Grado de Brouwer: definición, propiedades y consecuencias

El grado de Brouwer asigna un entero a una ecuación continua

$$F(x)=y,\qquad x\in\Omega\subset\mathbb R^n,$$

siempre que el valor objetivo $y$ no aparezca en la imagen de la frontera. Ese entero no cuenta soluciones sin más: las cuenta con orientación. Dos soluciones pueden aportar signos opuestos y cancelarse, mientras una solución degenerada puede conservar una contribución que sólo se revela después de perturbar el objetivo. La recompensa por aceptar este conteo orientado es una invariancia poderosa: el resultado no cambia bajo deformaciones continuas que mantengan la ecuación sin soluciones sobre la frontera.

En el plano, la unidad anterior identificó el grado con el número de vueltas de la curva $F(\partial\Omega)$ alrededor de $y$. En dimensiones mayores ya no podemos mirar una curva ni desenrollar un ángulo global. La construcción de Brouwer conserva, sin embargo, exactamente la misma información: existencia, orientación local, aditividad e invariancia homotópica. Amster presenta estas propiedades como el núcleo finito-dimensional sobre el que después se construyen aplicaciones a ecuaciones diferenciales y extensiones funcionales. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 3, fundamentos y propiedades del grado de Brouwer Abrir fuente

La terna admisible

Sea $\Omega\subset\mathbb R^n$ un abierto limitado, sea

$$F:\overline\Omega\longrightarrow\mathbb R^n$$

continua y sea $y\in\mathbb R^n$. La terna $(F,\Omega,y)$ es admisible cuando

$$y\notin F(\partial\Omega).$$

Como $\partial\Omega$ es compacta y $F$ es continua, la condición implica una separación cuantitativa:

$$\delta:=\operatorname{dist}\bigl(y,F(\partial\Omega)\bigr)>0.$$

Esta distancia permite perturbar $F$ o $y$ un poco sin perder admisibilidad. También explica por qué la frontera es esencial: una solución puede entrar o salir de $\Omega$ durante una deformación sólo atravesando $\partial\Omega$. Si el valor objetivo ya está en la imagen de la frontera, el conteo interior puede cambiar y el grado no se define con esos datos.

Se escribe

$$\deg(F,\Omega,y)\in\mathbb Z.$$

El dominio no tiene que ser conexo ni poseer una frontera suave para la definición general. La regularidad geométrica será útil al calcular, pero la admisibilidad topológica sólo exige apertura, acotación, continuidad sobre la clausura y separación del objetivo.

Definición para un valor regular

Supongamos primero que $F$ es de clase $C^1$ y que $y$ es un valor regular: para todo $x\in F^{-1}(y)$, la matriz $DF(x)$ es invertible. Los ceros son entonces aislados por el teorema de la función inversa. La compactación y la separación respecto de la frontera hacen finito el conjunto $F^{-1}(y)\cap\Omega$. Se define

$$\deg(F,\Omega,y) =\sum_{x\in F^{-1}(y)\cap\Omega} \operatorname{sgn}\det DF(x).$$

Cada preimagen aporta $+1$ si $F$ conserva orientación local y $-1$ si la invierte. Si no hay preimágenes, la suma vale cero. La implicación inversa no es válida: un grado cero puede esconder soluciones con signos cancelados.

Para una aplicación afín $F(x)=Ax+b$ con $A$ invertible, si $x_*=A^{-1}(y-b)$ pertenece a $\Omega$, entonces

$$\deg(F,\Omega,y)=\operatorname{sgn}\det A.$$

Si $x_*$ queda fuera de $\overline\Omega$, el grado es cero. Esta normalización lineal fija el sentido de todos los cálculos posteriores.

Extensión a aplicaciones continuas

Una aplicación continua puede no ser diferenciable y un valor puede ser crítico. La definición general se obtiene aproximando $F$ por una aplicación suave $G$ suficientemente cercana y escogiendo, si hace falta, un objetivo regular $y'$ cercano a $y$. Si

$$\|F-G\|_{\infty,\partial\Omega}+|y-y'|<\delta,$$

la interpolación lineal entre $F-y$ y $G-y'$ nunca se anula en la frontera. Se define el grado de $(F,\Omega,y)$ mediante la suma regular correspondiente a $(G,\Omega,y')$.

Hay que justificar que el entero no depende de la aproximación. Dos elecciones suficientemente cercanas pueden unirse por una homotopía admisible. En una familia genérica, las preimágenes regulares se desplazan continuamente; sólo pueden crearse o destruirse en pares con signos opuestos, o cruzar la frontera. La primera operación no cambia la suma y la segunda está prohibida por admisibilidad. Esta explicación geométrica anticipa el teorema formal de invariancia por homotopía.

El procedimiento no invita a reemplazar $F$ arbitrariamente. La tolerancia debe compararse con la distancia de la imagen fronteriza al objetivo. Sin ese margen, una aproximación numérica o suave puede tener un grado diferente.

Propiedades fundamentales

Las propiedades siguientes pueden tomarse como una caracterización axiomática del grado.

Normalización

Para la identidad $I(x)=x$,

$$\deg(I,\Omega,y)=1$$

si $y\in\Omega$, y vale cero si $y\notin\overline\Omega$. Más generalmente, una transformación lineal invertible tiene grado igual al signo de su determinante cuando la preimagen está en el dominio.

Aditividad

Si $\Omega_1$ y $\Omega_2$ son abiertos disjuntos contenidos en $\Omega$ y todas las soluciones de $F(x)=y$ en $\Omega$ pertenecen a $\Omega_1\cup\Omega_2$, entonces

$$\deg(F,\Omega,y) =\deg(F,\Omega_1,y)+\deg(F,\Omega_2,y).$$

La propiedad permite descomponer un conteo global en grados locales.

Escisión

Si un cerrado $K\subset\Omega$ no contiene soluciones y al retirarlo permanece una región admisible, entonces

$$\deg(F,\Omega,y)=\deg(F,\Omega\setminus K,y).$$

El grado ignora zonas donde se sabe que la ecuación no puede resolverse.

Invariancia por homotopía

Sea $H:[0,1]\times\overline\Omega\to\mathbb R^n$ continua y sea $y(\lambda)$ una función continua. Si

$$y(\lambda)\notin H(\lambda,\partial\Omega) \quad\text{para todo }\lambda\in[0,1],$$

entonces

$$\deg(H(0,\cdot),\Omega,y(0)) =\deg(H(1,\cdot),\Omega,y(1)).$$

La condición uniforme en toda la frontera y para todo parámetro es indispensable. Comprobar sólo los extremos de la homotopía no basta.

Dependencia de los datos fronterizos

Si $F$ y $G$ coinciden en $\partial\Omega$ y ambas ternas son admisibles respecto de $y$, entonces tienen el mismo grado. De hecho, basta que la interpolación fronteriza entre ellas evite $y$. Así, el grado interior está determinado por la clase de homotopía de los datos en la frontera.

Producto

Para ternas admisibles en dimensiones posiblemente distintas,

$$\deg(F\times G,\Omega\times V,(y,z)) =\deg(F,\Omega,y)\deg(G,V,z).$$

Esta regla ayuda a construir ejemplos de grado positivo o negativo y a separar variables.

Consecuencia principal: existencia

Si

$$\deg(F,\Omega,y)\neq0,$$

entonces existe $x\in\Omega$ con $F(x)=y$. La demostración es inmediata desde la escisión: si no hubiera soluciones, podría retirarse todo el dominio y el grado sería cero.

La recíproca es falsa. En una dimensión, tome

$$F(x)=x^2-1,\qquad \Omega=(-2,2),\qquad y=0.$$

Las preimágenes son $-1$ y $1$. Como

$$F'(-1)=-2,\qquad F'(1)=2,$$

sus contribuciones son $-1$ y $+1$ y el grado total vale cero, aunque existen dos soluciones. Si restringimos el dominio a $(0,2)$, el grado vale $+1$ y detecta la raíz positiva.

Para un valor regular, la fórmula también da la cota

$$\#\bigl(F^{-1}(y)\cap\Omega\bigr) \geq |\deg(F,\Omega,y)|.$$

No cuenta multiplicidades algebraicas arbitrarias: cuenta preimágenes regulares con orientación.

Ejemplo trabajado: la aplicación cuadrática compleja

Identifiquemos $\mathbb R^2$ con $\mathbb C$ y consideremos

$$F(x_1,x_2)= (x_1^2-x_2^2,\,2x_1x_2),$$

que corresponde a $z\mapsto z^2$. Sea $\Omega=B_R(0)$ y tomemos un objetivo regular

$$y=\rho(\cos\varphi,\sin\varphi),\qquad 0<\rho<R^2.$$

La ecuación $z^2=\rho e^{i\varphi}$ tiene dos soluciones en el disco:

$$z_1=\sqrt\rho\,e^{i\varphi/2},\qquad z_2=-\sqrt\rho\,e^{i\varphi/2}.$$

El jacobiano es

$$DF(x_1,x_2)= \begin{pmatrix} 2x_1 & -2x_2\\ 2x_2 & 2x_1 \end{pmatrix},$$

y

$$\det DF=4(x_1^2+x_2^2)=4\rho>0$$

en ambas preimágenes. Por tanto,

$$\deg(F,B_R(0),y)=1+1=2.$$

Sobre la frontera $z=Re^{i\theta}$, la imagen es $R^2e^{2i\theta}$: cuando el dominio completa una vuelta, la imagen completa dos. El cálculo por preimágenes y el cálculo por índice coinciden.

Aunque $0$ no es valor regular porque $DF(0)=0$, la estabilidad del grado respecto del objetivo permite hacer $y\to0$ sin cruzar $F(\partial B_R)$. Así se obtiene

$$\deg(F,B_R(0),0)=2.$$

Este paso muestra por qué la definición general no puede limitarse a valores regulares.

Cálculo por deformación controlada

Considere

$$F(x_1,x_2)= (x_1+0.2\sin x_2,\,x_2+0.2\sin x_1)$$

en el disco unitario y el objetivo $0$. Es posible resolver $F(x)=0$ directamente en este caso, pero el grado evita hacerlo. Definimos

$$H(\lambda,x)=x+ 0.2\lambda(\sin x_2,\sin x_1).$$

Para $|x|=1$,

$$|H(\lambda,x)-x| \leq0.2\sqrt2<1=|x|.$$

Si $H(\lambda,x)=0$, la desigualdad triangular implicaría

$$1=|x|=|H(\lambda,x)-x|<1,$$

una contradicción. La homotopía no tiene ceros en la frontera, de modo que

$$\deg(F,B_1(0),0) =\deg(I,B_1(0),0)=1.$$

Existe al menos un cero en el disco. La estimación estricta sobre la frontera es la parte decisiva; la fórmula de la homotopía por sí sola no demuestra nada.

Teorema del punto fijo de Brouwer

Toda aplicación continua $f:\overline B\to\overline B$ de una bola cerrada en sí misma posee un punto fijo. Si ya existe uno en la frontera, hemos terminado. En caso contrario, estudiemos

$$H(\lambda,x)=x-\lambda f(x).$$

Para $|x|=1$, la igualdad $H(\lambda,x)=0$ implicaría $x=\lambda f(x)$ y

$$1=|x|=\lambda|f(x)|\leq\lambda\leq1.$$

Todas las desigualdades tendrían que ser igualdades: $\lambda=1$ y $f(x)=x$, contradiciendo que no hay punto fijo fronterizo. La homotopía es admisible y

$$\deg(I-f,B,0)=\deg(I,B,0)=1.$$

Por la propiedad de existencia, $I-f$ tiene un cero interior. Ésta es una consecuencia genuinamente topológica: no requiere contracción, derivadas ni una fórmula iterativa. El curso abierto de la UBA presenta el grado como herramienta para este tipo de conclusiones antes de pasar a los operadores de dimensión infinita. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases sobre grado de Brouwer, cálculo y teoremas de existencia Abrir fuente

Otro corolario es la imposibilidad de una retracción continua de la bola sobre su esfera que deje fija la frontera. Si existiera, podría construirse una aplicación de la bola en sí misma sin punto fijo, en contradicción con Brouwer. El grado también es una herramienta central en una demostración de la invariancia del dominio: una aplicación continua e inyectiva entre abiertos de $\mathbb R^n$ envía abiertos en abiertos. La prueba completa requiere localizar el grado alrededor de cada punto y no se reduce a una frase; aquí importa reconocer que la orientación local puede controlarse sin disponer de una derivada.

Estabilidad de la conclusión

Si $\deg(F,\Omega,y)\neq0$ y

$$\varepsilon<\operatorname{dist}(y,F(\partial\Omega)),$$

cualquier $G$ con $\|F-G\|_{\infty,\partial\Omega}<\varepsilon$ permanece unido a $F$ por una homotopía admisible. Por tanto $G(x)=y$ también tiene una solución interior. La robustez es cualitativa: asegura persistencia de al menos una solución, pero no identifica cuál, no garantiza continuidad de una rama y no impide la creación de pares de soluciones con grados opuestos.

Esta distinción prepara el trabajo posterior. En la unidad 4 se aplicará el grado a problemas de contorno, sistemas discretos y teoremas de continuación. Aquí no se anticipan esas traducciones: primero debe dominarse el invariante finito-dimensional y la verificación de admisibilidad.

Procedimiento de cálculo

1. Especifica la terna $(F,\Omega,y)$ y comprueba que $F$ sea continua en $\overline\Omega$.
2. Excluye el objetivo en la frontera y, cuando sea posible, estima la distancia positiva correspondiente.
3. Busca preimágenes regulares. Si son accesibles, suma los signos de los determinantes.
4. Descompón el dominio en vecindades de ceros aislados y usa aditividad para obtener grados locales.
5. Construye una homotopía sencilla sólo después de formular una cota uniforme que evite ceros fronterizos.
6. Normaliza al mapa identidad, a una transformación lineal invertible o a un mapa de grado conocido.
7. Interpreta el entero. Un valor no nulo garantiza existencia; su módulo acota preimágenes únicamente bajo regularidad.
8. Declara los límites. El grado no proporciona por sí solo unicidad, posición precisa, estabilidad dinámica ni un algoritmo convergente.

Errores frecuentes

No se define el grado si $y\in F(\partial\Omega)$. Sumar signos de determinantes en puntos críticos no está permitido; hay que perturbar o usar otra propiedad. Verificar una homotopía sólo en $\lambda=0$ y $\lambda=1$ deja abierta la fuga de soluciones por la frontera. Un grado cero no demuestra inexistencia. Un grado de valor absoluto dos garantiza dos preimágenes sólo para un objetivo regular; en el caso degenerado puede corresponder a un único punto con grado local dos. Finalmente, una nube numérica de valores fronterizos no certifica una distancia positiva sin control entre muestras.

Ejercicios

1. Calcula el grado de $F(x)=x^3-x$ en distintos intervalos que aíslen una, dos o las tres raíces del nivel $0$.
2. Para una matriz invertible $A$, demuestra que $\deg(A,B_R(0),0)=\operatorname{sgn}\det A$ usando una deformación dentro de cada componente de $GL(n)$.
3. Calcula el grado de $z\mapsto z^k$ en un disco respecto de un objetivo regular no nulo y extiende el resultado al objetivo $0$.
4. Construye un ejemplo en $\mathbb R^2$ con tres ceros regulares de índices locales $+1,+1,-1$. Determina el grado en regiones que los agrupen de distintas maneras.
5. Completa todos los detalles de la prueba del punto fijo de Brouwer, incluida la admisibilidad de $x-\lambda f(x)$ en la esfera.
6. Para $F(x)=x+q(x)$ en $B_R(0)$, demuestra que $\sup_{|x|=R}|q(x)|<R$ implica grado uno y existencia de un cero.
7. Explica por qué las aproximaciones suaves usadas en la definición producen el mismo entero. Identifica el papel de la distancia a la imagen de la frontera.
8. Diseña una malla adaptativa para estimar el índice de una aplicación planar sobre una frontera poligonal. Señala qué cota adicional necesitarías para convertir el cálculo en certificación.

El grado de Brouwer convierte una ecuación en un invariante entero estable. Su definición regular revela la orientación; la aproximación extiende el concepto a aplicaciones continuas; la aditividad y la homotopía permiten calcular sin resolver; el grado no nulo obliga a la existencia. Con esta base ya es posible trasladar el método, de forma controlada, a problemas de contorno y esquemas discretos en la unidad siguiente.