Órbitas periódicas, mapas de Poincaré y teoría de Floquet

Una órbita periódica no es un punto de equilibrio: el estado continúa moviéndose, pero regresa después de un periodo $T>0$,

$$\gamma(t+T)=\gamma(t).$$

El menor periodo positivo se llama periodo fundamental. Para estudiar estabilidad no conviene comparar dos soluciones en el mismo instante sin permitir un pequeño desplazamiento de fase; una perturbación tangencial sólo adelanta o retrasa el recorrido. La pregunta correcta es si las perturbaciones transversales a la órbita decrecen. El mapa de Poincaré elimina la dirección tangencial y convierte la órbita en un punto fijo. La teoría de Floquet calcula el crecimiento lineal durante una vuelta completa.

Construcción del mapa de Poincaré

Sea $\Sigma$ una hipersuperficie de dimensión $n-1$ definida localmente por $h(x)=0$. Debe ser transversal al flujo:

$$\nabla h(x)\cdot f(x)\ne0$$

en el cruce considerado. Para un punto $x\in\Sigma$ cercano a una órbita periódica, sea $\tau(x)>0$ el primer tiempo de retorno compatible con una orientación elegida. El mapa es

$$P(x)=\varphi_{\tau(x)}(x).$$

Si la órbita $\gamma$ corta $\Sigma$ en $p$, entonces $P(p)=p$. Su estabilidad orbital se reduce a la estabilidad del punto fijo de $P$. Si todos los autovalores de $DP(p)$ tienen módulo menor que uno, la órbita es localmente asintóticamente estable transversalmente; si alguno tiene módulo mayor que uno, es inestable. Los casos con módulo uno requieren términos no lineales o parámetros adicionales.

La palabra «primer» exige cuidado. Una sección mal situada puede recibir varios cruces por ciclo, rozamientos o retornos que abandonan el vecindario. Deben fijarse una orientación, por ejemplo $\nabla h\cdot f>0$, y un tiempo muerto pequeño para no registrar como retorno el punto inicial. Guckenheimer y Holmes construyen así mapas locales cuyos puntos fijos y bifurcaciones representan objetos del flujo. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: caps. 1 y 3, mapas de Poincaré, órbitas periódicas y bifurcaciones

En un sistema forzado con periodo $T_f$, el mapa estroboscópico

$$P_{T_f}(x_0)=\Phi(t_0+T_f,t_0)x_0$$

ya fija la fase externa y no necesita detectar una sección geométrica. Una respuesta de periodo $T_f$ es un punto fijo; una respuesta de periodo $qT_f$ es un ciclo de periodo $q$ del mapa. Cambiar $t_0$ cambia las coordenadas del mapa, pero no la estabilidad física de la respuesta.

Ecuación variacional y matriz de monodromía

Perturbemos una solución periódica: $x(t)=\gamma(t)+\xi(t)$. Al linealizar,

$$\dot\xi=A(t)\xi, \qquad A(t)=Df(\gamma(t)), \qquad A(t+T)=A(t).$$

La matriz fundamental $X(t)$ satisface

$$\dot X=A(t)X, \qquad X(0)=I.$$

La matriz $M=X(T)$ es la monodromía. Sus autovalores $\mu_j$ son los multiplicadores de Floquet. Un multiplicador mide el factor lineal acumulado por una perturbación después de una vuelta. En un flujo autónomo siempre existe un multiplicador trivial $\mu=1$, porque

$$\xi(t)=\dot\gamma(t)=f(\gamma(t))$$

resuelve la ecuación variacional y sólo desplaza la fase. Los multiplicadores no triviales coinciden con los autovalores del mapa transversal, contando las correspondencias y multiplicidades apropiadas. Hirsch, Smale y Devaney relacionan esta dirección neutral con la diferencia entre estabilidad de una solución parametrizada y estabilidad de la órbita como conjunto. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 10–12, órbitas cerradas, secciones y estabilidad

La teoría de Floquet afirma que una matriz fundamental puede escribirse

$$X(t)=Q(t)e^{tR}, \qquad Q(t+T)=Q(t),$$

con una matriz periódica $Q$ y una matriz constante $R$, posiblemente complejas según la representación. Los exponentes de Floquet $\lambda_j$ satisfacen

$$\mu_j=e^{\lambda_jT}.$$

No son únicos: sumar $2\pi i k/T$ a un exponente no cambia el multiplicador. La parte real sí fija contracción o expansión promedio. Para estabilidad orbital asintótica de un ciclo autónomo hiperbólico se requiere un multiplicador trivial simple y todos los demás dentro del círculo unitario.

Fórmula planar mediante la divergencia

En un sistema autónomo plano hay dos multiplicadores: el trivial $1$ y uno transversal $\mu_\perp$. La fórmula de Liouville para el determinante de $X$ da

$$\det X(T)=\exp\left(\int_0^T\operatorname{tr}A(t)\,dt\right) =\exp\left(\int_0^T\operatorname{div}F(\gamma(t))\,dt\right).$$

Como el producto de los multiplicadores es el determinante y uno vale $1$,

$$\mu_\perp= \exp\left(\int_0^T\operatorname{div}F(\gamma(t))\,dt\right).$$

Si la divergencia media sobre el ciclo es negativa, $0<\mu_\perp<1$ y el ciclo atrae transversalmente. La fórmula no excluye otros ciclos ni calcula la cuenca.

Ejemplo trabajado: ciclo límite radial

Estudiemos en coordenadas polares

$$\dot r=r(1-r^2), \qquad \dot\theta=\omega, \qquad \omega>0.$$

El círculo $r=1$ es una órbita periódica de periodo

$$T=\frac{2\pi}{\omega}.$$

Una perturbación radial $r=1+\rho$ satisface, al primer orden,

$$\dot\rho= \left.\frac{d}{dr}[r(1-r^2)]\right|_{r=1}\rho =(1-3)\rho=-2\rho.$$

Después de una vuelta,

$$\rho(T)=e^{-2T}\rho(0),$$

de modo que el multiplicador transversal es

$$\mu_\perp=e^{-2T}=e^{-4\pi/\omega}.$$

Para $\omega=2$, $T=\pi$ y $\mu_\perp=e^{-2\pi}\approx0.00187$: una desviación radial se reduce a menos de dos milésimas tras una vuelta. El multiplicador tangencial es $1$ porque un cambio pequeño de $\theta(0)$ persiste como cambio de fase.

Construyamos ahora la sección $\Sigma=\{\theta=0\pmod{2\pi},\ r>0\}$. El mapa exacto puede obtenerse resolviendo $u=r^{-2}$. Como

$$\dot u=-2r^{-3}\dot r=-2(u-1),$$

se tiene

$$u(t)=1+(u_0-1)e^{-2t}.$$

Por tanto,

$$P(r_0)= \left[1+(r_0^{-2}-1)e^{-2T}\right]^{-1/2}.$$

El punto fijo $r=1$ cumple $P'(1)=e^{-2T}$, exactamente el multiplicador calculado con la ecuación variacional. El ejemplo muestra la equivalencia entre retorno no lineal y Floquet local.

Cálculo numérico reproducible

Para una órbita no conocida en forma cerrada se resuelven simultáneamente el estado y la matriz variacional:

$$\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}x\\\operatorname{vec}X\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(x)\\ \operatorname{vec}(Df(x)X) \end{pmatrix}, \qquad X(0)=I.$$

Primero hay que localizar la órbita y su periodo con una condición de fase; integrar una trayectoria atractora durante mucho tiempo da una aproximación, pero acumula error de fase. Para ciclos inestables se usa disparo o continuación. Luego se integra una vuelta con tolerancias más estrictas y se diagonaliza $X(T)$. Wiggins presenta la monodromía como un objeto del problema variacional, no como una pendiente estimada a ojo en una gráfica de retorno. Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: caps. 2–4, ecuaciones variacionales, mapas de retorno y Floquet Abrir fuente

En sistemas de dimensión alta, $X(t)$ puede estar mal condicionada. Una factorización QR periódica o métodos específicos para multiplicadores evitan perder direcciones muy contractivas. Como control, en un flujo autónomo debe aparecer un multiplicador cercano a uno; su error ofrece una prueba del periodo, la órbita y la integración variacional. No se debe forzar manualmente a uno antes de examinar el residuo.

Bifurcaciones detectadas en el retorno

Cuando un multiplicador real cruza $+1$, puede ocurrir una bifurcación silla-nodo, transcrítica o de horquilla de ciclos, según simetría y coeficientes no lineales. Un cruce por $-1$ corresponde genéricamente a duplicación de periodo del mapa. Un par complejo conjugado que cruza el círculo unitario puede generar una curva invariante mediante una bifurcación de Neimark–Sacker. Los multiplicadores señalan pérdida de hiperbolicidad; no identifican por sí solos cuál forma normal se realiza.

En un sistema autónomo, el multiplicador trivial permanece en $1$. Para detectar bifurcaciones se examinan los demás. En un mapa estroboscópico formulado sólo con las variables físicas, no se añade artificialmente un multiplicador trivial: la fase del forzamiento ya está fijada por el muestreo.

Procedimiento de análisis

1. Define periodicidad y periodo fundamental. Verifica retorno en todas las coordenadas, no sólo en una proyección.
2. Elige una sección transversal y una orientación; comprueba $\nabla h\cdot f\ne0$.
3. Localiza el punto fijo mediante retornos, disparo o continuación, con una condición de fase.
4. Integra la ecuación variacional con $X(0)=I$ durante exactamente un periodo.
5. Calcula multiplicadores y comprueba el valor trivial en flujos autónomos, el determinante de Liouville cuando aplique y la convergencia al refinar tolerancias.
6. Clasifica estabilidad orbital. Separa la dirección tangencial de las transversales.
7. Explora parámetros. Sigue el ciclo y registra cruces del círculo unitario sin asignar una bifurcación hasta verificar no degeneración.
8. Informa el alcance: estabilidad local del ciclo, no existencia global, unicidad ni tamaño de cuenca.

Errores frecuentes

Cerrar casi exactamente después de un tiempo no demuestra una órbita periódica. Contar todos los cruces de una sección sin orientación puede reducir a la mitad el periodo aparente. Un multiplicador igual a uno en un flujo autónomo no implica neutralidad transversal. Los exponentes dependen de una rama del logaritmo, mientras que los multiplicadores son inequívocos. Finalmente, estabilidad de una respuesta forzada respecto del mapa estroboscópico no equivale a estabilidad de un equilibrio del sistema físico sin la fase añadida.

Ejercicios

1. Deriva la solución exacta de $r(t)$ en el ejemplo radial y verifica directamente que toda condición $r_0>0$ converge al ciclo.
2. Calcula $\mu_\perp$ para $\dot r=r(a-r^2)$, $\dot\theta=\omega$ con $a>0$. Expresa el resultado en $a$ y $\omega$.
3. Demuestra la fórmula planar del multiplicador transversal a partir de Liouville y del multiplicador trivial.
4. Para una matriz periódica diagonal $A(t)=\operatorname{diag}(-1+\sin t,\,2\cos t)$, calcula la monodromía sobre $T=2\pi$ y sus multiplicadores.
5. Diseña una sección para el péndulo forzado autonomizado. Especifica ecuación, orientación y qué variables conserva el mapa.
6. Explica por qué una sección tangente al flujo no define localmente un tiempo de retorno suave. Construye un ejemplo sencillo.
7. Integra numéricamente el sistema radial junto con su ecuación variacional. Compara $P'(1)$ por diferencias finitas con $e^{-2T}$ bajo tres pasos temporales.
8. Describe los patrones esperados en un diagrama estroboscópico antes y después de cruces por $-1$ y de un par complejo por el círculo unitario.

Al completar la unidad, el mapa de Poincaré y Floquet deben verse como dos caras de la misma estabilidad: una geométrica y discreta, otra variacional y matricial. Juntas permiten estudiar ciclos en cualquier dimensión sin confundir la inevitable neutralidad de fase con una pérdida real de estabilidad.