Shooting escalar, cotas a priori y método de Picard

El método de shooting —o método de disparo— transforma una condición impuesta al final de un intervalo en una pregunta sobre el dato inicial. No consiste solamente en probar pendientes hasta que una gráfica llegue cerca del blanco. Su versión analítica construye una función residual, demuestra que esa función está bien definida y es continua, obtiene signos opuestos mediante cotas y, sólo entonces, aplica un teorema topológico elemental. En dimensión uno ese teorema es Bolzano; en dimensiones mayores harán falta índices y grados.

La idea contiene tres capas que conviene no mezclar. Primero está el problema de valor inicial, cuya existencia y unicidad justifican que a cada disparo le corresponda una trayectoria. Después aparece el mapa que lleva el dato inicial al estado final. Por último se usa información global —barreras, sub y supersoluciones o una estimación a priori— para obligar al residual a tener un cero. El capítulo inicial de Amster organiza precisamente este paso desde el teorema del valor intermedio hasta aplicaciones periódicas y de contorno; el apéndice de Picard aporta el fundamento del mapa de disparo. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 1 y apéndice sobre el método de Picard Abrir fuente

Construcción del residual de disparo

Consideremos primero el problema escalar de segundo orden

$$u''=f(t,u,u'),\qquad u(0)=a,\qquad u(T)=b.$$

La pendiente inicial no está prescrita. Para cada $s\in\mathbb R$ resolvemos, mientras sea posible,

$$u_s''=f(t,u_s,u_s'),\qquad u_s(0)=a,\qquad u_s'(0)=s,$$

y definimos el residual

$$R(s)=u_s(T)-b.$$

Una raíz $R(s_*)=0$ produce una solución del problema de dos puntos. Esta equivalencia es sencilla, pero encierra todas las hipótesis delicadas: $u_s$ debe existir hasta $T$, ser única y depender continuamente de $s$. Si alguna trayectoria explota antes del extremo, el residual no está definido en todo el intervalo de disparos. Si el problema inicial no es único, un mismo $s$ podría producir varios valores finales y $R$ dejaría de ser una función.

En un problema periódico de primer orden,

$$x'=f(t,x),\qquad f(t+T,x)=f(t,x),\qquad x(0)=x(T),$$

el dato desconocido es $s=x(0)$. El mapa de Poincaré temporal es

$$P(s)=x(T;s),$$

y la periodicidad equivale a encontrar un punto fijo de $P$, o un cero de

$$\Phi(s)=P(s)-s.$$

No se trata aquí de una sección transversal geométrica: se integra siempre un periodo del forzamiento. La periodicidad de $f$ permite prolongar la solución que satisface $x(T)=x(0)$ repitiéndola en cada intervalo de longitud $T$.

Picard: por qué el disparo define una función

Sea

$$x'=f(t,x),\qquad x(t_0)=s,$$

con $f$ continua en el rectángulo

$$Q=[t_0-a,t_0+a]\times[s-b,s+b]$$

y Lipschitz respecto de $x$ con constante $L$. La ecuación diferencial equivale a la ecuación integral

$$x(t)=s+\int_{t_0}^{t}f(\tau,x(\tau))\,d\tau.$$

Sobre el espacio de funciones continuas definimos

$$(\mathcal T v)(t)=s+\int_{t_0}^{t}f(\tau,v(\tau))\,d\tau.$$

Si $M=\max_Q|f|$ y elegimos $h\leq\min\{a,b/M\}$, el operador conserva la bola de funciones que permanecen en $Q$. Además,

$$\|\mathcal T v-\mathcal T w\|_\infty \leq Lh\,\|v-w\|_\infty.$$

Cuando $Lh<1$, $\mathcal T$ es contractivo. Las iteraciones de Picard

$$x_{0}(t)=s,\qquad x_{n+1}(t)=s+\int_{t_0}^{t}f(\tau,x_n(\tau))\,d\tau$$

convergen uniformemente al único punto fijo. Esta prueba da existencia local y unicidad al mismo tiempo. Repitiendo el argumento se prolonga la solución mientras su gráfica permanezca en una región compacta del dominio de $f$.

La misma hipótesis de Lipschitz controla la dependencia del disparo. Si $x(t;s)$ y $x(t;r)$ son dos soluciones que permanecen en la región considerada, Grönwall produce

$$|x(t;s)-x(t;r)|\leq e^{L|t-t_0|}|s-r|.$$

Por tanto $s\mapsto x(T;s)$ es continua, e incluso localmente Lipschitz bajo estas hipótesis. Esta estimación convierte la intuición de “disparos cercanos dan llegadas cercanas” en una afirmación demostrable. Teschl desarrolla conjuntamente Picard–Lindelöf, prolongación y dependencia continua, que son las condiciones analíticas previas a cualquier argumento topológico con el mapa final. Teschl, 2012 Gerald Teschl (2012) Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Graduate Studies in Mathematics, vol. 140; edición en línea autorizada · American Mathematical Society Ubicación consultada: cap. 2, problemas iniciales, Picard–Lindelöf y dependencia continua Abrir fuente

Como cálculo breve, para $x'=t+x$, $x(0)=0$, las primeras iteraciones son

$$x_0=0,\qquad x_1=\frac{t^2}{2},\qquad x_2=\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6},$$

y las siguientes añaden los términos de la serie de $e^t-t-1$. Picard no es sólo una prueba abstracta: muestra cómo la dinámica se reconstruye por sustituciones sucesivas, aunque para cómputo de largo tiempo se prefieran integradores diseñados para controlar el error.

Bolzano y el mapa de Poincaré escalar

Supongamos que $P$ está definido y es continuo en $[a,b]$. Si

$$P(a)-a\geq0,\qquad P(b)-b\leq0,$$

entonces $\Phi=P-I$ cambia de signo y existe $s_*\in[a,b]$ con $P(s_*)=s_*$. La conclusión es de existencia, no de unicidad. El mapa puede cruzar la diagonal varias veces o tocarla sin cambiar de signo.

Una forma práctica de obtener los signos es hallar barreras constantes. Si para algún $R>0$

$$f(t,-R)>0,\qquad f(t,R)<0 \quad\text{para todo }t\in[0,T],$$

el campo apunta hacia el interior de $[-R,R]$. La unicidad impide que una solución cruce una barrera en la dirección prohibida. En particular, los disparos extremos regresan al interior y se obtienen los signos requeridos para $\Phi(-R)$ y $\Phi(R)$. El intervalo es además positivamente invariante, de modo que las soluciones existen hasta $T$ si $f$ es regular en una vecindad del rectángulo compacto.

La fuerza del argumento está en que no hay que conocer la solución. Basta controlar el campo en dos fronteras y la continuidad del operador de retorno. Las notas abiertas de MIT sobre problemas iniciales y dependencia de datos ofrecen el trasfondo analítico para esta reducción; el curso abierto de Amster la usa como puerta de entrada a métodos topológicos de existencia. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases iniciales sobre shooting, aplicación de Poincaré y cotas Abrir fuente

Ejemplo trabajado: una solución periódica exacta

Estudiemos

$$x'+x=\sin t,\qquad x(0)=x(2\pi).$$

Con disparo $s=x(0)$, la solución es

$$x(t;s)=\frac{\sin t-\cos t}{2} +\left(s+\frac12\right)e^{-t}.$$

Por ello,

$$P(s)=x(2\pi;s) =-\frac12+e^{-2\pi}\left(s+\frac12\right),$$

y

$$\Phi(s)=P(s)-s=(e^{-2\pi}-1)\left(s+\frac12\right).$$

El único cero es $s_*=-1/2$, que genera

$$x_*(t)=\frac{\sin t-\cos t}{2}.$$

Además, $|P'(s)|=e^{-2\pi}<1$, así que el retorno es contractivo: los valores al inicio de periodos sucesivos convergen a $s_*$. Esta estabilidad es información adicional que no viene de Bolzano; se obtiene de la fórmula explícita o de una estimación de contracción.

El mismo esquema resuelve un problema de Dirichlet elemental:

$$-u''=2,\qquad u(0)=u(1)=0.$$

Disparamos con $u'(0)=s$. Entonces $u_s(t)=st-t^2$ y $R(s)=u_s(1)=s-1$. El cero $s=1$ da $u(t)=t(1-t)$. En un problema no lineal no suele existir una fórmula para $R$; la prueba debe conservar, sin embargo, los mismos pasos lógicos.

Cotas a priori, truncación y condición de Hartman

Una cota a priori es una estimación válida para toda posible solución, obtenida antes de saber que alguna existe. Su papel es impedir que los disparos relevantes escapen a infinito y crear un dominio compacto donde pueda aplicarse el argumento topológico.

Si $f$ sólo está controlada en $|x|\leq R$, puede introducirse una proyección

$$\pi_R(x)=\max\{-R,\min\{x,R\}\}$$

y estudiar primero una ecuación truncada con $f(t,\pi_R(x))$. La ecuación modificada está globalmente acotada en la variable de estado. Después debe demostrarse que cualquier solución obtenida permanece en $[-R,R]$; sólo entonces también resuelve la ecuación original. Omitir esta verificación convierte la truncación en un cambio del problema, no en una herramienta de prueba.

Para ecuaciones de segundo orden en $\mathbb R^m$, una condición geométrica clásica controla la amplitud. Supongamos que, sobre la esfera $|x|=R$ y para velocidades tangentes $\langle x,v\rangle=0$, se cumple

$$\langle x,F(t,x,v)\rangle+|v|^2>0,$$

donde $x''=F(t,x,x')$. Si una solución alcanzara un máximo interior de $|x|$ igual a $R$, la función $\rho(t)=|x(t)|^2/2$ satisfaría

$$\rho'=\langle x,x'\rangle=0,\qquad \rho''=|x'|^2+\langle x,x''\rangle>0.$$

Pero en un máximo interior debería cumplirse $\rho''\leq0$. La contradicción excluye el contacto. Ésta es la lógica de la condición de Hartman: el campo de aceleraciones y la curvatura cinética fuerzan convexidad hacia fuera justo donde un máximo necesitaría concavidad. Hay que revisar por separado los extremos del intervalo según las condiciones de contorno.

Subsoluciones y supersoluciones

Para

$$-u''=g(t,u),\qquad u(0)=A,\quad u(T)=B,$$

una subsolución $\alpha$ y una supersolución $\beta$ satisfacen, con la convención indicada,

$$-\alpha''\leq g(t,\alpha),\qquad -\beta''\geq g(t,\beta),\qquad \alpha\leq\beta,$$

junto con las desigualdades compatibles en la frontera. Funcionan como paredes ordenadas. Mediante truncación entre $\alpha(t)$ y $\beta(t)$ se resuelve un problema auxiliar; un principio de comparación o un argumento en el primer punto de contacto demuestra luego que la solución no sale del corredor.

En el problema periódico escalar $x'=f(t,x)$ pueden usarse funciones periódicas $\alpha\leq\beta$ con

$$\alpha'\leq f(t,\alpha),\qquad \beta'\geq f(t,\beta).$$

Las barreras constantes son el caso más simple. Las barreras variables son más flexibles: pueden seguir el tamaño natural del forzamiento y producir cotas mucho más estrechas. Ni la existencia de un par ordenado ni una cota de Hartman garantizan por sí solas unicidad; su misión principal es encerrar candidatos.

Procedimiento de prueba

1. Parametriza el dato faltante. En segundo orden suele ser la pendiente inicial; en un problema periódico de primer orden es el estado inicial.
2. Formula el problema inicial y fija una región donde $f$ sea continua y localmente Lipschitz en el estado.
3. Justifica existencia hasta el extremo. Usa prolongación, invariancia o una cota a priori; no presupongas que todos los disparos llegan.
4. Define el mapa final y el residual. Especifica su dominio real, no uno deseado.
5. Demuestra continuidad mediante dependencia continua, no mediante una gráfica con muchos puntos.
6. Construye signos opuestos con barreras, sub y supersoluciones, una estimación de Hartman o cálculos directos.
7. Aplica Bolzano y traduce el cero del residual a la condición de contorno.
8. Separa conclusiones. Existencia, unicidad, estabilidad y localización cuantitativa requieren argumentos distintos.

Errores frecuentes

Un integrador que falla para cierto $s$ no demuestra que la solución exacta explote. Un cambio de signo numérico de $R$ tampoco constituye una prueba si no se controla el error. Aplicar Bolzano exige un intervalo conectado y continuidad en todo él. La condición $P([a,b])\subset[a,b]$ garantiza un punto fijo escalar por Bolzano, pero en dimensión dos ya no basta mirar signos en dos extremos. Finalmente, una solución del problema truncado debe verificarse dentro de la región donde coincide con el original.

Ejercicios

1. Calcula cuatro iteraciones de Picard para $x'=1+t-x$, $x(0)=0$, y compara con la solución exacta en $[0,1]$.
2. Demuestra con Grönwall que el mapa $s\mapsto x(T;s)$ es Lipschitz para $x'=f(t,x)$ cuando $f$ tiene constante $L$ en una franja invariante.
3. Para $x'=2\cos t-x^3$, construye barreras constantes en un periodo y concluye existencia de una solución periódica sin intentar resolverla.
4. Estudia $x'=x^2$, $x(0)=s$. Determina para qué disparos está definido $P_T(s)$ y explica por qué no puede aplicarse Bolzano sobre cualquier intervalo.
5. Resuelve por shooting $-u''=6t$, $u(0)=u(1)=0$. Escribe el residual, localiza su cero y comprueba el dato final.
6. Propón sub y supersoluciones constantes para $-u''=1-u^3$ con condiciones de Dirichlet nulas. Verifica cada desigualdad con la convención de esta unidad.
7. Demuestra la cota de Hartman usando $\rho=|x|^2/2$ e identifica exactamente dónde se usan la tangencia de la velocidad y la desigualdad estricta.
8. Diseña un experimento de disparo para el ejemplo periódico trabajado. Refina tolerancias y separa la aproximación del cero de la demostración analítica de que existe.

El shooting escalar es topológico porque obtiene una solución a partir de continuidad y separación de signos, no de una fórmula cerrada. Picard asegura que el mapa existe localmente; las cotas permiten prolongarlo y encerrarlo; Bolzano obliga al retorno a cruzar la diagonal. Esta arquitectura reaparecerá en dimensión dos, donde el cambio de signo será reemplazado por el número de vueltas de una curva.