Dinámica unidimensional

En una dimensión la geometría es austera y, justamente por eso, muy informativa. Para $\dot x=f(x)$, los ceros de $f$ son equilibrios y el signo de $f$ indica si el estado se mueve a la derecha o a la izquierda. Una línea de fase resume todas las condiciones iniciales sin resolver explícitamente la ecuación. Strogatz comienza con este análisis: primero se entiende el campo completo y sólo después se buscan fórmulas explícitas. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 2, pp. 15–44

Un equilibrio $x^*$ es estable en el sentido de Lyapunov si las trayectorias que empiezan suficientemente cerca permanecen cerca; es asintóticamente estable si además convergen a él. Cuando $f'(x^*)<0$, la perturbación $\eta=x-x^*$ satisface en primer orden $\dot\eta=f'(x^*)\eta$ y se contrae; cuando $f'(x^*)>0$, se expande. Si la derivada se anula, el criterio lineal no decide y hay que inspeccionar términos de orden superior o el signo de $f$ a ambos lados.

La línea de fase distingue también estabilidad unilateral. En $\dot x=-x^2$, las flechas apuntan a la izquierda a ambos lados del origen. Las condiciones $x_0>0$ se aproximan a $0$, pero las negativas se alejan y pueden divergir en tiempo finito. Llamar al origen «estable» sin revisar ambos lados sería incorrecto.

La familia $\dot x=\mu x-x^3$ reúne estos criterios en una sola imagen. Resolver $x(\mu-x^2)=0$ produce la rama $x^*=0$ para todo $\mu$ y las ramas $x^*=\pm\sqrt\mu$ cuando $\mu\ge0$. El trazo continuo representa estabilidad y el discontinuo inestabilidad; el diagrama organiza equilibrios calculados parámetro por parámetro.

La animación añade el potencial $V_\mu(x)=x^4/4-\mu x^2/2$. Para $\mu<0$ hay un mínimo central; después del cruce ese mínimo se convierte en máximo y surgen dos mínimos laterales. Esta equivalencia entre el signo de $f=-V'$ y la forma del potencial se aplica a sistemas escalares de gradiente. Su uso en una ecuación multidimensional requiere comprobar la estructura de gradiente correspondiente.

Derivación del tiempo de relajación

Si $\lambda=f'(x^*)<0$, la aproximación lineal da

$$\eta(t)\approx\eta_0e^{\lambda t}.$$

El tiempo característico es $\tau=1/|\lambda|$: después de un tiempo $\tau$, la perturbación se reduce por un factor $e^{-1}$. Para alcanzar una fracción $r$ de la perturbación inicial se necesita aproximadamente

$$t_r=\frac{\log r}{\lambda}.$$

Esta estimación es local. Lejos del equilibrio, la forma completa de $f$ controla la rapidez; cerca de un equilibrio no hiperbólico, la relajación puede ser algebraica. En $\dot x=-x^3$, por ejemplo,

$$x(t)=\frac{x_0}{\sqrt{1+2x_0^2t}},$$

que decae como $t^{-1/2}$ y no como una exponencial. Hirsch, Smale y Devaney presentan estabilidad y bifurcación después de construir la dinámica de primer orden, de modo que la derivada se interpreta siempre dentro de la línea de fase completa. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 1, pp. 1–20; cap. 8, pp. 159–186

Crecimiento logístico continuo

Considera

$$\dot x=rx\left(1-\frac{x}{K}\right),\qquad r>0, K>0.$$

Los equilibrios son $x^*_1=0$ y $x^*_2=K$. Como

$$f'(x)=r\left(1-\frac{2x}{K}\right),$$

se obtiene $f'(0)=r>0$ y $f'(K)=-r<0$: el origen repele y la capacidad $K$ atrae a los estados positivos cercanos. Para $0<x<K$, $f(x)>0$ y la población crece; para $x>K$, $f(x)<0$ y disminuye.

La solución exacta es

$$x(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-x_0}{x_0}\right)e^{-rt}},$$

de modo que la distancia a $K$ decrece aproximadamente como $e^{-rt}$ al final. El parámetro $r$ controla la escala temporal; $K$ controla el nivel de equilibrio.

La separación de variables permite ver de dónde sale la fórmula:

$$\frac{dx}{x(1-x/K)}=r\,dt, \qquad \log\left|\frac{x}{K-x}\right|=rt+C.$$

Imponer $x(0)=x_0$ determina $C$. Para $x_0>0$, la solución no cruza $0$ ni $K$ por unicidad. Para $x_0<0$, el modelo deja de tener interpretación poblacional y puede desarrollar un comportamiento distinto; el dominio físico forma parte del planteamiento, no es un detalle posterior.

Equilibrio en la línea de fase y la serie temporal

En $f(x)$ contra $x$, los cruces con el eje horizontal son equilibrios. Un cruce descendente corresponde a $f'<0$ y atrae; uno ascendente corresponde a $f'>0$ y repele. En $x(t)$ contra $t$, una pendiente grande significa cambio rápido, no inestabilidad. La curva sigmoide logística tiene máxima pendiente cerca de $x=K/2$, donde el producto $x(1-x/K)$ es máximo.

Una línea de fase contiene simultáneamente el destino de todos los estados iniciales, mientras una serie sólo registra uno. Por eso conviene dibujar primero $f(x)$, colocar flechas por intervalos y luego seleccionar trayectorias representativas. En cada intervalo sin ceros, el signo de $f$ es constante; una solución no puede saltar sobre un equilibrio si hay unicidad.

Método comparativo para puntos fijos en flujos y mapas

Abre el módulo de Mapa logístico y úsalo inicialmente con $r=2.8$, $x_0=0.2$, $200$ iteraciones y descarte de las primeras $100$. Aunque se trata de tiempo discreto, la práctica permite comparar el concepto de punto fijo con el modelo continuo. Observa la serie y la telaraña; después cambia a $r=3.2$ conservando todo lo demás.

Calcula el punto fijo no nulo $x^*=1-1/r$ y evalúa $F'(x^*)=2-r$. Para $r=2.8$, $|2-r|<1$ y las iteraciones convergen; para $r=3.2$, $|2-r|>1$ y ese punto fijo pierde estabilidad. Registra que la regla de estabilidad de mapas usa valor absoluto, mientras que en flujos escalares se examina el signo de $f'$.

La diferencia se determina por la evolución de una perturbación. En el flujo, $\eta(t)\approx e^{f'(x^*)t}\eta_0$ y basta $f'(x^*)<0$ para contraer. En el mapa, $\eta_{n+1}\approx F'(x^*)\eta_n$, por lo que se requiere $|F'(x^*)|<1$; un multiplicador negativo alterna el lado de aproximación. Devaney desarrolla esta lógica de iteración antes de introducir caos, y conviene mantenerla separada de la regla continua. Devaney, 2020 Robert L. Devaney (2020) A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment 2.ª ed. · CRC Press Ubicación consultada: capítulos iniciales sobre puntos fijos e iteración

Bifurcaciones en sistemas unidimensionales

Una bifurcación ocurre cuando la estructura cualitativa cambia al variar $\mu$. Las formas normales condensan el comportamiento cercano al punto crítico. En $\dot x=\mu-x^2$ no hay equilibrios para $\mu<0$, aparece uno doble en $0$ y surgen dos para $\mu>0$: es una silla-nodo. En $\dot x=\mu x-x^3$, la simetría $x\mapsto-x$ sostiene la horquilla supercrítica de la figura. Si se añade un término pequeño que rompe la simetría, la horquilla perfecta se deforma; por eso el diagrama representa una familia con hipótesis concretas, no una figura universal.

Para clasificar las ramas basta evaluar

$$\partial_x f(x^*(\mu),\mu).$$

El valor cero en el punto crítico señala la pérdida de hiperbolicidad. Allí la linealización deja de decidir y los términos no lineales son precisamente los que generan la nueva geometría. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 3, pp. 45–94

Unicidad y conservación del orden

En un flujo escalar con unicidad, dos soluciones distintas no pueden cruzarse. Si $x_1(t_c)=x_2(t_c)$ en algún instante, ambas resuelven el mismo problema inicial desde $t_c$ y deben coincidir en el intervalo común. Esta propiedad conserva el orden: si $x_1(0)<x_2(0)$, entonces $x_1(t)<x_2(t)$ mientras ambas soluciones existan.

El orden explica por qué un equilibrio funciona como barrera y por qué no aparecen ciclos no constantes en una dimensión autónoma. Una solución periódica tendría que regresar a un valor previo con la misma derivada y repetir el futuro; entre un máximo y un mínimo también tendría que cambiar de dirección sin encontrar un cero compatible con la línea de fase. Las oscilaciones autónomas requieren al menos dos variables de estado.

Esta conclusión depende de las hipótesis. Para campos no Lipschitz, como $\dot x=\sqrt{|x|}$, una solución puede permanecer un tiempo en el origen y luego salir, de modo que el mismo dato inicial admite continuaciones distintas. La línea de fase sigue mostrando signos, pero ya no representa un flujo único.

Análisis cualitativo sin solución explícita

La fuerza del caso unidimensional está en que el signo ordena toda la dinámica. Antes de resolver una ecuación, ya se pueden identificar barreras, destinos y cambios de estabilidad; la solución exacta sirve después para medir tiempos y comprobar la lectura geométrica.