Estabilidad lineal y no lineal

La estabilidad responde a una pregunta precisa: si perturbamos poco un estado de referencia, ¿la evolución permanece cerca? Atracción añade otra exigencia: ¿la perturbación termina desapareciendo? Un equilibrio puede ser estable sin atraer, como el centro lineal, y una trayectoria puede permanecer acotada sin acercarse a un único estado. Separar estas ideas evita usar «estable» como sinónimo de cualquier movimiento contenido.

Para un equilibrio hiperbólico, ningún valor propio del jacobiano tiene parte real cero y la linealización conserva la estructura cualitativa local. Cuando aparece una parte real nula, los términos no lineales deciden y el cálculo lineal queda incompleto. Hirsch, Smale y Devaney pasan de la clasificación de equilibrios a estabilidad y bifurcación justamente en ese límite entre lo que decide el jacobiano y lo que exige el sistema completo. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 8, pp. 159–186

En dos dimensiones, si $\tau=\operatorname{tr}J$ y $\Delta=\det J$, los valores propios satisfacen

$$\lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0.$$

El signo de $\Delta$ separa sillas de casos con valores del mismo signo real; $\tau$ indica contracción o expansión neta. El discriminante $\tau^2-4\Delta$ distingue valores reales de pares complejos. Este diagrama traza-determinante es una clasificación algebraica, no una imagen completa del sistema lejos del equilibrio.

La figura se obtiene al evaluar $\tau$, $\Delta$ y el discriminante en cada posición del plano. Los colores representan regiones de clasificación; las cuencas y las frecuencias requieren cálculos específicos. Los puntos de muestra invitan a reconstruir dos valores propios con la fórmula cuadrática; sobre las fronteras el equilibrio deja de ser hiperbólico y la dinámica no lineal requiere herramientas adicionales.

Conclusiones del análisis jacobiano

Escribamos $x=p+\eta$ cerca de un equilibrio $f(p)=0$. Taylor da

$$\dot\eta=Df(p)\eta+R(\eta), \qquad \frac{\|R(\eta)\|}{\|\eta\|}\to0.$$

Si todos los autovalores de $Df(p)$ tienen parte real negativa, el equilibrio es localmente asintóticamente estable. Si alguno tiene parte real positiva, es inestable. Si hay partes reales nulas y ninguna positiva, el criterio es inconcluso: no significa estabilidad.

En el plano, $\Delta<0$ identifica una silla. Para $\Delta>0$ y $\tau<0$, los autovalores tienen parte real negativa; el discriminante distingue nodo de foco. En $\tau=0$ o $\Delta=0$ se pierde hiperbolicidad. El plano traza–determinante clasifica el jacobiano, no la cuenca completa ni los destinos lejanos. Strogatz desarrolla esta lectura dentro del plano de fases, donde cada región algebraica se contrasta con trayectorias. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: caps. 5–6, pp. 125–197

Como control, reconstruye los autovalores:

$$\lambda_{1,2}=\frac{\tau\pm\sqrt{\tau^2-4\Delta}}{2}.$$

Dos matrices con la misma traza y determinante tienen el mismo polinomio característico, pero no necesariamente los mismos autovectores. Por eso ocupan la misma región de clasificación aunque sus retratos aparezcan inclinados de manera distinta.

Oscilador amortiguado

Para

$$\dot x=y,\qquad \dot y=-\omega_0^2x-2\zeta\omega_0y,$$

el jacobiano constante tiene traza $\tau=-2\zeta\omega_0$ y determinante $\Delta=\omega_0^2$. Si $\zeta>0$, la traza es negativa y el origen es estable. Cuando $0<\zeta<1$, el discriminante es negativo y aparece un foco estable; con $\zeta>1$, hay un nodo estable.

Una función de energía

$$V(x,y)=\frac12\omega_0^2x^2+\frac12y^2$$

satisface $\dot V=-2\zeta\omega_0y^2\le0$. La derivada se anula cuando $y=0$, y una trayectoria que permanece en ese conjunto corresponde al origen. Este razonamiento permite concluir convergencia mediante la estructura de Lyapunov.

El último paso no debe omitirse. De $\dot V\le0$ se deduce que $V$ no aumenta y que sus subniveles acotados atrapan trayectorias; no se deduce automáticamente $x(t)\to0$. Aquí el conjunto $\{\dot V=0\}$ es el eje $y=0$. Sobre él, $\dot x=0$ pero $\dot y=-\omega_0^2x$, de modo que la única trayectoria que permanece enteramente en el eje es el origen. El principio de invariancia de LaSalle permite concluir convergencia.

Además, $V$ es definida positiva y radialmente no acotada. Para este sistema lineal, esas propiedades permiten extender el argumento a todo el plano. En un modelo no lineal, si la desigualdad de $\dot V$ sólo vale en un vecindario o si los subniveles no son compactos, la conclusión vuelve a ser local. Hoppensteadt organiza estabilidad, variedades y funciones de Lyapunov en esta secuencia. Hoppensteadt, 2000 Frank C. Hoppensteadt (2000) Analysis and Simulation of Chaotic Systems 2.ª ed. · Springer Ubicación consultada: cap. 3, pp. 91–120

Frecuencia y contracción en la serie temporal

Una espiral cerrándose puede deberse a una parte real negativa. Mide el radio de máximos sucesivos: si su logaritmo desciende aproximadamente en línea recta, la envolvente es exponencial. Distingue el número de vueltas de la rapidez de convergencia: la frecuencia angular y la tasa de amortiguamiento son cantidades distintas.

En el caso subamortiguado, los autovalores son

$$\lambda_{1,2}=-\zeta\omega_0\pm i\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}.$$

La envolvente decae como $e^{-\zeta\omega_0t}$ y la frecuencia amortiguada es $\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$. Estimar ambas mediante máximos sucesivos proporciona un control cruzado entre teoría y simulación. Si el integrador añade amortiguación artificial, la tasa medida cambiará al refinar el paso.

Transición local en el sistema de Lorenz

En Atractor 3D, selecciona Lorenz y usa $\sigma=10$, $\beta=8/3$, $(1,1,1)$, RK4, $dt=0.01$, tiempo $40$. Ejecuta tres casos: $\rho=0.5$, $\rho=10$ y $\rho=28$. Conserva escalas comparables y descarta los primeros $10$ unidades de tiempo al interpretar el régimen final.

Para cada $\rho$, calcula los equilibrios disponibles. El origen cambia de estabilidad al cruzar $\rho=1$; para $\rho>1$ aparecen dos equilibrios simétricos. Describe qué muestra la trayectoria finita y qué parte proviene del análisis local. Una afirmación sobre todo el espacio de estados requiere una familia de condiciones iniciales y el análisis global correspondiente.

En Lorenz,

$$C_\pm=\left(\pm\sqrt{\beta(\rho-1)}, \pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\rho-1\right)$$

existen sólo para $\rho>1$. Esta creación de equilibrios no basta para afirmar que atraigan: hay que evaluar el jacobiano en cada uno. Para $\rho=28$, la trayectoria de una condición inicial concreta no sustituye ese cálculo ni demuestra el destino de toda la cuenca.

Derivación y construcción de funciones de Lyapunov

Una función $V$ útil se comporta como una energía: $V(p)=0$, $V(x)>0$ cerca de $p$ y $\dot V=\nabla V\cdot f\le0$. Para sistemas lineales $\dot x=Ax$ con $A$ estable, puede buscarse $V=x^TPx$ resolviendo

$$A^TP+PA=-Q$$

para alguna $Q$ definida positiva. En sistemas mecánicos se empieza por energía cinética más potencial y se añaden términos cruzados si la derivada no tiene signo. No existe un procedimiento universal: se elige una cantidad que mida distancia dinámica y cuya derivada pueda analizarse.

Slotine y Li desarrollan esta estrategia para sistemas no lineales y control: la función certifica una propiedad bajo hipótesis explícitas, no es sólo una curva que decrece en una ejecución. Slotine, 1991 Jean-Jacques E. Slotine y Weiping Li (1991) Applied Nonlinear Control Prentice Hall Ubicación consultada: capítulos sobre estabilidad de Lyapunov

Condiciones para certificar estabilidad

La linealización responde con eficacia cuando hay hiperbolicidad; Lyapunov permite estudiar el sistema completo sin resolverlo. Cada conclusión de estabilidad debe limitarse al dominio y a las hipótesis verificadas.