando $u=v$. Esta última conclusión usa monotonicidad, no grado; separar los argumentos aclara qué aporta cada herramienta.

Procedimiento de aplicación

1. Cuenta los datos iniciales libres y construye un residual con el mismo número de componentes.
2. Prueba existencia global y dependencia continua del flujo sobre la región elegida.
3. Busca una cota a priori mediante energía, máximo, signo radial o identidad discreta.
4. Define una homotopía cuyo extremo inicial tenga grado calculable.
5. Verifica la cota para todas las soluciones y todos los parámetros de la homotopía.
6. Excluye ceros sobre la frontera y aplica invariancia del grado.
7. En un esquema discreto, distingue existencia para cada malla de convergencia hacia una solución continua.
8. Si se pretende una rama global, añade el argumento de conexión; un grado no nulo por sí solo sólo garantiza al menos un cero.

Ejercicios

1. Deriva el mapa residual para $u''+a(t)u=g(t,u)$ con $u(0)=0$ y $u'(1)=0$, indicando cuál es el parámetro de disparo.
2. Prueba que una condición $x\cdot f(t,x)<0$ sobre $|x|=R$ impide que una solución periódica toque la esfera en un máximo radial.
3. Demuestra la identidad $u^TAu=\sum_{k=0}^{N}(u_{k+1}-u_k)^2$ para la matriz discreta de Dirichlet y calcula sus autovalores.
4. Resuelve el ejemplo trabajado para $N=2$ y $q=(1,-1)$ mediante una aproximación numérica; comprueba el residual sin usar el cálculo como sustituto del grado.
5. Construye el mapa de Poincaré de la recurrencia $u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}+\varepsilon\sin u_k=0$ cuando los coeficientes tienen periodo $M$.
6. Propón una homotopía para $Au+f(u)=q$ donde $f_k(s)s\ge0$ y demuestra una cota uniforme sobre sus ceros.
7. Da un ejemplo en el que una rama de ceros se pliegue respecto de $\lambda$ aunque el grado total permanezca constante, y explica por qué continuación topológica no significa parametrización única.

Aplicar Brouwer a una EDO no significa reemplazar el análisis por topología. La formulación del residual, la continuidad del flujo y las cotas a priori son la parte analítica; el grado conserva la existencia mientras se deforma el problema. En ecuaciones discretas esa arquitectura se ve con especial claridad porque energía, máximo y frontera pueden escribirse en coordenadas finitas.