Flujos en el círculo y bloqueo de fase

Una variable angular no vive en una recta infinita. Los valores $\theta$ y $\theta+2\pi k$, con $k$ entero, representan el mismo estado físico; por eso el espacio natural es el círculo $S^1=\mathbb R/(2\pi\mathbb Z)$. Esta identificación cambia la lectura de una ecuación escalar. En la recta, una solución monótona se escapa; en el círculo, esa misma solución completa vueltas y puede describir un oscilador sostenido. El objetivo de la unidad es aprender a distinguir reposo relativo, rotación, sincronización y deslizamiento de fase sin confundir una coordenada desplegada con el estado real.

Un flujo autónomo sobre el círculo se escribe

$$\dot\theta=f(\theta),\qquad f(\theta+2\pi)=f(\theta).$$

Los ceros de $f$ son equilibrios angulares. Si $f$ no se anula, todas las trayectorias giran en el mismo sentido y el periodo de una vuelta es independiente del punto inicial:

$$T=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{f(\theta)}$$

cuando $f>0$; si $f<0$ se toma el valor absoluto con la orientación correspondiente. La igualdad se obtiene de $dt=d\theta/f(\theta)$ e integra el tiempo requerido para recorrer una copia completa del intervalo angular. La rapidez instantánea puede variar mucho, pero la trayectoria vuelve al mismo estado al cabo de $T$. Strogatz usa esta geometría para conectar las líneas de fase con osciladores que poseen una fase bien definida. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 4, flujos en el círculo

Diferencia de fases en un oscilador forzado

Sean dos fases $\theta_1$ y $\theta_2$ con frecuencias naturales cercanas. Después de una reducción de fase y, en régimen débilmente acoplado, de promediar los términos rápidos, una gran familia de problemas conduce a

$$\dot\theta_1=\omega_1+K_1H_1(\theta_2-\theta_1), \qquad \dot\theta_2=\omega_2+K_2H_2(\theta_1-\theta_2).$$

La cantidad que decide el enganche es la diferencia $\phi=\theta_1-\theta_2$, no cada fase por separado. Para acoplamiento sinusoidal simétrico se obtiene la ecuación de Adler

$$\dot\phi=\Delta\omega-K\sin\phi, \qquad \Delta\omega=\omega_1-\omega_2,$$

donde se ha absorbido en $K$ la intensidad efectiva del acoplamiento. Esta reducción no es universal: exige que la amplitud de cada oscilador sea estable, que el acoplamiento sea suficientemente débil y que la fase sea la variable lenta relevante. Fuchs desarrolla la interpretación del acoplamiento de fase en coordinación biológica y física; allí el equilibrio de $\phi$ representa una relación temporal constante, no inmovilidad de los osciladores. Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 2, §2.5; cap. 7, §§7.1–7.4

Un estado bloqueado satisface $\dot\phi=0$, de modo que

$$\sin\phi^*=\frac{\Delta\omega}{K}.$$

Existen soluciones si $|\Delta\omega|\le |K|$. Para $K>0$ y desigualdad estricta aparecen dos equilibrios módulo $2\pi$: uno con $\cos\phi^*>0$, estable porque $d\dot\phi/d\phi=-K\cos\phi^*<0$, y otro inestable. En el equilibrio estable ambas fases continúan avanzando, pero con frecuencia media común; su diferencia permanece fija. Esto es bloqueo de fase.

Si $|\Delta\omega|>|K|$, el campo no se anula y $\phi$ completa vueltas. Hay deslizamientos de fase: periódicamente un oscilador gana o pierde un ciclo respecto del otro. Para $\Delta\omega>K>0$, el tiempo de un deslizamiento es

$$T_{\mathrm{slip}}=\int_0^{2\pi}\frac{d\phi}{\Delta\omega-K\sin\phi} =\frac{2\pi}{\sqrt{(\Delta\omega)^2-K^2}},$$

y la velocidad media relativa es

$$\Omega_{\mathrm{rel}}=\frac{2\pi}{T_{\mathrm{slip}}} =\sqrt{(\Delta\omega)^2-K^2}.$$

La raíz cuadrada muestra el cuello de botella cerca del umbral: inmediatamente fuera del bloqueo, la fase pasa mucho tiempo cerca del lugar donde estuvieron los equilibrios. El periodo diverge cuando $\Delta\omega\downarrow K$. Geométricamente ocurre una bifurcación silla-nodo sobre el círculo, a menudo abreviada SNIC o SNIPER según el contexto y las convenciones.

Ejemplo trabajado: estímulo periódico y oscilador autónomo

Un oscilador tiene frecuencia natural $\omega_0=10.0\ \mathrm{rad/s}$ y recibe un estímulo de frecuencia $\omega_f=10.6\ \mathrm{rad/s}$. La reducción de fase medida experimentalmente es

$$\dot\phi=(\omega_0-\omega_f)-K\sin\phi, \qquad K=0.8\ \mathrm{rad/s},$$

con $\phi=\theta_0-\theta_f$. Entonces $\Delta\omega=-0.6\ \mathrm{rad/s}$ y $|\Delta\omega|<K$: hay enganche. Los equilibrios satisfacen $\sin\phi^*=-0.75$. Tomando el representante estable con coseno positivo,

$$\phi_s=-\arcsin(0.75)\approx-0.8481\ \mathrm{rad},$$

mientras que el otro representante, $\phi_u=\pi-\phi_s$ módulo $2\pi$, tiene coseno negativo y es inestable. La tasa lineal de recuperación es

$$\lambda=-K\cos\phi_s =-0.8\sqrt{1-0.75^2} \approx-0.529\ \mathrm{s}^{-1}.$$

Por tanto, una perturbación pequeña de fase decae aproximadamente como $e^{-0.529t}$ y el tiempo característico es $1/|\lambda|\approx1.89\ \mathrm{s}$. El resultado no afirma que la amplitud se recupere con esa tasa: la ecuación reducida sólo describe la fase.

Ahora disminuyamos el acoplamiento a $K=0.4\ \mathrm{rad/s}$. Ya no existen equilibrios porque $0.6>0.4$. La velocidad media relativa tiene magnitud

$$|\Omega_{\mathrm{rel}}|=\sqrt{0.6^2-0.4^2} =\sqrt{0.20}\approx0.4472\ \mathrm{rad/s},$$

y se produce un deslizamiento cada $2\pi/0.4472\approx14.05\ \mathrm{s}$. Esta comparación separa una oscilación irregular transitoria de una pérdida estructural de enganche.

Número de rotación y mapas del círculo

Cuando se observa el sistema una vez por periodo de una excitación, la dinámica continua produce un mapa del círculo. Un levantamiento $F:\mathbb R\to\mathbb R$ satisface $F(x+2\pi)=F(x)+2\pi$. Su número de rotación es

$$\rho(F)=\lim_{n\to\infty}\frac{F^n(x)-x}{2\pi n},$$

si el límite existe. Para homeomorfismos del círculo que preservan orientación, existe y no depende de $x$. Un valor racional $p/q$ indica una órbita que, tras $q$ iteraciones, avanza $p$ vueltas en el levantamiento; un valor irracional corresponde a rotación no periódica bajo las hipótesis apropiadas. Esta formulación evita decidir el bloqueo a partir de una gráfica corta de la fase envuelta.

En una familia forzada, las regiones del plano de parámetros donde $\rho=p/q$ permanece constante forman zonas de bloqueo llamadas lenguas de Arnold. La lengua $1:1$ corresponde a una vuelta del oscilador por cada ciclo de la fuerza; también pueden existir relaciones $2:1$, $3:2$ y otras. Su forma precisa depende de la función de acoplamiento. Que aparezca una meseta numérica no basta: hay que comprobar convergencia temporal, sensibilidad al paso de integración y persistencia frente a pequeñas variaciones de parámetros.

Procedimiento de análisis

1. Identifica la fase. Comprueba que el estado regresa a una sección transversal y que la amplitud se recupera más rápido que la fase. Si la amplitud puede colapsar, una ecuación de fase aislada es insuficiente.
2. Fija la convención. Declara si $\phi=\theta_1-\theta_2$ o al revés. El signo de $\Delta\omega$ y el desfase estable dependen de esa elección, aunque la existencia del bloqueo no.
3. Reduce y justifica. Obtén $\dot\phi=G(\phi)$ mediante simetría, promediado o datos. Anota el régimen de validez de la reducción.
4. Busca ceros y clasifícalos. Resuelve $G(\phi)=0$ módulo $2\pi$ y evalúa $G'(\phi^*)$. Un cero estable representa enganche; un cero inestable separa fases iniciales.
5. Si no hay ceros, calcula rotación. Integra $1/G(\phi)$ para hallar el tiempo de una vuelta o estima el número de rotación con un levantamiento, sin envolver la fase antes de contar ciclos.
6. Localiza fronteras. Resuelve simultáneamente $G=0$ y $G'=0$ para detectar la colisión silla-nodo. Repite el cálculo bajo refinamiento temporal.
7. Regresa al modelo completo. Verifica que amplitudes, transitorios y observables físicos sostienen la conclusión de la ecuación reducida. Guckenheimer y Holmes sitúan las reducciones de fase dentro de métodos perturbativos cuya validez debe contrastarse con la dinámica original. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 4, osciladores forzados y métodos perturbativos

Errores frecuentes

Una fase constante en una ventana breve puede ser un cuello de botella y no bloqueo verdadero. Dos frecuencias medias iguales no garantizan que la diferencia de fase esté acotada: pueden alternarse deslizamientos positivos y negativos. Tampoco debe interpretarse $\theta$ como una variable ordinaria en los extremos $0$ y $2\pi$; esos extremos son el mismo punto. Finalmente, sincronización completa de estados, sincronización de frecuencias y bloqueo de fase son afirmaciones distintas. La ecuación de Adler demuestra la tercera dentro de su aproximación, no las tres de manera automática.

Ejercicios

1. Para $\dot\theta=2+\cos\theta$, demuestra que no existen equilibrios, calcula el periodo de una vuelta y compara la frecuencia media con la rapidez instantánea mínima y máxima.
2. En $\dot\phi=\Delta\omega-K\sin\phi$ con $K>0$, dibuja la línea de fase para $\Delta\omega/K=0$, $0.6$, $1$ y $1.2$. Explica qué cambia exactamente en el umbral.
3. Repite el ejemplo trabajado usando $\phi=\theta_f-\theta_0$. Comprueba qué signos cambian y cuáles conclusiones físicas permanecen iguales.
4. Considera $\dot\phi=\Delta\omega-K_1\sin\phi-K_2\sin2\phi$. Encuentra y clasifica los equilibrios para $\Delta\omega=0$, $K_1=1$ y $K_2=0.6$. ¿Puede haber más de una relación de fase estable?
5. Implementa una integración de la ecuación de Adler a ambos lados del umbral. Conserva una fase desplegada y otra módulo $2\pi$; verifica que sólo la primera permite contar deslizamientos sin ambigüedad.
6. A partir de una serie de tiempos de cruce de una sección, propone un estimador del número de rotación $p:q$ y una prueba de robustez frente a duplicar el tiempo de observación.
7. Explica por qué un equilibrio de la diferencia de fases corresponde a movimiento periódico en las fases individuales. Escribe la frecuencia común cuando el acoplamiento es simétrico.
8. Diseña un experimento numérico para trazar la frontera de la lengua $1:1$ variando detuning e intensidad de forzamiento. Incluye criterios de transitorio, tolerancia y refinamiento.

Al terminar la unidad debes poder mirar un oscilador sobre $S^1$, elegir una fase coherente, localizar el umbral de enganche y declarar con precisión si observaste equilibrio relativo, rotación o deslizamiento. Esa disciplina será necesaria más adelante para construir mapas de Poincaré y estudiar órbitas periódicas.