Iteración, función de Green y barreras ordenadas

Un problema de frontera no entrega el dato desde el cual comenzar a integrar. En

$$-u''(t)=f(t,u(t)),\qquad u(0)=u(1)=0,$$

conocer $u(0)$ no basta: falta la pendiente inicial y, además, la condición en $t=1$ debe cumplirse exactamente. La estrategia de esta unidad consiste en reemplazar esa búsqueda por tres objetos que sí pueden controlarse: dos barreras ordenadas, el inverso del operador lineal y una sucesión de funciones. La conclusión de existencia no proviene de que las primeras iteraciones “parezcan estabilizarse”, sino de demostrar que permanecen en un intervalo funcional, son monótonas y convergen a un punto fijo que satisface la ecuación.

El capítulo quinto de Amster organiza esta transición desde sub y supersoluciones hasta el operador de Green y los métodos tangentes. Aquí reconstruimos el argumento a partir de las notas abiertas de su curso y de la teoría lineal de problemas de frontera. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases sobre iteración monótona, función de Green y problemas de contorno Abrir fuente

Barreras que contienen una solución

Una función $\alpha\in C^2([0,1])$ es una subsolución del problema anterior si

$$-\alpha''(t)\le f(t,\alpha(t)),\qquad \alpha(0)\le0,\quad \alpha(1)\le0.$$

Una supersolución $\beta$ satisface las desigualdades inversas. Pedimos además $\alpha(t)\le\beta(t)$ en todo el intervalo. Las desigualdades del borde son parte de la definición: una función puede obedecer la desigualdad diferencial y, sin embargo, no encerrar ninguna solución compatible con los datos.

El intervalo ordenado

$$[\alpha,\beta]=\{v\in C([0,1]):\alpha(t)\le v(t)\le\beta(t)\}$$

es cerrado y convexo. El objetivo es construir un operador $T$ que preserve este conjunto. Si además $T$ es una contracción, Banach produce una única solución; si sólo es continuo y compacto, la unidad siguiente permitirá usar Schauder. En el método monótono se obtiene algo adicional: empezando en cada barrera se construyen, bajo hipótesis apropiadas, una solución mínima y una máxima dentro del intervalo.

Derivación de la función de Green

Consideremos primero

$$-u''(t)=h(t),\qquad u(0)=u(1)=0.$$

Integramos dos veces:

$$u(t)=c_0+c_1t-\int_0^t(t-s)h(s)\,ds.$$

La condición $u(0)=0$ da $c_0=0$ y $u(1)=0$ determina

$$c_1=\int_0^1(1-s)h(s)\,ds.$$

Al separar la integral en $s\le t$ y $s\ge t$ resulta

$$u(t)=\int_0^1G(t,s)h(s)\,ds,$$

con

$$G(t,s)= \begin{cases} s(1-t),&0\le s\le t\le1,\\ t(1-s),&0\le t\le s\le1. \end{cases}$$

El núcleo es continuo, no negativo y satisface $0\le G(t,s)\le1/4$. No es una fórmula decorativa: la positividad expresa el principio de comparación. Si $h_1\le h_2$, entonces $L^{-1}h_1\le L^{-1}h_2$, donde $L=-d^2/dt^2$ con condiciones de Dirichlet. La ecuación no lineal equivale al punto fijo

$$(Tu)(t)=\int_0^1G(t,s)f(s,u(s))\,ds.$$

Teschl desarrolla la teoría lineal de frontera antes de usar operadores compactos; este orden obliga a verificar que el inverso existe y que las condiciones del borde están incorporadas en $G$. Teschl, 2012 Gerald Teschl (2012) Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Graduate Studies in Mathematics, vol. 140; edición en línea autorizada · American Mathematical Society Ubicación consultada: cap. 5, problemas de frontera y representación mediante operadores Abrir fuente

Iteración monótona con desplazamiento

La monotonía de $f$ respecto de $u$ sería suficiente para que $T$ preservara el orden, pero a menudo $f$ no es creciente. Supongamos que en la franja $\alpha(t)\le u\le\beta(t)$ existe $M\ge0$ tal que

$$f(t,y)-f(t,x)\ge -M(y-x)\qquad (x\le y).$$

Entonces $g(t,u)=f(t,u)+Mu$ es creciente. Reescribimos el problema como

$$-u''+Mu=g(t,u),$$

y denotamos por $K_M$ el inverso positivo de $-d^2/dt^2+M$ con borde de Dirichlet. Definimos

$$T_Mu=K_M(g(\cdot,u)).$$

El principio máximo da tres hechos. Primero, $u\le v$ implica $T_Mu\le T_Mv$. Segundo, la desigualdad de subsolución implica $\alpha\le T_M\alpha$. Tercero, $T_M\beta\le\beta$. Por inducción,

$$\alpha=u_0\le u_1\le\cdots\le v_1\le v_0=\beta,$$

donde $u_{n+1}=T_Mu_n$ y $v_{n+1}=T_Mv_n$. Las sucesiones quedan uniformemente acotadas. Las ecuaciones lineales aportan cotas para sus derivadas; Arzelà–Ascoli permite extraer subsucesiones uniformemente convergentes. La monotonía hace único el límite de cada sucesión, y la continuidad de $T_M$ permite pasar al límite. Se obtienen puntos fijos $u_*$ y $u^*$, mínimo y máximo entre las soluciones que viven en $[\alpha,\beta]$.

Este argumento no afirma unicidad. Si $u_*\ne u^*$, el intervalo contiene por lo menos dos soluciones. Para unicidad hace falta, por ejemplo, una constante de Lipschitz suficientemente pequeña o una desigualdad de energía estricta.

Ejemplo trabajado: dos iteraciones y la solución exacta

Estudiemos

$$-u''=1+\frac12u,\qquad u(0)=u(1)=0.$$

Tomamos $\alpha=0$ y $\beta=2t(1-t)$. Para $\alpha$, $-\alpha''=0\le1$. Para $\beta$, $-\beta''=4$, mientras $1+\beta/2\le5/4$; por tanto son barreras ordenadas. Como el lado derecho es creciente, podemos iterar directamente el operador de Green desde $u_0=0$:

$$u_{n+1}(t)=\int_0^1G(t,s)\left(1+\frac12u_n(s)\right)ds.$$

La primera iteración resuelve $-u_1''=1$, así que

$$u_1(t)=\frac{t(1-t)}2.$$

La segunda satisface $-u_2''=1+t(1-t)/4$. Integrando y usando las dos condiciones de borde,

$$u_2(t)=\frac{25}{48}t-\frac12t^2-\frac1{24}t^3+\frac1{48}t^4.$$

La solución exacta también puede calcularse porque el problema es lineal. Con $a=1/\sqrt2$,

$$u(t)=2\tan\!\left(\frac a2\right)\sin(at)+2\cos(at)-2.$$

Así se puede evaluar el error $\|u_n-u\|_\infty$ sin confundirlo con el residuo

$$r_n=-u_n''-1-\frac12u_n.$$

En un problema verdaderamente no lineal no tendremos $u$ exacta; entonces se reportan $\|u_{n+1}-u_n\|_\infty$, $\|r_n\|_\infty$ y la permanencia dentro de las barreras.

Iteración tangente y cuasilinealización

La iteración monótona anterior congela el término no lineal. Una alternativa usa la tangente. Para $F(u)=-u''-f(t,u)$, el paso de Newton resuelve

$$DF(u_n)w_n=-F(u_n),\qquad u_{n+1}=u_n+w_n,$$

es decir,

$$-w_n''-f_u(t,u_n)w_n=u_n''+f(t,u_n),\qquad w_n(0)=w_n(1)=0.$$

Si $f$ es convexa en $u$, las rectas tangentes quedan por debajo de su gráfica. Junto con un principio máximo y una elección correcta de la barrera inicial, esto puede producir una sucesión ordenada con convergencia cuadrática local. Pero “usar Newton” no elimina las hipótesis: hay que demostrar que el operador linealizado es invertible, que sus inversas permanecen acotadas y que los iterados no abandonan la región donde se controlan $f_u$ y $f_{uu}$.

Procedimiento de certificación

1. Fija el espacio funcional y escribe explícitamente las condiciones de borde.
2. Propón $\alpha$ y $\beta$ y verifica cada desigualdad, incluidas las del borde.
3. Identifica el operador lineal invertible y deriva, no sólo cita, su núcleo de Green.
4. Comprueba positividad del inverso o formula el principio máximo necesario.
5. Demuestra que el operador iterativo conserva $[\alpha,\beta]$ y, si procede, el orden.
6. Obtén compacidad o una estimación de contracción antes de afirmar convergencia.
7. Pasa al límite en la ecuación y registra si la conclusión es existencia, extremalidad o unicidad.
8. En el cálculo numérico, separa error de malla, diferencia entre iterados y residuo funcional.

Ejercicios

1. Deriva el núcleo de Green para $-u''+\mu u=h$, $u(0)=u(1)=0$, con $\mu>0$, y demuestra que es positivo.
2. Para $-u''=\lambda e^u$, construye barreras constantes o parabólicas en un intervalo explícito de valores de $\lambda$.
3. Demuestra que $T$ es compacto en $C([0,1])$ cuando $f$ es continua y se restringe a un conjunto acotado.
4. Implementa las primeras diez iteraciones del ejemplo trabajado y compara diferencia entre iterados, residuo y error exacto.
5. Da un ejemplo de sub y supersoluciones ordenadas que contengan más de una solución; explica por qué el método no fuerza unicidad.
6. Formula la iteración tangente para $-u''=u^2+t$, identifica el operador linealizado y discute cuándo puede fallar su inversibilidad.
7. Adapta el método a condiciones de Neumann y explica qué obstrucción aparece porque el operador $-u''$ tiene núcleo no trivial.

La función de Green convierte derivadas y bordes en un operador integral; las barreras delimitan dónde buscar; la iteración construye la solución. Los tres niveles deben aparecer juntos: omitir cualquiera de ellos deja una secuencia numérica sin teorema o un teorema sin procedimiento verificable.