Modelado y espacio de estados

Un sistema dinámico empieza con una elección: ¿qué información mínima determina su evolución futura? Esa información forma el estado. En un péndulo ideal, el estado reúne ángulo y velocidad angular; en una población regulada puede constar de una sola variable. Elegir pocas variables no significa simplificar a ciegas: significa conservar la información necesaria para que el futuro quede determinado bajo el modelo.

Para un sistema autónomo continuo escribimos

$$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x};\boldsymbol{\mu}), \qquad \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0.$$

El vector $\mathbf{x}$ pertenece al espacio de estados, $\boldsymbol{\mu}$ reúne parámetros y $\mathbf{f}$ asigna a cada estado una velocidad. Un parámetro se mantiene fijo durante una corrida; una variable de estado cambia y participa en la determinación del futuro; un observable se calcula con el estado sin añadir necesariamente una nueva dimensión. Esta distinción evita inflar el modelo o, en el extremo contrario, omitir memoria relevante.

Si existe una solución única, el estado inicial determina una trayectoria. El conjunto de transformaciones $\varphi_t(\mathbf{x}_0)$ que lleva el inicio al estado alcanzado en el tiempo $t$ se llama flujo y satisface $\varphi_{t+s}=\varphi_t\circ\varphi_s$. Hirsch, Smale y Devaney introducen primero EDO escalares y vuelven después a existencia, unicidad y simulación en dimensión mayor; esa separación recuerda que escribir $\dot{\mathbf x}=\mathbf f(\mathbf x)$ no basta para garantizar un flujo global. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 1 y 7, pp. 1–20 y 139–158

Definición del vector de estado

Para construir el estado conviene seguir una secuencia concreta. Primero se delimita el fenómeno y la escala temporal. Después se nombran magnitudes medibles y se pregunta si conocerlas en $t_0$ basta para calcular sus derivadas. Si una derivada depende de una cantidad ausente, esa cantidad debe añadirse o expresarse mediante una relación constitutiva. Por último se comprueban unidades y dominio.

Una ecuación de orden $n$ puede escribirse como $n$ ecuaciones de primer orden. Si $q^{(n)}=G(t,q,\dot q,\ldots,q^{(n-1)})$, se define $x_1=q$, $x_2=\dot q$, hasta $x_n=q^{(n-1)}$. Entonces $\dot x_1=x_2,\ldots,\dot x_{n-1}=x_n$ y $\dot x_n=G$. Esta conversión no es una maniobra de notación: hace explícitas las coordenadas necesarias para determinar el futuro.

Un sistema con entrada explícita $\dot x=f(x,t)$ no es autónomo. Puede autonomizarse añadiendo $\dot s=1$, pero la nueva coordenada cambia el espacio de estados y, si el forzamiento es periódico, suele ser más conveniente usar una fase $\phi$ módulo $2\pi$. Declarar esta decisión evita comparar como si fueran iguales un retrato de dos dimensiones y su extensión autónoma.

Péndulo amortiguado

La ecuación

$$m\ell^2\ddot\theta+c\dot\theta+mg\ell\sin\theta=0$$

es de segundo orden. Definimos $x_1=\theta$ y $x_2=\dot\theta$. Entonces

$$\dot x_1=x_2,\qquad \dot x_2=-\frac{c}{m\ell^2}x_2-\frac{g}{\ell}\sin x_1.$$

El estado es $(x_1,x_2)$; $m$, $\ell$, $c$ y $g$ son parámetros. La energía mecánica es un observable, no una tercera variable necesaria:

$$E=\frac12m\ell^2x_2^2+mg\ell(1-\cos x_1).$$

Si $c>0$, su derivada a lo largo de una trayectoria es $\dot E=-c x_2^2\le 0$. Esta igualdad anticipa que la energía decrece; la clasificación de los estados límite incorpora el análisis adicional correspondiente.

Las unidades sirven como primera auditoría. $x_1$ se mide en radianes y $x_2$ en radianes por segundo; $c/(m\ell^2)$ tiene unidades de tiempo inverso y $g/\ell$ de tiempo inverso al cuadrado. Si introducimos el tiempo adimensional $\tau=t\sqrt{g/\ell}$, el modelo depende esencialmente de la razón de amortiguamiento $\gamma=c/(m\ell^{3/2}\sqrt g)$:

$$\frac{dx_1}{d\tau}=u,\qquad \frac{du}{d\tau}=-\gamma u-\sin x_1.$$

La adimensionalización no borra la física; agrupa parámetros y permite comparar péndulos de longitudes distintas bajo una misma ecuación reducida. Hoppensteadt emplea este tipo de formulación para separar estructura dinámica y escala. Hoppensteadt, 2000 Frank C. Hoppensteadt (2000) Analysis and Simulation of Chaotic Systems 2.ª ed. · Springer Ubicación consultada: caps. 1–2, pp. 1–90

La energía permite comprobar que una representación conserva el significado del modelo. En la figura siguiente, el panel izquierdo muestra el potencial periódico y varios niveles de energía; el derecho traduce esos niveles en curvas del plano $(\theta,\dot\theta)$. Las ramas cerradas corresponden a oscilaciones y las que superan la barrera del potencial permiten rotaciones completas.

El método de construcción es algebraico: se despeja $\dot\theta=\pm\sqrt{2(E-V)}$ para cada nivel. Las zonas fuera de la curva corresponden a energía cinética negativa para ese nivel. Esta lectura también delimita el alcance: los niveles coloreados pertenecen al modelo conservativo, mientras que la trayectoria amortiguada cruza entre ellos.

Espacio físico y espacio de fases

Una serie $x_1(t)$ responde «qué valor tiene una variable en cada instante». El retrato $(x_1,x_2)$ responde «qué geometría recorre el estado». Una curva que se enrolla hacia un punto indica pérdida de amplitud en el plano ángulo–velocidad; no es la trayectoria espacial de la masa. El tiempo suele quedar implícito y se recupera mediante flechas, un gradiente de color o marcas equiespaciadas.

En modelos con tres o más variables, una proyección puede ocultar separaciones y producir cruces aparentes. Dos curvas que coinciden en $(x,y)$ pueden tener valores distintos de $z$. Por ello, una vista 2D es un observable del estado completo, no un sustituto del espacio de fases. Strogatz organiza el paso de sistemas lineales al plano de fases precisamente para que la geometría se lea junto con la ecuación. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: caps. 5–6, pp. 125–197

Método para comparar proyecciones planas de un estado tridimensional

Abre Atractor 3D, selecciona Lorenz y conserva $\sigma=10$, $\rho=28$, $\beta=8/3$, estado inicial $(1,1,1)$, RK4, $dt=0.01$ y tiempo total $40$. Genera la trayectoria y abre después Retratos 2D y Series temporales reutilizando la misma ejecución. Exporta las vistas $xy$, $xz$ y $yz$.

En la bitácora separa cinco columnas: ecuaciones, parámetros, estado inicial, algoritmo y representación. Explica por qué las tres proyecciones pertenecen a la misma órbita aunque su forma sea distinta. Repite con tiempo total $10$, mantén la configuración y señala qué parte de la geometría requiere una ventana mayor. La comparación responde una pregunta de modelado: qué información se conserva y cuál se pierde al escoger un observable visual.

Validación del modelo y sus supuestos

Para considerar cerrado un modelo, cada derivada debe poder calcularse con el estado, los parámetros y las entradas declaradas. Si la aceleración de un cuerpo depende de una temperatura que cambia pero no tiene ecuación, la temperatura no puede tratarse a la vez como constante y como variable desconocida. Hay tres salidas legítimas: medirla como entrada, fijarla como parámetro bajo una hipótesis de escala o añadir una ecuación para su evolución.

También hay que distinguir una ley determinista de una medición completa. Aunque el modelo asigne un futuro único a cada estado, el estado experimental puede conocerse con incertidumbre. Esa incertidumbre se propaga mediante el flujo y no equivale a que la ecuación tenga varios futuros. La separación será decisiva al estudiar sensibilidad caótica: incertidumbre inicial y falta de unicidad son problemas matemáticos distintos.

Antes de integrar, redacta una frase causal por ecuación. En el péndulo, $\dot x_1=x_2$ define la velocidad angular y $\dot x_2$ combina gravedad y disipación. Si una frase no coincide con unidades y signos, conviene corregir el modelo antes de ajustar parámetros o producir figuras.

Escala y selección de variables de estado

Un modelo reducido no conserva cada detalle microscópico: conserva las variables que permiten responder una pregunta en una escala determinada. Bar-Yam relaciona esta elección con la emergencia: una descripción colectiva puede revelar regularidades que no se reconocen siguiendo cada componente, pero esa ganancia exige comprobar que las variables descartadas no cambian la evolución de las retenidas. Bar-Yam, 1997 Yaneer Bar-Yam (1997) Dynamics of Complex Systems Addison-Wesley Ubicación consultada: §§0.3–0.5, pp. 6–13; §1.10, pp. 258–294

La condición matemática de cierre puede verse con dos poblaciones que crecen y migran entre compartimentos:

$$\dot n_1=rn_1-kn_1^2+q(n_2-n_1), \qquad \dot n_2=rn_2-kn_2^2+q(n_1-n_2).$$

Si sólo interesa la población total $N=n_1+n_2$, al sumar se obtiene

$$\dot N=rN-k(n_1^2+n_2^2).$$

La migración desaparece del balance total, pero el término no lineal todavía depende de cómo está repartida la población. Al introducir el desequilibrio $D=n_1-n_2$,

$$n_1^2+n_2^2=\frac{N^2+D^2}{2}, \qquad \dot N=rN-\frac{k}{2}(N^2+D^2).$$

Por tanto, $N$ no es un estado cerrado por sí solo. Con $r=k=1$ y $N=1$, el reparto equilibrado $(n_1,n_2)=(0.5,0.5)$ da $\dot N=0.5$, mientras que $(1,0)$ da $\dot N=0$. Dos sistemas con el mismo valor macroscópico tienen futuros distintos porque $D$ quedó oculto. Hay tres decisiones defendibles: conservar $D$, justificar una separación de escalas que lleve rápidamente a $D\approx0$, o añadir un término de cierre calibrado con datos. Sustituir sin justificación $n_1^2+n_2^2$ por $N^2$ cambia el modelo, no sólo su notación.

Bertuglia y Vaio describen el modelo como una abstracción construida bajo hipótesis y destacan que sus conclusiones expresan las consecuencias de esas hipótesis. En el ejemplo, la frase «la población total sigue una logística» sólo es válida después de declarar una regla sobre la distribución interna; la suma de dos logísticas acopladas no produce automáticamente otra logística. Bertuglia, 2005 Cristoforo Sergio Bertuglia y Franco Vaio (2005) Nonlinearity, Chaos, and Complexity: The Dynamics of Natural and Social Systems Oxford University Press Ubicación consultada: cap. 2, pp. 10–18; caps. 25 y 28, pp. 240–252 y 275–290

La primera figura de esta unidad muestra la consecuencia geométrica. Una flecha del campo asigna una única velocidad a cada estado completo. Si se proyectan dos estados tridimensionales sobre el mismo punto del plano, pueden aparecer dos velocidades distintas y el modelo proyectado deja de ser determinista en esas coordenadas. Reducir variables y proyectar trayectorias plantean la misma pregunta: qué información se perdió y si esa pérdida afecta la evolución que se quiere explicar.

Información conservada por el modelo

El estado debe contener exactamente la información requerida por la ley de evolución. Omitir variables impide determinar el futuro desde esa representación; añadir observables redundantes complica la geometría sin mejorar la predicción.