Shooting planar, índice y condiciones de Lazer–Leach

En una variable, dos signos opuestos obligan a una función continua a pasar por cero. En el plano ya no existe un orden lineal que permita comparar dos extremos: una curva puede rodear el origen, retroceder, formar lazos o evitarlo sin que los signos de sus coordenadas por separado cuenten la historia completa. El reemplazo geométrico de Bolzano es el índice, un número entero que registra cuántas vueltas orientadas da una curva alrededor de un punto.

El shooting planar aparece de manera natural en una ecuación escalar de segundo orden. Al introducir $v=u'$, el estado es $z=(u,v)\in\mathbb R^2$. Una condición periódica exige recuperar las dos coordenadas después de un periodo, no sólo la posición. El problema se convierte entonces en dos ecuaciones simultáneas para dos datos iniciales. Amster desarrolla este salto de dimensión antes de presentar el grado de Brouwer general: el índice de curvas permite ver y calcular el mecanismo topológico sin ocultarlo bajo el formalismo de $\mathbb R^n$. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 2, shooting planar, índice, periodicidad y condiciones de Lazer–Leach Abrir fuente

El operador de periodo en el plano

Sea

$$z'=F(t,z),\qquad F(t+T,z)=F(t,z),\qquad z\in\mathbb R^2.$$

Si el problema inicial tiene solución única hasta tiempo $T$ para todo $z_0$ en una región $U$, definimos

$$P(z_0)=z(T;z_0).$$

El mapa $P$ es continuo por dependencia continua respecto del dato inicial. Una solución $T$-periódica corresponde a un punto fijo:

$$P(z_0)=z_0.$$

Conviene trabajar con el campo de desplazamiento

$$D(z)=P(z)-z.$$

El shooting busca un cero de $D$. Para una ecuación

$$u''=f(t,u,u'),\qquad u(0)=u(T),\qquad u'(0)=u'(T),$$

el disparo es $z_0=(u(0),u'(0))$ y las dos componentes de $D$ son

$$D_1(z_0)=u(T;z_0)-u(0),\qquad D_2(z_0)=u'(T;z_0)-u'(0).$$

Anular sólo $D_1$ significa que la posición regresa, pero la velocidad puede ser distinta. La trayectoria no se pega suavemente al repetirla y no define una solución periódica clásica.

La construcción requiere una auditoría similar a la escalar. Hay que demostrar que todos los disparos de la región elegida llegan a $T$ y que ninguna solución toca una singularidad. El tratamiento del flujo y de los mapas de periodo en Teschl deja claro que continuidad, diferenciabilidad y dominio del retorno proceden del problema inicial; no son propiedades automáticas de una fórmula numérica. Teschl, 2012 Gerald Teschl (2012) Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Graduate Studies in Mathematics, vol. 140; edición en línea autorizada · American Mathematical Society Ubicación consultada: capítulos sobre dependencia del flujo, ecuaciones periódicas y mapas de Poincaré Abrir fuente

Índice de una curva cerrada

Sea $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$ una curva cerrada, pieza a pieza diferenciable, con $\gamma(0)=\gamma(1)$, y sea $q\notin\gamma([0,1])$. El índice de $\gamma$ respecto de $q$ es

$$\operatorname{Ind}(\gamma,q) =\frac{1}{2\pi} \int_0^1 \frac{(\gamma_1-q_1)\gamma_2'-(\gamma_2-q_2)\gamma_1'} {|\gamma-q|^2}\,ds.$$

El integrando es la velocidad angular de $\gamma(s)-q$. Por ello el resultado es un entero: mide el cambio total de un argumento continuo dividido entre $2\pi$. Una circunferencia recorrida una vez en sentido antihorario tiene índice $+1$ respecto de sus puntos interiores; al invertir la orientación obtiene $-1$. Dos vueltas antihorarias producen $+2$. Para un punto en el exterior el índice es cero.

Tres propiedades concentran el método:

1. el índice no cambia durante una deformación continua que evita $q$;
2. es aditivo respecto de la concatenación de curvas;
3. si una curva es frontera orientada de una región y se contrae dentro del plano sin pasar por $q$, su índice respecto de $q$ es cero.

Sea ahora $\Omega$ una región limitada cuya frontera $\Gamma$ es una curva simple orientada positivamente. Si $D(z)\neq0$ sobre $\Gamma$, la imagen $D\circ\Gamma$ es una curva cerrada que evita el origen. Si

$$\operatorname{Ind}(D\circ\Gamma,0)\neq0,$$

entonces $D$ debe tener un cero dentro de $\Omega$. En efecto, si $D$ nunca se anulara, el campo normalizado $D/|D|$ extendería al interior la dirección definida en la frontera. Esa extensión contraería la curva de direcciones sin tocar el origen, algo incompatible con un número de vueltas no nulo.

Este argumento es más fuerte que inspeccionar flechas aisladas. Una discretización de la frontera sólo aproxima el índice; para una prueba se requiere excluir analíticamente $D=0$ sobre ella. El curso abierto de Amster utiliza esta visión planar como preparación del grado topológico y de sus aplicaciones a ecuaciones periódicas. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases sobre shooting en el plano, índice y ecuaciones periódicas Abrir fuente

Índice local y orientación

Si $z_*$ es un cero aislado y regular de $D$, es decir,

$$D(z_*)=0,\qquad \det DD(z_*)\neq0,$$

su índice local es

$$\operatorname{ind}(D,z_*)=\operatorname{sgn}\det DD(z_*).$$

Para un punto fijo de $P$, $DD=DP-I$. Un determinante positivo conserva orientación local y aporta $+1$; uno negativo la invierte y aporta $-1$. Si una región contiene varios ceros regulares, el índice de la frontera es la suma de sus índices locales. Por eso un índice total $2$ garantiza al menos dos ceros regulares, pero un índice cero no garantiza ausencia: pueden existir dos ceros con contribuciones $+1$ y $-1$ que se cancelan.

Como modelo, tome

$$P(z)=q+aR_\theta(z-q),\qquad 0<a<1,$$

donde $R_\theta$ es una rotación. El único punto fijo es $q$. Sobre cualquier circunferencia centrada en $q$,

$$D(z)=(aR_\theta-I)(z-q).$$

Además,

$$\det(aR_\theta-I)=1+a^2-2a\cos\theta>0,$$

de modo que la curva de desplazamientos da una vuelta positiva y el índice vale $1$. El cálculo no depende del radio: cambiarlo deforma la curva sin hacerla cruzar el origen.

Homotopía y exclusión de la frontera

Con frecuencia $D$ es demasiado complicado para calcular su curva imagen. Se introduce entonces una familia $D_\lambda$, $0\leq\lambda\leq1$, donde $D_1=D$ y $D_0$ es simple. Si

$$D_\lambda(z)\neq0 \qquad \text{para todo }z\in\partial\Omega \text{ y }\lambda\in[0,1],$$

las curvas $D_\lambda(\partial\Omega)$ nunca pasan por el origen y conservan su índice. Una cota a priori suele aportar exactamente esta exclusión. El error lógico más común es calcular el índice del problema sencillo y omitir la posibilidad de que, durante la deformación, aparezca un cero en la frontera.

En esta unidad la homotopía se usa sólo para comprender y calcular el índice planar. La formulación general del grado de Brouwer vendrá en la unidad siguiente; los teoremas de continuación para problemas de contorno quedarán para la unidad 4.

Resonancia: por qué el problema cambia

Consideremos la ecuación $2\pi$-periódica

$$u''+n^2u+g(u)=p(t),\qquad n\in\mathbb N,$$

con $p$ continua y periódica. El operador lineal

$$Lu=u''+n^2u$$

tiene núcleo generado por $\cos nt$ y $\sin nt$. Por eso no puede invertirse sobre todas las funciones periódicas: la ecuación lineal $Lu=h$ requiere las condiciones de compatibilidad

$$\int_0^{2\pi}h(t)\cos nt\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}h(t)\sin nt\,dt=0.$$

Al escribir $h=p-g(u)$, las dos compatibilidades se convierten en un sistema planar. Sus coordenadas miden la proyección resonante del forzamiento y de la no linealidad. La amplitud y la fase de la componente

$$u_0(t)=R\cos(nt-\theta)$$

actúan como los dos parámetros de disparo. El resto de $u$ vive en el complemento del núcleo y puede estimarse usando la inversa de $L$ restringida a ese complemento.

Condición de Lazer–Leach

Supongamos que $g$ es continua, acotada y posee límites

$$g_-:=\lim_{s\to-\infty}g(s),\qquad g_+:=\lim_{s\to+\infty}g(s),\qquad g_-<g_+.$$

Definamos los coeficientes resonantes, sin normalizarlos, por

$$A=\int_0^{2\pi}p(t)\cos nt\,dt,\qquad B=\int_0^{2\pi}p(t)\sin nt\,dt.$$

Una forma clásica de la condición de Lazer–Leach es

$$\sqrt{A^2+B^2}<2(g_+-g_-).$$

Con estas convenciones, la desigualdad estricta sitúa el vector resonante del forzamiento dentro de la curva límite generada por la no linealidad. Para entender el factor $2$, tomemos amplitud grande. En los semiperiodos donde $\cos(nt-\theta)>0$, $g(u_0)$ se aproxima a $g_+$; donde es negativa, se aproxima a $g_-$. Como la integral de la parte positiva de un coseno sobre un ciclo aporta $2$ y la negativa aporta $-2$, la proyección resonante de $g(u_0)$ se aproxima al vector

$$2(g_+-g_-)(\cos\theta,\sin\theta).$$

Al variar $\theta$, este vector recorre una circunferencia que contiene estrictamente a $(A,B)$. La diferencia entre ambas contribuciones da una vuelta no nula alrededor del origen. Las estimaciones sobre la componente no resonante permiten escoger $R$ suficientemente grande sin ceros en la frontera. El índice obliga entonces a una solución periódica.

La desigualdad no es un algoritmo de aproximación ni afirma unicidad. Si hay igualdad o si el vector queda fuera, este criterio es inconcluso: podría no haber solución o podría existir por otro mecanismo. También importa la normalización de Fourier; al dividir los coeficientes por $\pi$ cambia el aspecto numérico de la constante, no el contenido del criterio.

Ejemplo trabajado: oscilador con saturación

Estudiemos

$$u''+u+\arctan u=a\cos t+b\sin t,\qquad u(t+2\pi)=u(t).$$

Aquí $n=1$,

$$g_-=-\frac\pi2,\qquad g_+=\frac\pi2,\qquad 2(g_+-g_-)=2\pi.$$

Por ortogonalidad trigonométrica,

$$A=a\int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=a\pi,\qquad B=b\int_0^{2\pi}\sin^2t\,dt=b\pi.$$

Los términos cruzados se anulan. La condición queda

$$\pi\sqrt{a^2+b^2}<2\pi, \qquad\text{es decir,}\qquad \sqrt{a^2+b^2}<2.$$

Para $a=1$ y $b=1/2$ se tiene $\sqrt{5}/2<2$, de modo que el argumento de índice garantiza al menos una solución $2\pi$-periódica. No conocemos su estado inicial ni su forma exacta. Un shooting numérico puede localizarla resolviendo $P(z)-z=0$, pero la garantía de existencia proviene del cálculo resonante y de la exclusión de la frontera, no de que un algoritmo haya convergido desde un dato particular.

Procedimiento para un problema planar periódico

1. Pasa a primer orden y conserva todas las variables necesarias para expresar periodicidad.
2. Define $P$ y $D=P-I$ en una región donde cada problema inicial exista hasta $T$.
3. Obtén cotas a priori para encerrar todo posible punto fijo en una región limitada $\Omega$.
4. Excluye ceros en $\partial\Omega$, analíticamente y de manera uniforme si usarás una homotopía.
5. Parametriza la frontera con orientación positiva y estudia la curva $D(\partial\Omega)$.
6. Calcula el índice directamente, por índices locales o deformando a un campo sencillo.
7. Concluye existencia sólo si el índice es no nulo; registra que el resultado no implica unicidad.
8. En resonancia, separa núcleo y complemento, calcula los coeficientes de Fourier con una convención explícita y verifica estrictamente Lazer–Leach.

Errores frecuentes

Cerrar sólo la posición no produce una órbita periódica de segundo orden. Un polígono dibujado por pocos disparos puede pasar sobre el origen entre dos muestras. El número de vueltas cambia de signo si se invierte la orientación de la frontera, aunque la conclusión “no nulo” permanezca. La homotopía no conserva índice si atraviesa un cero en la frontera. En resonancia, intentar invertir $u''+n^2u$ sin retirar su núcleo oculta las dos condiciones de compatibilidad. Finalmente, comparar coeficientes normalizados con la constante de una fórmula no normalizada introduce factores espurios de $\pi$.

Ejercicios

1. Para $P(z)=q+\frac13R_{\pi/4}(z-q)$, calcula $D$, su determinante lineal y el índice sobre una circunferencia centrada en $q$.
2. Construye dos campos planares con dos ceros regulares cuyos índices locales sean, respectivamente, $(+1,+1)$ y $(+1,-1)$. Compara los índices totales.
3. Demuestra que una solución de segundo orden repetida cada $T$ es de clase $C^1$ sólo si coinciden posición y velocidad en los extremos.
4. Programa una aproximación del índice mediante el desenrollado del ángulo de $D(\gamma(s))$. Estudia la convergencia al refinar la frontera y añade una prueba de distancia mínima al origen.
5. Para $u''+4u+\arctan u=a\cos2t$, calcula la condición de Lazer–Leach con la convención de esta unidad.
6. Repite el ejercicio anterior para $p(t)=a\cos2t+b\sin2t+c\cos t$ y explica por qué el término no resonante no aparece en $(A,B)$.
7. Analiza qué parte de la prueba falla cuando $g_+=g_-$ o cuando se alcanza la igualdad en la condición de Lazer–Leach.
8. Formula el sistema de shooting para $u''+0.2u'+u+u^3=\cos t$ y escribe las dos componentes del residual, sin afirmar existencia a partir de una sola simulación.

El índice planar conserva la idea esencial de Bolzano y elimina su dependencia del orden en la recta. En shooting cuenta la rotación del error final alrededor del cero; en resonancia cuenta cómo la respuesta saturada rodea la proyección del forzamiento. El grado de Brouwer formaliza este mecanismo para dimensiones arbitrarias.