Schauder, Kakutani y la condición de Nagumo

En dimensión finita, una aplicación continua de una bola cerrada en sí misma tiene un punto fijo. En un espacio de Banach infinito-dimensional esa frase es falsa: cerrada y acotada ya no significa compacta. El teorema de Schauder recupera la conclusión cuando la aplicación comprime el conjunto en sentido topológico, es decir, cuando su imagen es relativamente compacta. Esa condición relaciona una ecuación diferencial con Brouwer: se aproxima el operador por mapas de rango finito y se pasa al límite usando compacidad.

La unidad anterior produjo operadores integrales mediante funciones de Green. Ahora debemos justificar por qué son compactos y qué hacer cuando el lado derecho depende de $u'$. La dificultad ya no es sólo acotar $u$: una sucesión puede permanecer entre dos barreras y desarrollar derivadas cada vez mayores. La condición de Nagumo aporta la cota faltante.

El desplazamiento de Kakutani

Sea $H=\ell^2$ y sea $B=\{x\in H:\|x\|\le1\}$. Definimos

$$K(x_1,x_2,\ldots)= \left(\sqrt{1-\|x\|^2},x_1,x_2,\ldots\right).$$

Se verifica inmediatamente que $\|Kx\|=1$, de modo que $K(B)\subset B$. La aplicación es continua. Si $x=Kx$, entonces $x_{n+1}=x_n$ para todo $n\ge1$; una sucesión constante no nula no pertenece a $\ell^2$, así que todos los $x_n$ tendrían que ser cero. Pero la primera coordenada de $K(0)$ es uno: contradicción. Por tanto $K$ no tiene punto fijo.

El ejemplo no contradice a Brouwer porque $B$ no es compacta. La sucesión de vectores canónicos $e_n$ vive en $B$ y no posee subsucesión convergente. Tampoco contradice a Schauder: la imagen de $K$ contiene los $e_n$ y no es relativamente compacta. Esta prueba negativa determina exactamente qué hipótesis deberá producir el operador asociado a la EDO. Amster abre su capítulo de Schauder con este mecanismo para impedir que se extrapole Brouwer sin control. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 6, §6.1, pp. 245–247 Abrir fuente

Teorema de Schauder y justificación finito-dimensional

Una versión útil dice:

Sea $C$ un subconjunto no vacío, cerrado, acotado y convexo de un espacio de Banach $X$. Si $T:C\to C$ es continuo y $T(C)$ es relativamente compacto, entonces $T$ tiene un punto fijo.

La convexidad permite construir aproximaciones sin salir de $C$. Para entender la prueba, fijamos $\varepsilon>0$. Como $\overline{T(C)}$ es compacta, existe una red finita $y_1,\ldots,y_m$ tal que cada $T(x)$ queda a distancia menor que $\varepsilon$ de alguno de esos puntos. Mediante funciones continuas de partición asociadas a las bolas de la red se define

$$P_\varepsilon(y)=\sum_{j=1}^m\lambda_j(y)y_j, \qquad \lambda_j(y)\ge0, \qquad \sum_j\lambda_j(y)=1.$$

Entonces $P_\varepsilon T(C)$ vive en el espacio finito-dimensional $V_\varepsilon=\operatorname{span}\{y_1,\ldots,y_m\}$ y permanece en $C$ por convexidad. Brouwer da un punto $x_\varepsilon=P_\varepsilon T(x_\varepsilon)$. Además,

$$\|x_\varepsilon-T(x_\varepsilon)\|<\varepsilon.$$

Tomamos $\varepsilon_n\downarrow0$. Como $T(C)$ es relativamente compacta, una subsucesión de $T(x_{\varepsilon_n})$ converge a cierto $x$. La desigualdad anterior fuerza $x_{\varepsilon_n}\to x$ y la continuidad de $T$ da $Tx=x$. Ésta es la arquitectura completa: aproximación de rango finito, Brouwer, precompacidad y paso al límite. Las notas abiertas de Amster desarrollan esta reducción como núcleo de la teoría. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases sobre el teorema de Schauder y aproximaciones de rango finito Abrir fuente

Compacidad de un operador de Green

Para

$$-u''=f(t,u,u'),\qquad u(0)=u(1)=0,$$

consideramos, después de una truncación que se justificará, el operador

$$(Tu)(t)=\int_0^1G(t,s)f(s,u(s),u'(s))\,ds.$$

Si $u$ recorre un conjunto acotado de $C^1$, la continuidad de $f$ sobre el compacto correspondiente produce $|f|\le M$. Entonces

$$|Tu(t)|\le M\int_0^1G(t,s)\,ds\le\frac M8.$$

Además,

$$(Tu)'(t)=\int_0^1\partial_tG(t,s)f(s,u(s),u'(s))\,ds,$$

y $|\partial_tG|\le1$ fuera de la diagonal, por lo que $\|(Tu)'\|_\infty\le M$. La diferencia $(Tu)'(t_2)-(Tu)'(t_1)$ se controla separando el pequeño intervalo entre $t_1$ y $t_2$ y usando continuidad uniforme de los datos. Así $T(C)$ y sus derivadas son uniformemente acotadas y equicontinuas. Arzelà–Ascoli aporta precompacidad en $C^1$. No basta escribir “el núcleo es continuo”: hay que comprobar el espacio donde se pide compactidad y las derivadas necesarias.

La condición de Nagumo

Supongamos que existen barreras $\alpha\le\beta$ y una función positiva continua $\phi$ tal que

$$|f(t,x,y)|\le\phi(|y|) \quad\text{si}\quad \alpha(t)\le x\le\beta(t).$$

Una condición típica de Nagumo exige que el crecimiento de $\phi$ no sea demasiado rápido:

$$\int_{r_0}^{\infty}\frac{s}{\phi(s)}\,ds > \operatorname{osc}(\alpha,\beta)+C_0,$$

donde el miembro derecho depende del ancho vertical de las barreras y de sus pendientes. La forma exacta cambia con las condiciones de borde, pero el mecanismo es estable. Si $u'$ alcanzara un valor enorme, se toma un intervalo en el que $u'$ conserva signo y desciende desde ese máximo hasta un nivel controlado. Como $u''=-f(t,u,u')$,

$$\left|\frac{d}{dt}\frac{(u')^2}{2}\right| =|u'u''| \le |u'|\phi(|u'|).$$

Después de cambiar variable desde $t$ a $u'$ se obtiene una integral del tipo $\int s/\phi(s)\,ds$. El desplazamiento de $u$ en ese intervalo no puede exceder el ancho entre $\alpha$ y $\beta$, lo que contradice la condición integral si el máximo de $|u'|$ fuera demasiado grande. Se concluye

$$\|u'\|_\infty\le R_N.$$

Esta es una cota a priori: vale para toda solución confinada entre las barreras, antes de saber que existe alguna.

Truncar sin cambiar la solución buscada

Elegimos proyecciones continuas

$$p(t,x)=\min\{\beta(t),\max\{\alpha(t),x\}\}, \qquad q(y)=\min\{R,\max\{-R,y\}\},$$

con $R>R_N$, y sustituimos $f(t,x,y)$ por $\widehat f(t,x,y)=f(t,p(t,x),q(y))$, añadiendo cuando sea necesario un término que empuje de nuevo hacia el intervalo. La no linealidad truncada es globalmente acotada. Su operador de Green es continuo y compacto sobre una bola cerrada y convexa; Schauder produce un punto fijo. El principio máximo impide que cruce $\alpha$ o $\beta$, y Nagumo garantiza $|u'|<R$. Por tanto las truncaciones no actúan sobre el punto fijo: éste resuelve el problema original.

Ejemplo trabajado con dependencia de la derivada

Consideremos

$$-u''=1+\tanh(u'),\qquad u(0)=u(1)=0.$$

Tomamos $\alpha=0$ y $\beta=2t(1-t)$. Se tiene

$$-\alpha''=0\le1+\tanh(0),$$

y

$$-\beta''=4\ge1+\tanh(2-4t),$$

porque el lado derecho está entre $0$ y $2$. Además $|f|\le2$, así que Nagumo se cumple con $\phi\equiv2$ y la integral $\int s/2\,ds$ diverge. Definimos

$$(Tu)(t)=\int_0^1G(t,s)[1+\tanh(u'(s))],ds.$$

La positividad de $G$ da $Tu\ge0$. Como el integrando no excede dos,

$$Tu(t)\le2\int_0^1G(t,s)ds=t(1-t)\le\beta(t).$$

También $\|(Tu)'\|_\infty\le2$. Por tanto $T$ envía el conjunto cerrado y convexo

$$C=\{u\in C^1:u(0)=u(1)=0, 0\le u\le\beta, \|u'\|_\infty\le2\}$$

en sí mismo. El argumento de Green y Arzelà–Ascoli prueba que $T(C)$ es relativamente compacto; Schauder entrega una solución. No se concluye unicidad: $\tanh$ es Lipschitz, pero todavía habría que estimar la norma del operador compuesto y verificar que sea menor que uno.

Procedimiento para aplicar Schauder

1. Especifica el espacio de Banach y el conjunto cerrado, convexo y no vacío.
2. Formula el operador cuya ecuación de punto fijo equivale al problema original.
3. Obtén cotas a priori independientes del posible punto fijo.
4. Si aparece $u'$, deriva una cota de Nagumo o una estimación equivalente.
5. Trunca sólo después de fijar cotas y prueba que el operador preserva el conjunto.
6. Verifica continuidad y compacidad con estimaciones de acotación y equicontinuidad.
7. Aplica Schauder y demuestra que la solución del problema truncado no toca la truncación.
8. Declara con precisión qué no aporta el teorema: en general, ni unicidad ni estabilidad.

Ejercicios

1. Comprueba todos los detalles del mapa de Kakutani en $\ell^2$ y señala exactamente por qué su imagen no es relativamente compacta.
2. Reconstruye la prueba de Schauder mediante una red $\varepsilon$ y explica dónde se usa la convexidad.
3. Demuestra que el operador de Green del problema de Dirichlet envía conjuntos acotados de $C^1$ en conjuntos relativamente compactos de $C^1$.
4. Verifica una condición de Nagumo para $f(t,x,y)=a(t,x)(1+|y|^p)$ y determina para qué exponentes el criterio integral puede funcionar.
5. Construye sub y supersoluciones para $-u''=e^u/(1+(u')^2)$ y especifica una bola funcional candidata.
6. En el ejemplo trabajado, itera numéricamente $T$ desde cero y desde $\beta$; reporta residuo y distancia entre iterados sin afirmar unicidad.
7. Da un operador continuo de una bola infinita-dimensional en sí misma que no sea compacto y explica por qué Schauder no se aplica, aunque pudiera tener un punto fijo accidental.

Schauder no es Brouwer “en un espacio más grande”. Es Brouwer después de demostrar que la parte relevante del problema puede aproximarse uniformemente por objetos finito-dimensionales. Nagumo, las barreras y la función de Green son precisamente las estimaciones que vuelven válida esa reducción.