Plano de fases y geometría local

En dos dimensiones el estado puede verse directamente. Esta ventaja permite razonar con geometría sin abandonar la ecuación. Para

$$\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y),$$

las curvas $f=0$ y $g=0$ son nulclinas. Sobre la primera, el movimiento instantáneo es vertical; sobre la segunda, horizontal. Sus intersecciones son equilibrios. El retrato de fase combina esas curvas, el campo vectorial y algunas trayectorias representativas. Strogatz propone esta secuencia: equilibrios, nulclinas, signos, direcciones especiales y sólo después órbitas seleccionadas. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: caps. 5–6, pp. 125–197

La linealización cerca de un equilibrio $\mathbf{x}^*$ usa el jacobiano

$$J(\mathbf{x}^*)= \begin{pmatrix} f_x&f_y\\g_x&g_y \end{pmatrix}_{\mathbf{x}^*}.$$

Los valores propios determinan las tasas locales y los vectores propios señalan direcciones privilegiadas. Dos valores reales negativos producen un nodo estable; dos positivos, un nodo inestable; signos opuestos, una silla. Un par complejo introduce rotación local y su parte real determina contracción o expansión. Esta clasificación es exacta para el sistema lineal y, cerca de un equilibrio hiperbólico, describe el tipo topológico del sistema no lineal.

Las nulclinas ofrecen una lectura distinta y complementaria. Para $\dot x=v$, $\dot v=x-x^3-0.45v$, la recta $v=0$ anula el movimiento horizontal y la cúbica $v=(x-x^3)/0.45$ anula el vertical. Sus tres intersecciones localizan los equilibrios antes de integrar una sola órbita.

El campo se calculó evaluando ambas componentes en una malla regular y las órbitas se integran con el mismo paso fijo. Al abrir la secuencia, sigue primero los puntos y luego la estela: cruzar una nulclina cambia el signo de una componente y el movimiento completo queda determinado por las demás componentes. La densidad de semillas ilustra el flujo; la probabilidad de alcanzar cada equilibrio requiere un muestreo de condiciones iniciales.

Construcción cualitativa del retrato de fase

La construcción cualitativa sigue seis decisiones que pueden revisarse a mano:

1. resolver $f=g=0$ para localizar equilibrios;
2. dibujar $f=0$ y $g=0$;
3. dividir el plano en regiones donde los signos de $(f,g)$ son constantes;
4. clasificar cada equilibrio con su jacobiano;
5. identificar ejes, curvas o regiones invariantes;
6. trazar algunas órbitas sin permitir cruces incompatibles con unicidad.

Las nulclinas no son trayectorias en general. Sobre $f=0$ sólo se anula la componente horizontal; si $g\ne0$, el estado cruza verticalmente. Para que una curva $H(x,y)=0$ sea invariante, el campo debe ser tangente: $\nabla H\cdot(f,g)=0$ sobre ella. Esta prueba evita tratar cada línea llamativa de la figura como una barrera dinámica.

La orientación de giro se deduce evaluando un punto sencillo. Si a la derecha del equilibrio $\dot y>0$, la trayectoria sube allí; combinando los cuatro sectores se decide si el foco gira en sentido horario o antihorario. El signo de la parte imaginaria de un autovalor depende de la convención del autovector complejo y no debe sustituir esta verificación geométrica.

Silla lineal desacoplada

Sea

$$\dot x=2x, \qquad \dot y=-y.$$

La solución es $x(t)=x_0e^{2t}$, $y(t)=y_0e^{-t}$. Los valores propios son $2$ y $-1$, con direcciones coordenadas. Si $x_0=0$, la trayectoria converge al origen a lo largo del eje $y$; si $y_0=0$, se aleja por el eje $x$. Para estados generales, al eliminar el tiempo se obtiene

$$y^2x=y_0^2x_0,$$

en cada región donde el signo de $x$ es fijo. La mayoría de las trayectorias se aproxima visualmente a la dirección inestable cuando avanza el tiempo.

La ecuación implícita se obtiene sin cometer el error de dividir por una variable que puede ser cero:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{2x}, \qquad \frac{dy}{y}=-\frac12\frac{dx}{x}, \qquad y\sqrt{|x|}=C.$$

Al elevar al cuadrado aparece $y^2|x|=C^2$; en cada semiplano el signo de $x$ permanece fijo. Los ejes deben añadirse por separado porque la división los excluyó. Éste es un detalle pequeño pero importante: las variedades estable e inestable suelen ser precisamente las soluciones que se pierden al dividir entre una coordenada.

Hirsch, Smale y Devaney derivan los retratos lineales mediante la exponencial matricial y luego los clasifican topológicamente. Las direcciones propias identifican las soluciones que permanecen sobre subespacios invariantes. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 2–4, pp. 21–72

Información representada por el campo vectorial

La densidad de flechas ilustra la geometría del campo. La probabilidad requiere un muestreo de condiciones iniciales, mientras que la longitud de una flecha puede codificar rapidez; muchos programas normalizan los vectores y conservan solo dirección. Comprueba la leyenda antes de deducir velocidades. Una trayectoria tangente a un autovector cerca del equilibrio puede curvarse lejos de él porque la aproximación lineal deja de dominar.

Una malla uniforme en coordenadas no representa una distribución física universal. Si se afirma que «la mayoría» de condiciones llega a un atractor, hay que definir región, medida y procedimiento de muestreo. El retrato de fase responde primero una pregunta geométrica: qué órbitas son posibles y cómo se organizan. Las probabilidades de cuenca pertenecen a un experimento posterior.

Clasificación del sistema biestable

Para el sistema biestable de la figura,

$$\dot x=v, \qquad \dot v=x-x^3-0.45v,$$

los equilibrios satisfacen $v=0$ y $x-x^3=0$, de modo que son $(0,0)$ y $(\pm1,0)$. El jacobiano es

$$J(x,v)=\begin{pmatrix}0&1\\1-3x^2&-0.45\end{pmatrix}.$$

En el origen, $\det J=-1<0$ y hay una silla. En $x=\pm1$, $\det J=2$ y $\operatorname{tr}J=-0.45$; como $\operatorname{tr}^2-4\det<0$, los autovalores son complejos con parte real negativa y ambos puntos son focos estables. La cúbica y el eje $v=0$ localizan los tres puntos; el jacobiano distingue el separador central de los dos destinos laterales.

La variedad estable de la silla forma la frontera entre las dos cuencas. Una simulación puede aproximarla, pero el dibujo de varias órbitas no mide su posición con precisión. Guckenheimer y Holmes sitúan estas variedades dentro de la geometría de flujos y muestran por qué su prolongación global exige más que la linealización. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 1, flujos, invariancia y variedades

Proyecciones del sistema de Lorenz

Selecciona Lorenz en Retratos 2D con $\sigma=10$, $\rho=20$, $\beta=8/3$, $(1,1,1)$, RK4, $dt=0.01$ y tiempo $30$. Grafica $xy$, $xz$ y $yz$. Activa la superposición de equilibrios si está disponible y compara su ubicación con los giros de la trayectoria.

Después repite con $\rho=28$. Describe el cambio mediante una vista concreta: indica qué proyección gana dos lóbulos, dónde se acercan las ramas y qué información se pierde al aplastar una coordenada. Conserva ambas figuras con el mismo rango de ejes para que la comparación sea legítima.

No llames «cruce» a dos segmentos hasta consultar la tercera coordenada y el tiempo. Para cada proximidad visible en $xy$, busca los índices de los puntos y compara sus valores de $z$. Si están separados, la intersección pertenece a la proyección. Este control aplica directamente el principio de unicidad: dos órbitas de un flujo autónomo no pueden ocupar el mismo estado completo con futuros distintos.

Predicciones comprobables del campo local

El retrato de fase combina cuatro comprobaciones: las nulclinas delimitan regiones, los signos orientan el flujo, el jacobiano determina la geometría local y las trayectorias contrastan el resultado. Si se contradicen, el retrato debe corregirse antes de extraer conclusiones.