Variedades centrales, formas normales y bifurcaciones locales

La linealización decide la dinámica local cuando el equilibrio es hiperbólico. Precisamente en una bifurcación deja de serlo: un autovalor cruza cero o un par complejo cruza el eje imaginario. Las direcciones estables e inestables continúan contrayéndose o expandiéndose con rapidez, mientras unas pocas direcciones centrales contienen la decisión cualitativa. La variedad central reduce el problema a esas variables críticas; la forma normal elimina términos que no cambian la estructura local hasta el orden estudiado.

Estas herramientas son locales y paramétricas. No calculan cuencas globales, conexiones lejanas ni todos los ciclos de un modelo. Su fuerza consiste en explicar qué objetos nacen, desaparecen o cambian de estabilidad cerca de un estado y un parámetro críticos.

Teorema de la variedad central: alcance

Después de trasladar un equilibrio al origen, escribamos

$$\dot u=A_cu+F(u,v), \qquad \dot v=A_hv+G(u,v),$$

donde el espectro de $A_c$ tiene parte real cero y el de $A_h$ está separado del eje imaginario. Los términos no lineales y sus primeras derivadas se anulan en el origen. Bajo regularidad suficiente existe una variedad central local

$$W^c_{\mathrm{loc}}=\{(u,v):v=h(u),\ h(0)=0,\ Dh(0)=0\},$$

invariante localmente y tangente al subespacio central. La dinámica reducida es

$$\dot u=A_cu+F(u,h(u)).$$

Toda trayectoria que permanece cerca durante todo el tiempo relevante está controlada por esta reducción, y la estabilidad del origen puede inferirse de la dinámica central junto con las direcciones hiperbólicas. Una variedad central local no tiene por qué ser única; sus expansiones de Taylor coinciden hasta el orden determinado por la ecuación de invariancia. Tampoco debe confundirse con la variedad estable: sobre ella la dinámica puede atraer, repeler u oscilar.

Para una familia $\dot x=f(x,\mu)$, el parámetro se incorpora como variable neutral $\dot\mu=0$. Así, el espacio central incluye las direcciones críticas del estado y del parámetro. Wiggins formula la reducción en este espacio extendido y exige mantener el carácter local de la conclusión. Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: caps. 3 y 20, variedades invariantes y bifurcaciones locales Abrir fuente

Ecuación de invariancia

Si $v=h(u)$ es invariante, la derivada de $v$ calculada sobre la gráfica debe coincidir con la ecuación de $v$:

$$Dh(u)\,[A_cu+F(u,h(u))] =A_hh(u)+G(u,h(u)).$$

Se propone una serie $h(u)=h_2(u)+h_3(u)+\cdots$, donde $h_k$ es homogénea de grado $k$, se sustituye y se igualan grados. No es necesario resolver $h$ exactamente para clasificar una bifurcación: suelen bastar los primeros términos no nulos de la dinámica reducida.

Ejemplo trabajado: reducción a una horquilla

Consideremos la familia

$$\dot x=\mu x-xy, \qquad \dot y=-y+x^2.$$

En $(x,y,\mu)=(0,0,0)$, la dirección $x$ tiene autovalor cero, $y$ tiene autovalor $-1$ y $\mu$ es neutral por $\dot\mu=0$. Para empezar, fijemos $\mu=0$ y busquemos $y=h(x)=ax^2+O(x^3)$. La invariancia exige

$$h'(x)[-xh(x)]=-h(x)+x^2.$$

El lado izquierdo comienza en orden cuatro, mientras el derecho tiene $(1-a)x^2$. Por tanto $a=1$ y

$$h(x)=x^2+O(x^4).$$

Sobre la variedad central, conservando el parámetro y los términos principales,

$$\dot x=\mu x-xh(x,\mu) =\mu x-x^3+\text{términos de orden superior}.$$

Esta es la forma normal de una horquilla supercrítica. La simetría $(x,y)\mapsto(-x,y)$ impide términos pares en la ecuación reducida de $x$. El sistema completo permite comprobar las ramas exactamente: de $-y+x^2=0$ se obtiene $y=x^2$ y de $x(\mu-y)=0$,

$$(x,y)=(0,0) \quad\text{o}\quad (x,y)=(\pm\sqrt\mu,\mu),\qquad \mu>0.$$

En el origen el jacobiano tiene autovalores $\mu$ y $-1$; por ello es estable para $\mu<0$ y pierde estabilidad al cruzar cero. En las ramas laterales,

$$J= \begin{pmatrix} 0&-x\\ 2x&-1 \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{tr}J=-1, \qquad \det J=2x^2=2\mu>0.$$

Ambos autovalores tienen parte real negativa, de modo que las ramas son estables para $\mu>0$ suficientemente pequeño —de hecho para todo valor donde esta clasificación mantenga la traza y determinante indicados—. La reducción predijo correctamente aparición y estabilidad local, pero la comprobación exacta aprovecha la estructura especial del modelo.

Formas normales y términos resonantes

Tras la reducción central se aplica un cambio cercano a la identidad,

$$u=z+H_k(z),$$

para eliminar términos homogéneos de grado $k$ que pertenecen al rango del operador homológico asociado a la parte lineal. Los términos que no pueden eliminarse por esa ecuación son resonantes y permanecen en la forma normal. El procedimiento simplifica la expansión hasta un orden finito; no afirma que el sistema completo sea exactamente igual al polinomio truncado.

Los coeficientes pueden cambiar al reescalar estado, parámetro y tiempo. Por eso suele normalizarse su magnitud y conservar sólo signos que determinan el tipo de bifurcación. Si el primer coeficiente decisivo es muy pequeño, los términos de orden superior pueden ser relevantes en una región mayor que la vecindad asintótica y conviene tratar el caso como cercano a una degeneración de codimensión superior.

Guckenheimer y Holmes combinan variedades centrales y formas normales: la primera reduce la dimensión, la segunda identifica qué términos de esa reducción controlan el retrato local. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: caps. 3–4, variedades centrales, formas normales y bifurcaciones

Bifurcaciones de codimensión uno con autovalor cero

Para una ecuación escalar reducida $\dot u=g(u,\mu)$, una bifurcación silla-nodo genérica en el origen cumple

$$g(0,0)=0, \quad g_u(0,0)=0, \quad g_{uu}(0,0)\ne0, \quad g_\mu(0,0)\ne0.$$

Tras cambios locales adopta la forma

$$\dot u=\mu-u^2$$

con signos equivalentes según convenciones. Para $\mu>0$ hay dos equilibrios $u=\pm\sqrt\mu$, uno estable y otro inestable; para $\mu<0$ no hay ninguno cerca. La distancia entre ramas escala como $\sqrt{|\mu|}$.

La transcrítica requiere una rama de equilibrios persistente, a menudo por una restricción del modelo. Su forma típica es

$$\dot u=\mu u-u^2.$$

Las ramas $u=0$ y $u=\mu$ se cruzan e intercambian estabilidad. No basta observar dos curvas que se intersecan: la estructura debe preservar ambas bajo las perturbaciones admitidas. Sin esa restricción, una perturbación genérica puede desplegar el cruce como sillas-nodo.

La horquilla supercrítica tiene forma

$$\dot u=\mu u-u^3,$$

y la subcrítica, después de convenciones,

$$\dot u=\mu u+u^3.$$

Una simetría $u\mapsto-u$ suele proteger la ausencia de términos pares. En la supercrítica nacen dos ramas estables cuando la central pierde estabilidad; en la subcrítica las ramas laterales cercanas son inestables y existen al otro lado del umbral. Hirsch, Smale y Devaney presentan estos modelos como familias locales: el diagrama sólo es válido donde el truncamiento y las hipótesis de no degeneración dominan. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 8–9, bifurcaciones de equilibrios y familias de sistemas

Bifurcación de Hopf

Supongamos que el jacobiano tiene un par simple

$$\lambda_{1,2}(\mu)=\alpha(\mu)\pm i\omega(\mu), \qquad \omega(0)=\omega_0>0,$$

que cruza transversalmente el eje imaginario,

$$\alpha(0)=0, \qquad \alpha'(0)\ne0,$$

y que los demás autovalores tienen parte real distinta de cero. La variedad central relevante es bidimensional. En coordenada compleja, la forma normal cúbica puede escribirse

$$\dot z=(\eta\mu+i\omega_0)z+l_1z|z|^2+\text{orden superior}.$$

En polares,

$$\dot r=\eta\mu r+\operatorname{Re}(l_1)r^3+\cdots, \qquad \dot\theta=\omega_0+O(\mu,r^2).$$

Si el primer coeficiente de Lyapunov no se anula, su signo junto con el sentido del cruce determina si aparece un ciclo pequeño estable —caso supercrítico en la convención usual— o inestable —caso subcrítico—. Un par imaginario por sí solo no demuestra Hopf: también se necesitan cruce transversal y no degeneración.

En la forma radial $\dot r=\mu r-r^3$, para $\mu>0$ aparece $r^*=\sqrt\mu$. La derivada radial en esa rama es

$$\left.\frac{d}{dr}(\mu r-r^3)\right|_{r=\sqrt\mu} =\mu-3\mu=-2\mu<0,$$

así que el ciclo es transversalmente estable. Su periodo tiende a $2\pi/\omega_0$ cuando $\mu\to0$. Esta predicción de amplitud y periodo es asintótica; lejos del umbral intervienen términos superiores y posibles bifurcaciones globales.

Parámetros múltiples y codimensión dos

La codimensión cuenta cuántas condiciones independientes deben satisfacerse. Las bifurcaciones anteriores son genéricamente de codimensión uno y se observan al variar un parámetro. Si falla una condición de no degeneración, suelen necesitarse dos parámetros. Ejemplos importantes son:

• cúspide: se anula el término cuadrático de un silla-nodo y dos curvas de pliegue se encuentran;
• Bogdanov–Takens: el jacobiano tiene un autovalor cero doble con estructura no semisimple y su despliegue puede contener silla-nodo, Hopf y una conexión homoclínica;
• Hopf generalizada o Bautin: se anula el primer coeficiente de Lyapunov y cambia la criticidad de Hopf;
• cero–Hopf: coinciden un autovalor cero y un par imaginario.

Nombrar uno de estos casos a partir del espectro es sólo un diagnóstico inicial. Se requieren coeficientes de no degeneración y un despliegue con parámetros independientes. La continuación numérica puede localizar curvas candidatas, pero su clasificación debe incluir esos residuos.

Procedimiento completo

1. Encuentra la rama base $f(x^*(\mu),\mu)=0$ y traslada el equilibrio al origen.
2. Calcula el espectro a lo largo de la rama. Identifica el cruce crítico y separa direcciones centrales e hiperbólicas.
3. Verifica transversalidad. Estima la derivada del autovalor crítico respecto del parámetro y controla su incertidumbre.
4. Extiende con parámetros usando $\dot\mu=0$ y formula una gráfica de variedad central con tangencia correcta.
5. Resuelve la invariancia por órdenes hasta obtener el primer término que decide la dinámica reducida.
6. Simplifica a forma normal mediante cambios cercanos a identidad y registra los coeficientes resonantes que no pueden eliminarse.
7. Comprueba no degeneración y simetrías. No asignes silla-nodo, horquilla o Hopf sólo por semejanza del diagrama.
8. Predice ramas y estabilidad, vuelve a las variables originales y compara con equilibrios o ciclos calculados por continuación.
9. Delimita la vecindad de validez. Repite con términos de mayor orden o parámetros más cercanos al umbral.
10. Separa bifurcaciones locales y globales. Una colisión homoclínica o de ciclos lejanos no queda explicada únicamente por la forma normal del equilibrio.

Errores frecuentes

Un autovalor real cercano a cero puede ser error numérico; hay que refinar el equilibrio y el jacobiano. Una variedad central no es necesariamente atractora si existen direcciones inestables. La expansión $h(u)$ satisface invariancia, no la ecuación algebraica $\dot v=0$ salvo en aproximaciones justificadas. Un diagrama de horquilla no es genérico sin simetría. En Hopf, observar oscilaciones transitorias no demuestra un ciclo, y calcular sólo el signo de la traza en el plano no sustituye el primer coeficiente de Lyapunov.

Ejercicios

1. Para $\dot x=x^2-y$, $\dot y=-y$, calcula una aproximación cuadrática de la variedad central del origen y deriva la dinámica reducida.
2. Continúa el cálculo del ejemplo trabajado incluyendo términos dependientes de $\mu$ en $h(x,\mu)$ hasta grado total dos.
3. Clasifica equilibrios y estabilidad de $\dot u=\mu-u^2$. Dibuja el diagrama con la convención de ramas estables e inestables.
4. Añade una perturbación constante pequeña a $\dot u=\mu u-u^3$. Explica cómo rompe la simetría y modifica la horquilla.
5. Para $\dot u=\mu u+u^3-u^5$, identifica las ramas cercanas al origen y discute por qué el término de quinto grado es necesario para describir saturación lejos del umbral subcrítico.
6. Deriva radio, estabilidad y frecuencia principal de $\dot z=(\mu+i\omega_0)z-(1+ic)z|z|^2$. ¿Cómo afecta $c$ a la amplitud y a la frecuencia?
7. Propón pruebas numéricas para distinguir un cruce de Hopf de un foco débil sin ciclo observable. Incluye cálculo espectral, continuación y multiplicadores.
8. Investiga el sistema de Bogdanov–Takens $\dot x=y$, $\dot y=\mu_1+\mu_2y+x^2+xy$. Identifica el equilibrio doble en el origen y explica qué cálculos adicionales serían necesarios para trazar su despliegue.

Al terminar esta unidad debes poder seguir una bifurcación desde el espectro hasta una conclusión limitada y verificable: reducción central, coeficiente normal, ramas locales y estabilidad. El objetivo no es memorizar cuatro diagramas, sino saber por qué aparecen y cuándo dejan de ser una descripción suficiente.