Banach, contracción, derivada de Fréchet y función implícita

El teorema del punto fijo de Banach produce más información que un resultado puramente topológico: entrega existencia, unicidad, convergencia de la iteración y una estimación explícita del error. Su precio es una hipótesis métrica fuerte, la contracción. En ecuaciones diferenciales esa hipótesis suele valer sólo en un intervalo corto, una bola pequeña o después de elegir una norma ponderada.

La derivada de Fréchet permite reconocer contracciones locales y estudiar cómo cambia una solución cuando varían los datos. Si la linealización respecto de la incógnita es invertible, el teorema de la función implícita construye una rama local única. Cuando la linealización pierde invertibilidad, el método deja de aplicar y aparecen las preguntas de resonancia y bifurcación de la unidad siguiente.

Contracciones en espacios completos

Sea $(X,d)$ completo y $T:X\to X$ tal que existe $0<q<1$ con

$$d(Tx,Ty)\le q\,d(x,y)$$

para todos $x,y$. Si $x_{n+1}=T(x_n)$, entonces

$$d(x_{n+1},x_n)\le q^n d(x_1,x_0).$$

La desigualdad triangular da, para $m>n$,

$$d(x_m,x_n) \le\sum_{k=n}^{m-1}q^k d(x_1,x_0) \le\frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0).$$

La sucesión es de Cauchy y converge a cierto $x^*$. Por continuidad, $Tx^*=x^*$. Si $y^*$ fuera otro punto fijo,

$$d(x^*,y^*)=d(Tx^*,Ty^*)\le qd(x^*,y^*),$$

lo cual obliga a $x^*=y^*$. Además se obtienen los controles

$$d(x_n,x^*)\le\frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0),$$ $$d(x_n,x^*)\le\frac{q}{1-q}d(x_n,x_{n-1}).$$

El primero es una estimación a priori y el segundo una estimación a posteriori. Declarar convergencia sin cuantificar $q$ omite el dato que vuelve útil al teorema.

Picard, elección del intervalo y prolongación

Para

$$x'=f(t,x),\qquad x(t_0)=x_0,$$

definimos en $C([t_0-h,t_0+h],\mathbb R^m)$

$$(Tx)(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}f(s,x(s))\,ds.$$

Supongamos que $|f(t,x)|\le M$ y que $f$ es Lipschitz en $x$ con constante $L$ sobre el rectángulo

$$|t-t_0|\le a,\qquad |x-x_0|\le b.$$

Si $h\le a$, $Mh\le b$ y $Lh<1$, entonces $T$ conserva la bola funcional $\|x-x_0\|_\infty\le b$ y

$$\|Tx-Ty\|_\infty\le Lh\|x-y\|_\infty.$$

Banach da una solución única. La restricción $Lh<1$ no significa que la solución deje de existir después de $h$. Se reinicia el argumento desde el extremo y se prolonga mientras la gráfica permanezca en un compacto donde $f$ sea regular. El teorema de prolongación se resume así: una solución maximal definida en $[t_0,b)$ con $b<\infty$ debe abandonar todo compacto del dominio cuando $t\uparrow b$. Si permanece acotada y lejos de la frontera del dominio, puede extenderse, contradiciendo maximalidad.

Una norma de Bielecki,

$$\|x\|_\alpha=\max_t e^{-\alpha|t-t_0|}|x(t)|,$$

puede reducir la constante del operador integral. Sin embargo, cambiar de norma no crea cotas globales sobre una no linealidad que crece sin control; la invariancia del conjunto sigue necesitando una estimación.

El tratamiento de Amster presenta Banach como origen simultáneo de Picard y de varios resultados locales posteriores, con atención a la elección del espacio y la bola. Amster, 2021 Pablo Amster (2021) Métodos topológicos en el estudio de las ecuaciones diferenciales no lineales 1.ª ed., Papirhos Textos 12 · Instituto de Matemáticas, UNAM Ubicación consultada: cap. 4, §§4.1–4.5: contracción, diferenciación de Fréchet y función implícita Abrir fuente

Diferenciación de Fréchet

Sean $X,Y$ espacios normados y $F:U\subset X\to Y$. Decimos que $F$ es diferenciable en sentido de Fréchet en $x$ si existe un operador lineal continuo $DF(x):X\to Y$ tal que

$$\lim_{\|h\|_X\to0} \frac{\|F(x+h)-F(x)-DF(x)h\|_Y}{\|h\|_X}=0.$$

La aproximación debe ser uniforme respecto de la dirección $h/\|h\|$. Poseer derivadas direccionales en todas las direcciones no basta. Esta uniformidad permite la regla de la cadena y el teorema de la función implícita.

Consideremos el operador de Nemytskii

$$N(u)(t)=g(t,u(t))$$

de $C([0,T])$ en sí mismo. Si $g$ posee derivada continua $g_x$ sobre una banda compacta, entonces

$$DN(u)v(t)=g_x(t,u(t))v(t).$$

Para justificarlo, escribimos mediante el teorema del valor medio integral

$$g(t,u+v)-g(t,u)-g_x(t,u)v =\int_0^1[g_x(t,u+sv)-g_x(t,u)]v\,ds.$$

La continuidad uniforme de $g_x$ en la banda hace que el cociente por $\|v\|_\infty$ tienda a cero uniformemente en $t$.

Si $K$ es lineal continuo, la derivada de $K\circ N$ es $K\circ DN(u)$. Para

$$F(u)=u-KN(u),$$

resulta

$$DF(u)v=v-K[g_x(\cdot,u(\cdot))v].$$

Esta fórmula transforma la invertibilidad abstracta de $DF(u)$ en un problema lineal de contorno.

Teorema de la función implícita

Sea $F:U\subset X\times\mathbb R^p\to Y$ de clase $C^1$, y supongamos

$$F(u_0,\lambda_0)=0.$$

Si la derivada parcial

$$D_uF(u_0,\lambda_0):X\to Y$$

es un isomorfismo lineal continuo, existen vecindades de $u_0$ y $\lambda_0$ y una función única $u=u(\lambda)$ de clase $C^1$ tal que

$$F(u(\lambda),\lambda)=0.$$

Al derivar la identidad se obtiene

$$D_uF(u(\lambda),\lambda)u'(\lambda) +D_\lambda F(u(\lambda),\lambda)=0,$$

y en el punto base

$$u'(\lambda_0) =-[D_uF(u_0,\lambda_0)]^{-1} D_\lambda F(u_0,\lambda_0).$$

La prueba reduce el problema a una contracción dependiente del parámetro. Sea $A=D_uF(u_0,\lambda_0)$. Resolver $F(u,\lambda)=0$ equivale a buscar un punto fijo de

$$T_\lambda(u)=u-A^{-1}F(u,\lambda).$$

En una bola pequeña, $D_uT_\lambda=I-A^{-1}D_uF$ tiene norma menor que uno porque se anula en $(u_0,\lambda_0)$ y depende continuamente de $(u,\lambda)$. También se verifica que $T_\lambda$ conserva la bola. Banach produce el punto fijo único y su dependencia regular. Las clases abiertas de la UBA desarrollan esta construcción para hacer explícita la relación entre invertibilidad y unicidad local. Amster, 2020 Pablo Amster (2020) Análisis no lineal: métodos topológicos Curso de 24 clases con notas y videos · Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires Ubicación consultada: clases sobre derivada de Fréchet y teorema de la función implícita Abrir fuente

Ejemplo trabajado: una rama de soluciones de Dirichlet

Estudiemos

$$-u''=\lambda\sin u, \qquad u(0)=u(1)=0.$$

Sea

$$X=C^2([0,1])\cap C_0([0,1]), \qquad Y=C([0,1]),$$

con la norma usual de $C^2$ en $X$. Definimos

$$F(u,\lambda)=-u''-\lambda\sin u.$$

Se cumple $F(0,\lambda)=0$ para todo $\lambda$: existe la rama trivial. La derivada respecto de $u$ es

$$D_uF(0,\lambda)v=-v''-\lambda v.$$

Para $\lambda_0<\pi^2$, este operador es invertible. En efecto, si

$$-v''-\lambda_0v=0,\qquad v(0)=v(1)=0,$$

multiplicar por $v$ e integrar da

$$\int_0^1|v'|^2dt =\lambda_0\int_0^1|v|^2dt.$$

La desigualdad de Poincaré,

$$\int_0^1|v'|^2dt\ge\pi^2\int_0^1|v|^2dt,$$

obliga a $v=0$. La teoría lineal de Dirichlet da sobreyectividad. Por función implícita, cerca de $(0,\lambda_0)$ la única solución es la trivial.

En $\lambda=\pi^2$, el núcleo contiene $\sin(\pi t)$ y la hipótesis falla. No se concluye que exista una bifurcación sólo por esa falla; se concluye que la unicidad local ya no está garantizada por este teorema. La reducción y las condiciones adicionales necesarias pertenecen al análisis de bifurcación.

Para ver una rama no constante, modifiquemos el problema a

$$-u''=\lambda\sin u+h(t),$$

y supongamos conocida una solución $u_0$ en $\lambda_0$ para la cual $-v''-\lambda_0\cos(u_0)v$ es invertible. Entonces

$$u'(\lambda_0) =\big[-\tfrac{d^2}{dt^2}-\lambda_0\cos u_0\big]^{-1}\sin u_0.$$

La expresión determina la tangente de la rama y su cálculo requiere resolver un problema lineal, no volver a resolver el problema no lineal completo.

Procedimiento funcional

1. Elige un espacio completo cuya norma controle las cantidades presentes en la ecuación.
2. Construye un conjunto cerrado preservado por el operador.
3. Calcula una constante de contracción explícita y verifica que sea menor que uno.
4. Registra una cota del error de iteración; no uses sólo la diferencia visual entre curvas.
5. Para prolongar, demuestra que la solución permanece en compactos del dominio.
6. Si hay parámetros, formula $F(u,\lambda)=0$ y calcula la derivada de Fréchet con su resto uniforme.
7. Traduce la invertibilidad de $D_uF$ a un problema lineal y comprueba núcleo y sobreyectividad.
8. Distingue la rama local garantizada de cualquier afirmación global o bifurcación posterior.

Ejercicios

1. Demuestra las dos estimaciones de error del teorema de Banach y compara cuál puede calcularse durante una iteración.
2. Aplica Picard a $x'=t+x^2$, $x(0)=0$, y determina valores concretos de $h$, $b$, $M$ y $L$ que hagan invariante la bola.
3. Prueba que una solución maximal de $x'=f(t,x)$ puede prolongarse si su gráfica permanece en un compacto contenido en el dominio de $f$.
4. Demuestra la diferenciabilidad de Fréchet del operador $N(u)=e^u$ sobre una bola de $C[0,1]$ y estima el resto cuadrático.
5. Calcula la derivada del operador integral $F(u,\lambda)=u-\lambda K(u^3)-h$ y formula su problema lineal asociado.
6. Verifica mediante series de Fourier que $-v''-\lambda v$ con Dirichlet es invertible exactamente cuando $\lambda\ne n^2\pi^2$.
7. Implementa la iteración de Picard y una corrección de Newton para un problema escalar; compara residuos y explica qué hipótesis locales justifican cada convergencia.

Banach aporta control métrico y la derivada de Fréchet convierte la ecuación no lineal en una familia lineal bien definida. El teorema implícito combina ambos: la inversa de la linealización crea una contracción local. Su alcance es preciso —rama única en una vecindad— y su fallo identifica, sin resolver todavía, los parámetros donde pueden surgir resonancia o bifurcación.