Promediado, resonancias, multiplicadores y bifurcación

Una perturbación periódica pequeña puede estudiarse separando el movimiento acumulado durante un periodo de las oscilaciones que se cancelan. El campo promedio gobierna el primer desplazamiento neto. Si uno de sus ceros es no degenerado, el teorema de la función implícita produce una solución periódica del sistema original. Cuando la derivada pierde rango, la reducción deja varias coordenadas críticas: aparecen resonancia múltiple y bifurcación.

La misma estructura se reconoce en optimización. Un extremo restringido se caracteriza por la anulación de una derivada sobre el espacio tangente; los multiplicadores de Lagrange representan las componentes normales. En una ecuación resonante, la proyección sobre el núcleo cumple una función análoga. Esta unidad desarrolla esas conexiones mediante cálculos, sin suponer que todo cero degenerado genere una rama ni que todo promedio describa tiempos arbitrariamente largos.

Promediado y mapa de traslación

Consideremos

$$x'=\varepsilon f(t,x,\varepsilon), \qquad f(t+T,x,\varepsilon)=f(t,x,\varepsilon),$$

con $x\in\mathbb R^m$ y $|\varepsilon|$ pequeño. La solución que parte de $a$ satisface

$$x(T;a,\varepsilon) =a+\varepsilon\int_0^T f(t,x(t;a,\varepsilon),\varepsilon)\,dt.$$

El mapa de traslación $P_\varepsilon(a)=x(T;a,\varepsilon)$ tiene un punto fijo exactamente cuando existe una solución $T$-periódica. Para $\varepsilon\ne0$ definimos el desplazamiento normalizado

$$G(a,\varepsilon)=\frac{P_\varepsilon(a)-a}{\varepsilon}.$$

La dependencia regular de la solución respecto de $(a,\varepsilon)$ permite extender $G$ continuamente a $\varepsilon=0$. Como $x(t;a,0)=a$,

$$G(a,0)=\int_0^T f(t,a,0)\,dt =T\bar f(a),$$

donde

$$\bar f(a)=\frac1T\int_0^T f(t,a,0)\,dt.$$

Si $\bar f(a_0)=0$ y $D\bar f(a_0)$ es invertible, el teorema implícito aplicado a $G(a,\varepsilon)=0$ produce una única curva local $a(\varepsilon)$ de datos iniciales periódicos. La derivación muestra exactamente por qué se promedia: $\bar f$ es la derivada del mapa de retorno respecto de la amplitud perturbativa en $\varepsilon=0$.

El resultado es local. La aproximación $x' = \varepsilon\bar f(x)$ suele describir el comportamiento en escalas de orden $1/\varepsilon$ bajo hipótesis adicionales, pero la existencia de una órbita periódica cercana sólo necesita controlar un periodo y la no degeneración del cero. Amster presenta este argumento como una aplicación directa de la diferenciabilidad del flujo y la función implícita. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 4, §4.6: método de promediado Abrir fuente

Resonancia y núcleo de dimensión mayor

Sea $L:X\to Y$ un operador lineal de Fredholm de índice cero asociado a condiciones periódicas o de contorno. En situación no resonante, $L$ es invertible y $Lu=N(u,\lambda)$ se convierte en un punto fijo. Hay resonancia cuando

$$\ker L\ne\{0\}.$$

Si el núcleo tiene dimensión $r>1$, la igualdad

$$\dim\ker L=\operatorname{codim}\operatorname{Ran}L=r$$

se sigue de la hipótesis de índice cero y la obstrucción es múltiple. Para

$$Lu=h,$$

la alternativa de Fredholm exige que $h$ sea ortogonal al núcleo del adjunto. Elegimos bases $\phi_1,\ldots,\phi_r$ de $\ker L$ y $\psi_1,\ldots,\psi_r$ del conúcleo. Las condiciones de compatibilidad son

$$\langle h,\psi_j\rangle=0, \qquad j=1,\ldots,r.$$

En el problema periódico

$$u''+n^2u=h(t), \qquad u(t+2\pi)=u(t),$$

el núcleo es $\operatorname{span}\{\cos nt,\sin nt\}$. Por tanto deben anularse dos coeficientes de Fourier:

$$\int_0^{2\pi}h(t)\cos(nt)\,dt=0, \qquad \int_0^{2\pi}h(t)\sin(nt)\,dt=0.$$

Para una ecuación no lineal, se escribe

$$u=a\cos nt+b\sin nt+w,$$

con $w$ ortogonal al núcleo. La ecuación proyectada sobre el complemento determina $w=w(a,b,\lambda)$ si la linealización allí es invertible. Las dos ecuaciones restantes forman un sistema finito-dimensional para $(a,b)$. En vez de ocultar la resonancia, el método la concentra en coordenadas que pueden analizarse con grado, extremos o bifurcación.

Extremos y multiplicadores de Lagrange

Sea $J:\mathbb R^n\to\mathbb R$ diferenciable y sea la restricción

$$M=\{x:g_1(x)=\cdots=g_r(x)=0\}.$$

Si los gradientes $\nabla g_1(x_0),\ldots,\nabla g_r(x_0)$ son linealmente independientes, el espacio tangente es

$$T_{x_0}M=\{v:Dg_j(x_0)v=0, j=1,\ldots,r\}.$$

En un extremo restringido, $DJ(x_0)v=0$ para todo $v\in T_{x_0}M$. Por álgebra lineal, $\nabla J(x_0)$ pertenece al complemento normal generado por los gradientes de las restricciones. Existen multiplicadores $\mu_1,\ldots,\mu_r$ tales que

$$\nabla J(x_0)=\sum_{j=1}^r\mu_j\nabla g_j(x_0).$$

La independencia de los gradientes es esencial. Si falla, pueden existir extremos sin multiplicadores determinados o puntos que satisfacen la ecuación multiplicadora sin ser extremos. Las condiciones de segundo orden deben examinar la Hessiana de la Lagrangiana restringida al espacio tangente.

En espacios de Banach, la misma idea usa $DJ(u)\in X^*$ y una restricción $G(u)=0$ con derivada sobreyectiva. Entonces

$$DJ(u)=DG(u)^*\mu.$$

Muchos problemas de contorno son ecuaciones de Euler–Lagrange. Por ejemplo, los puntos críticos de

$$J(u)=\int_0^1\left[\frac12|u'|^2-V(t,u)\right]dt$$

en $H_0^1(0,1)$ satisfacen débilmente

$$-u''=V_u(t,u).$$

Si se añade $\int_0^1u^2dt=c$, aparece un multiplicador y la ecuación se convierte en

$$-u''=V_u(t,u)+2\mu u.$$

Así surge naturalmente un parámetro espectral.

Puntos críticos y pérdida de invertibilidad

Sea $F:X\times\mathbb R\to Y$. Una solución $(u_0,\lambda_0)$ es regular respecto de $u$ si $D_uF(u_0,\lambda_0)$ es invertible. Entonces existe una sola rama local parametrizada por $\lambda$. Un punto crítico ocurre cuando la derivada pierde invertibilidad. Esta condición es necesaria para varios tipos de bifurcación, pero no suficiente.

En dimensión finita, $F(x,\lambda)=x^2+\lambda^2$ tiene derivada $F_x(0,0)=0$, pero el único cero cercano es el origen; no hay dos ramas reales atravesándolo. En cambio,

$$F(x,\lambda)=x(\lambda-x^2)$$

tiene la rama trivial $x=0$ y, para $\lambda>0$, las ramas $x=\pm\sqrt\lambda$. La degeneración se combina aquí con simetría y un término cúbico no nulo.

Sea $F:X\times\mathbb R\to Y$ de clase $C^2$ entre espacios de Banach y supongamos que existe la rama trivial $F(0,\lambda)=0$. El teorema de Crandall–Rabinowitz en su forma simple requiere que $L=D_uF(0,\lambda_0)$ sea Fredholm de índice cero y que

$$\dim\ker D_uF(0,\lambda_0)=1,$$

la codimensión del rango sea uno —en particular, el rango es cerrado— y que se cumpla la condición de transversalidad

$$D_{u\lambda}F(0,\lambda_0)\phi \notin\operatorname{Ran}D_uF(0,\lambda_0),$$

donde $\phi$ genera el núcleo. La reducción escalar determina después la dirección y el tipo de la rama. Si el núcleo tiene dimensión dos o más, se necesita una ecuación reducida vectorial; imponer una fórmula escalar perdería soluciones y simetrías.

Las notas abiertas del curso relacionan extremos, multiplicadores y puntos críticos con esta pérdida de rango: en los tres casos se separan direcciones tangentes, normales o críticas antes de resolver la ecuación reducida. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases sobre multiplicadores, puntos críticos y bifurcación Abrir fuente

Ejemplo trabajado: promedio y horquilla de soluciones periódicas

Consideremos

$$x'=\varepsilon\big(\lambda x-x^3+\cos t\big), \qquad x(t+2\pi)=x(t).$$

El promedio es

$$\bar f(x)=\lambda x-x^3,$$

porque la integral de $\cos t$ en un periodo es cero. Para $\lambda<0$, el único cero es $x=0$ y

$$\bar f'(0)=\lambda\ne0.$$

Por función implícita existe, para $|\varepsilon|$ pequeño, una solución periódica cercana a cero. Para $\lambda>0$ hay tres ceros:

$$x_0=0, \qquad x_\pm=\pm\sqrt\lambda.$$

Sus derivadas son

$$\bar f'(0)=\lambda, \qquad \bar f'(x_\pm)=\lambda-3\lambda=-2\lambda,$$

así que cada cero es no degenerado cuando $\lambda\ne0$. Aparecen tres soluciones periódicas cercanas para perturbación pequeña.

En $\lambda=0$, $\bar f'(0)=0$ y el teorema implícito no decide. La ecuación reducida principal es

$$x(\lambda-x^2)=0,$$

que posee la simetría $x\mapsto-x$ en el promedio. El forzamiento $\cos t$ tiene promedio nulo, pero términos de orden superior pueden romper la horquilla exacta; para afirmar la forma completa en el sistema no promediado habría que calcular la reducción a mayor orden. El primer orden sí demuestra la multiplicidad para cada $\lambda\ne0$ fijo y $|\varepsilon|$ suficientemente pequeño.

Podemos aproximar la primera corrección. Escribimos $x(t)=a+\varepsilon y(t)+O(\varepsilon^2)$, con $a$ un cero del promedio. Entonces

$$y'(t)=\lambda a-a^3+\cos t=\cos t,$$

y una elección periódica es $y(t)=\sin t$. Por tanto

$$x(t)=a+\varepsilon\sin t+O(\varepsilon^2).$$

La condición promedio elimina el término secular; si $\lambda a-a^3\ne0$, integrar produciría un término proporcional a $t$ y no habría corrección periódica de ese orden.

Procedimiento de reducción

1. Construye el mapa de traslación y normaliza su desplazamiento por el parámetro pequeño.
2. Deriva el campo promedio como límite en $\varepsilon=0$.
3. Localiza ceros y calcula el jacobiano; usa función implícita sólo en ceros no degenerados.
4. En resonancia, determina núcleo y conúcleo y escribe todas las condiciones de compatibilidad.
5. Resuelve la ecuación complementaria y conserva las coordenadas críticas en una ecuación finita.
6. Para extremos restringidos, comprueba regularidad de las restricciones antes de introducir multiplicadores.
7. Ante pérdida de invertibilidad, calcula términos superiores y verifica transversalidad; la singularidad sola no prueba bifurcación.
8. Declara la escala temporal y el orden de aproximación de cualquier conclusión de promediado.

Ejercicios

1. Deriva $G(a,0)=T\bar f(a)$ a partir de la ecuación integral y justifica el paso al límite uniformemente en $a$ sobre compactos.
2. Busca soluciones periódicas para $x'=\varepsilon(\mu-x+\sin t)$ mediante promediado y calcula la primera corrección.
3. Determina núcleo, rango y condiciones de compatibilidad de $u''+4u=h(t)$ con periodicidad $2\pi$.
4. Ejecuta una reducción núcleo-complemento para $u''+u=\varepsilon(u^2+p(t))$ y escribe las dos ecuaciones de resonancia.
5. Aplica multiplicadores de Lagrange para extremar $\int_0^1|u'|^2dt$ sujeto a $\int_0^1u^2dt=1$ y datos de Dirichlet; interpreta el multiplicador.
6. Compara $F(x,\lambda)=x^2+\lambda^2$ y $F(x,\lambda)=x(\lambda-x^2)$ mediante sus conjuntos de ceros y explica por qué la misma degeneración lineal conduce a resultados distintos.
7. Para el ejemplo trabajado, calcula el término de orden $\varepsilon^2$ y decide qué términos pueden desplazar los ceros reducidos.

El promedio es el primer término del mapa de retorno, no una sustitución informal de coeficientes variables por constantes. La resonancia obliga a conservar todas las direcciones del núcleo; los multiplicadores describen componentes normales y la bifurcación requiere analizar la degeneración más allá del término lineal. Con esas distinciones, la función implícita y la reducción finita permiten localizar y justificar ramas periódicas.