Conjuntos invariantes, atractores y conjuntos límite

Una trayectoria es sólo una historia. Para describir la organización del conjunto de todas las historias necesitamos objetos que el flujo preserve: equilibrios, órbitas periódicas, variedades, regiones atrapantes y conjuntos límite. La palabra «atractor» suele aplicarse informalmente a cualquier nube persistente de puntos, pero una imagen acotada no demuestra invariancia ni atracción. Esta unidad establece criterios que pueden comprobarse y separa tres preguntas: qué conjuntos no abandona el flujo, qué estados pueden alcanzarse asintóticamente y desde qué condiciones iniciales ocurre esa aproximación.

Sea $\varphi_t(x)$ el flujo de un sistema autónomo. Un conjunto $S$ es invariante si

$$\varphi_t(S)=S$$

para todo tiempo para el que el flujo esté definido. Es positivamente invariante si $\varphi_t(S)\subseteq S$ para $t\ge0$. Una región puede ser positivamente invariante sin serlo hacia atrás: la disipación permite entrar pero impide reconstruir todos los estados pasados dentro de ella. Cuando $S$ tiene frontera suave descrita por $H(x)=0$ y el interior es $H(x)\le0$, una condición suficiente para invariancia positiva es

$$\nabla H(x)\cdot f(x)\le0 \qquad\text{sobre }H(x)=0.$$

El campo apunta hacia dentro o es tangente. La desigualdad debe comprobarse en toda la frontera relevante, no sólo en puntos dibujados.

Límites alfa y omega

El conjunto omega límite de $x$ reúne los puntos a los que la trayectoria se aproxima a lo largo de alguna sucesión de tiempos futuros:

$$\omega(x)=\left\{y:\ \exists\,t_n\to+\infty \text{ con }\varphi_{t_n}(x)\to y\right\}.$$

El conjunto alfa límite $\alpha(x)$ se define con $t_n\to-\infty$. No es el punto calculado en el último instante de una simulación. Puede ser un equilibrio, una órbita periódica o un conjunto más complejo; también puede ser vacío si la trayectoria escapa y el espacio de estados no es compacto. Si la semiórbita positiva permanece en un conjunto compacto y el flujo es continuo, $\omega(x)$ es no vacío, compacto, conexo e invariante. Hirsch, Smale y Devaney usan estas propiedades para pasar de trayectorias individuales a conclusiones globales. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 7 y 10, flujos, conjuntos límite y dinámica global

La distancia de un punto a un conjunto es

$$\operatorname{dist}(x,A)=\inf_{a\in A}\|x-a\|.$$

Decir que una trayectoria se aproxima a $A$ significa que esa distancia tiende a cero. No exige que $x(t)$ converja a un punto. Sobre un ciclo límite, por ejemplo, la fase continúa moviéndose aunque la distancia a la órbita periódica se anule.

Qué significa atractor

Hay varias definiciones en la literatura, por lo que un informe debe declarar cuál usa. Para este curso, un conjunto compacto $A$ será un atractor si:

1. es invariante;
2. existe un entorno abierto $U$ tal que $\operatorname{dist}(\varphi_t(x),A)\to0$ para cada $x\in U$;
3. es el conjunto invariante que queda al evolucionar ese entorno, por ejemplo

$$A=\bigcap_{T\ge0}\overline{\bigcup_{t\ge T}\varphi_t(U)}.$$

La tercera condición evita llamar atractor a un conjunto artificialmente grande que contiene al verdadero destino. La cuenca de atracción es

$$\mathcal B(A)=\{x:\operatorname{dist}(\varphi_t(x),A)\to0\}.$$

Puede ser mucho mayor que $U$, no tiene por qué ser convexa y su frontera puede contener variedades estables de sillas. Un atractor local atrae un entorno; uno global atrae todas las condiciones de una región de fase declarada. «Global» nunca debe usarse sin especificar el dominio, pues un modelo físico puede restringirse a un ortante o a una superficie de conservación.

Una región atrapante $N$ satisface que, para algún $t_0>0$, $\varphi_{t_0}(N)$ queda en el interior de $N$, o en formulaciones continuas el campo entra por la frontera. Entonces

$$A_N=\bigcap_{t\ge0}\varphi_t(N)$$

es el conjunto invariante máximo contenido en $N$ bajo hipótesis de compacidad y existencia global. Construir $N$ aporta más evidencia que observar una sola órbita larga: controla simultáneamente todas las condiciones de esa región.

Funciones de Lyapunov y principio de LaSalle

Sea $V$ una función continuamente diferenciable. Su derivada orbital es

$$\dot V(x)=\nabla V(x)\cdot f(x).$$

Si $V$ es radialmente no acotada y $\dot V\le0$, sus subniveles $\{V\le c\}$ son candidatos naturales a regiones positivamente invariantes. Sin embargo, $\dot V\le0$ no implica por sí solo convergencia a un equilibrio. El principio de invariancia de LaSalle afirma, en una versión finito-dimensional: si una trayectoria permanece en un conjunto compacto positivamente invariante $D$ y $\dot V\le0$ en $D$, entonces se aproxima al mayor conjunto invariante $M$ contenido en

$$E=\{x\in D:\dot V(x)=0\}.$$

Hay que calcular $M$, no detenerse en $E$. Wiggins relaciona así una desigualdad escalar con la geometría invariante real. Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: caps. 2–4, conjuntos invariantes, estabilidad y geometría global Abrir fuente

Ejemplo trabajado: oscilador biestable amortiguado

Consideremos

$$\ddot x+\delta\dot x-x+x^3=0, \qquad \delta>0.$$

Con $y=\dot x$,

$$\dot x=y, \qquad \dot y=x-x^3-\delta y.$$

Los equilibrios son $(0,0)$ y $(\pm1,0)$. Definamos la energía

$$V(x,y)=\frac12y^2-\frac12x^2+\frac14x^4+\frac14.$$

El desplazamiento $1/4$ sólo hace no negativo el potencial; no altera la dinámica. A lo largo de una solución,

$$\dot V=y\dot y+(-x+x^3)\dot x =y(x-x^3-\delta y)+(-x+x^3)y =-\delta y^2\le0.$$

Además, $V(x,y)\to\infty$ cuando $\|(x,y)\|\to\infty$, por lo que todo subnivel es compacto. La energía inicial encierra la trayectoria en un subnivel y garantiza existencia futura acotada. El conjunto $E$ donde $\dot V=0$ es la recta $y=0$. Para permanecer en ella también se necesita $\dot y=x-x^3=0$; así, el mayor conjunto invariante en $E$ consta de los tres equilibrios. LaSalle permite concluir que cada trayectoria se aproxima a ese conjunto finito.

Para distinguir destinos, linealicemos. En $(0,0)$,

$$J=\begin{pmatrix}0&1\\1&-\delta\end{pmatrix},$$

cuyo determinante es $-1$: es una silla. En $(\pm1,0)$ el determinante es $2$ y la traza $-\delta<0$: ambos son asintóticamente estables. Salvo para condiciones sobre la variedad estable de la silla, las trayectorias convergen a uno de los dos pozos. Por tanto, $A_+=\{(1,0)\}$ y $A_-=\{(-1,0)\}$ son atractores locales; su unión también atrae un conjunto amplio, pero conserva menos información sobre el destino. La frontera de sus cuencas contiene la variedad estable de $(0,0)$.

Este ejemplo ilustra por qué «la energía disminuye» no identifica por sí sola el atractor. Fue necesario combinar compacidad, LaSalle, clasificación de equilibrios y estructura de la separatriz. Strogatz utiliza sistemas biestables y ciclos límite para insistir en esta lectura conjunta del retrato global. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: caps. 6–8, retratos globales, ciclos límite y bifurcaciones

Conjuntos absorbentes y disipación

Un conjunto $B$ es absorbente para una familia de estados si cada conjunto acotado de esa familia entra en $B$ después de un tiempo que puede depender del conjunto inicial. Ser absorbente no es lo mismo que ser invariante: una trayectoria puede entrar y luego salir si no se verifica la orientación del campo. En estudios disipativos se busca primero una cota diferencial como

$$\dot V\le -cV+C, \qquad c>0,$$

que implica

$$V(t)\le e^{-ct}V(0)+\frac Cc(1-e^{-ct}).$$

Así, todo estado termina dentro de un subnivel ligeramente mayor que $C/c$. Después se demuestra que una región cerrada apropiada es positivamente invariante. Estas cotas son especialmente importantes en dimensión alta, donde una proyección visual puede ocultar crecimiento en coordenadas no mostradas.

Procedimiento de verificación

1. Declara el espacio de estados y el flujo. Incluye restricciones físicas y confirma existencia para los tiempos considerados.
2. Propón el conjunto. Escribe una descripción algebraica o una parametrización; una nube de puntos no basta.
3. Comprueba invariancia. Usa tangencia, orientación en la frontera, una identidad de conservación o la definición mediante $\varphi_t$.
4. Obtén compacidad o precompacidad. Construye una cota de energía, una región atrapante o un conjunto absorbente.
5. Caracteriza límites. Calcula $\omega(x)$ mediante teoremas cuando sea posible; numéricamente, descarta transitorios y prueba ventanas crecientes.
6. Demuestra atracción. Estima $\operatorname{dist}(\varphi_t(x),A)$ para un entorno, no sólo para una condición inicial.
7. Distingue atractor y cuenca. Muestrea condiciones iniciales con una regla declarada y refina cerca de fronteras; la imagen de cuencas es una aproximación finita.
8. Formula el alcance. Especifica si la conclusión es local, regional o global y si depende de una definición particular de atractor.

Errores frecuentes

Un conjunto invariante no tiene por qué atraer: una órbita periódica repulsora también es invariante. Un conjunto que atrae una trayectoria aislada no es necesariamente atractor. La acotación de una órbita no prueba que todas las órbitas cercanas estén acotadas. El cierre de una trayectoria numérica puede contener error de integración. Por último, una frontera de cuenca dibujada a resolución finita no demuestra fractalidad; esa afirmación requiere análisis de escalamiento y control numérico adicional.

Ejercicios

1. Demuestra que el disco $x^2+y^2\le1$ es positivamente invariante para $\dot x=x(1-x^2-y^2)-y$, $\dot y=y(1-x^2-y^2)+x$. Determina el límite de los puntos interiores distintos del origen.
2. Calcula $\alpha(x)$ y $\omega(x)$ para cada región de la ecuación logística $\dot x=x(1-x)$ sobre toda la recta, indicando dónde la solución existe globalmente.
3. En el oscilador biestable, encuentra la energía de la silla y explica qué puede y qué no puede deducirse de que una condición inicial tenga energía menor que ese valor.
4. Para $\dot x=-x$, $\dot y=0$, identifica los conjuntos omega límite y decide si el eje $y$ es un atractor bajo la definición de esta unidad.
5. Prueba que si $A$ es compacto e invariante y atrae un entorno $U$, entonces cada $x\in U$ tiene $\omega(x)\subseteq A$, suponiendo precompacidad de la semiórbita.
6. Construye una región atrapante anular para el sistema radial $\dot r=r(1-r)$, $\dot\theta=1$. Identifica el atractor y su cuenca.
7. Simula el sistema biestable sobre una malla de condiciones iniciales. Refina sólo las celdas cuyos vértices tienen destinos distintos y documenta cómo cambia la frontera aproximada.
8. Da un ejemplo de conjunto positivamente invariante que no sea invariante hacia atrás y explica la causa geométrica.

El resultado esperado es poder reemplazar la frase vaga «la solución llega a un atractor» por una cadena verificable: región de fase, invariancia, compacidad, conjunto límite, mecanismo de atracción y cuenca. Esa precisión prepara el estudio de los teoremas globales exclusivos del plano.