Sistemas no autónomos y forzados

En un sistema autónomo, el campo vectorial depende del estado y no del reloj: empezar hoy o mañana desde el mismo punto produce la misma evolución desplazada en el tiempo. En un sistema no autónomo,

$$\dot x=f(t,x),$$

el instante inicial también forma parte de los datos. Una fuerza periódica, una rampa de temperatura o un parámetro estacional cambian la velocidad aun cuando el estado $x$ sea idéntico. El análisis debe conservar esa dependencia; dibujar $f(t,x)$ como si fuera un campo fijo puede crear intersecciones aparentes y conclusiones falsas sobre invariancia.

Si la solución que parte de $x_0$ en $t_0$ se denota $\Phi(t,t_0)x_0$, se cumple la propiedad de composición

$$\Phi(t_2,t_0)=\Phi(t_2,t_1)\circ\Phi(t_1,t_0), \qquad t_0\le t_1\le t_2,$$

pero, en general, $\Phi(t,t_0)$ no depende sólo de $t-t_0$. Por eso se habla de un proceso de evolución de dos tiempos. La distinción importa al definir estabilidad: una solución de referencia $x_*(t)$ puede ser estable uniformemente respecto de $t_0$, estable sólo para un instante inicial fijo o atraer en un sentido hacia el futuro o hacia el pasado.

Extensión autónoma

Todo sistema explícitamente temporal puede escribirse formalmente como

$$\dot x=f(s,x), \qquad \dot s=1.$$

El nuevo sistema es autónomo en una dimensión adicional. Sin embargo, $s$ crece sin cota, así que la extensión no es compacta. Si el forzamiento tiene periodo $T$, conviene introducir una fase $\theta\in S^1$:

$$\dot x=f(\theta,x), \qquad \dot\theta=\Omega=\frac{2\pi}{T},$$

con $f(\theta+2\pi,x)=f(\theta,x)$. El espacio extendido es un cilindro o, para varias fases, un toro. Una respuesta $T$-periódica del sistema original corresponde a una órbita periódica de la extensión. Guckenheimer y Holmes usan esta construcción para aplicar herramientas geométricas autónomas a osciladores forzados, dejando explícita la dimensión añadida. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: caps. 2 y 4, osciladores forzados, promediado y perturbación

Respuesta de un sistema lineal forzado

Consideremos

$$\ddot x+2\zeta\omega_0\dot x+\omega_0^2x=F\cos(\Omega t), \qquad \zeta>0.$$

La solución es la suma de un transitorio homogéneo y una respuesta particular. Busquemos esta última mediante la representación compleja $x_p(t)=\operatorname{Re}(Xe^{i\Omega t})$. Al sustituir,

$$\left(\omega_0^2-\Omega^2+2i\zeta\omega_0\Omega\right)X=F.$$

Por tanto,

$$|X|= \frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+(2\zeta\omega_0\Omega)^2}},$$

y el retraso de fase $\delta$, definido por $x_p=|X|\cos(\Omega t-\delta)$, satisface

$$\tan\delta=\frac{2\zeta\omega_0\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2},$$

con el cuadrante elegido mediante una función de dos argumentos. Como $\zeta>0$, el transitorio decae y toda condición inicial converge a la misma respuesta periódica. La resonancia es un máximo de $|X|$ respecto de $\Omega$; para amortiguamiento pequeño ocurre cerca, pero no exactamente en, $\omega_0$.

Si $\zeta=0$ y $\Omega=\omega_0$, el supuesto de una respuesta sinusoidal acotada falla. Una particular es

$$x_p(t)=\frac{F}{2\omega_0}t\sin(\omega_0t),$$

cuyo crecimiento secular expresa resonancia ideal. La fuerza no crea un atractor periódico porque no hay disipación. Esta diferencia muestra por qué una fórmula de amplitud estacionaria no debe evaluarse ciegamente donde su denominador se anula.

Ejemplo trabajado: amplitud y fase medidas

Tomemos $\omega_0=2\ \mathrm{rad/s}$, $\zeta=0.1$, $F=1$ y $\Omega=1.8\ \mathrm{rad/s}$. Entonces

$$\omega_0^2-\Omega^2=4-3.24=0.76,$$

y

$$2\zeta\omega_0\Omega=2(0.1)(2)(1.8)=0.72.$$

La amplitud estacionaria es

$$|X|=\frac1{\sqrt{0.76^2+0.72^2}} \approx0.955,$$

y el retraso

$$\delta=\operatorname{atan2}(0.72,0.76)\approx0.758\ \mathrm{rad}.$$

Si se mide la respuesta desde $t=0$, estos valores no tienen por qué aparecer de inmediato: aún se suma el transitorio, cuya envolvente decrece aproximadamente como $e^{-\zeta\omega_0t}=e^{-0.2t}$. Cinco tiempos de decaimiento equivalen a unos $25$ segundos. Un protocolo experimental debe esperar o ajustar simultáneamente transitorio y respuesta permanente.

Al barrer $\Omega$, debe cambiarse lentamente la frecuencia y repetirse el descarte de transitorio. En un sistema lineal estable la rama estacionaria es única; en un oscilador no lineal puede haber múltiples respuestas estables y saltos dependientes de la dirección del barrido.

Forzamiento no lineal y resonancia

El Duffing forzado,

$$\ddot x+2\zeta\omega_0\dot x+\omega_0^2x+\beta x^3 =F\cos(\Omega t),$$

ya no permite superposición. Una aproximación de balance armónico supone $x(t)\approx A\cos(\Omega t-\delta)$ y usa

$$\cos^3 u=\frac34\cos u+\frac14\cos3u.$$

Al ignorar el tercer armónico, se obtiene la ecuación aproximada de amplitud

$$A^2\left[ \left(\omega_0^2-\Omega^2+\frac34\beta A^2\right)^2 +(2\zeta\omega_0\Omega)^2 \right]=F^2.$$

Es algebraica y puede tener varias raíces positivas. No todas son estables, y la aproximación pierde precisión si el tercer armónico es grande. Debe compararse con integración directa, continuación de órbitas periódicas o un mapa de retorno. Baker y Gollub muestran cómo fase, sección estroboscópica y espectro se complementan en el péndulo forzado experimental; ninguna medición aislada identifica por sí sola el régimen. Baker, 1996 Gregory L. Baker y Jerry P. Gollub (1996) Chaotic Dynamics: An Introduction 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 2–3, péndulo forzado, fase y muestreo estroboscópico

Forzamiento cuasiperiódico y general

Si intervienen dos frecuencias inconmensurables $\Omega_1/\Omega_2\notin\mathbb Q$, la extensión usa dos fases:

$$\dot\theta_1=\Omega_1, \qquad \dot\theta_2=\Omega_2,$$

y la base recorre densamente un toro $\mathbb T^2$. No existe un periodo común finito, de modo que un muestreo estroboscópico respecto de una sola frecuencia conserva la otra fase. Una curva cerrada en el mapa puede representar un toro invariante, no una órbita periódica. Para una entrada aperiódica o datos medidos, añadir $\dot s=1$ sigue siendo formalmente posible, pero no genera automáticamente un espacio compacto ni una ley repetible.

En sistemas no autónomos también aparece la noción de atracción pullback: se fija el instante de observación y se envían las condiciones iniciales cada vez más al pasado. Puede diferir de la atracción hacia adelante cuando la entrada cambia con el tiempo. En este curso se usará sólo cuando se declare de forma explícita; para forzamiento periódico estable, el mapa estroboscópico suele bastar.

Promediado y escalas lentas

Supongamos

$$\dot z=\varepsilon F(z,t,\varepsilon),$$

con $F$ periódica en $t$ y $0<\varepsilon\ll1$. El sistema promediado es

$$\dot{\bar z}=\varepsilon\bar F(\bar z), \qquad \bar F(z)=\frac1T\int_0^T F(z,t,0)\,dt.$$

Bajo hipótesis de regularidad y permanencia en un dominio apropiado, $z(t)$ y $\bar z(t)$ permanecen cercanos en intervalos de orden $1/\varepsilon$. El resultado no justifica tiempos infinitos ni cruzar separatrices sin análisis adicional. Wiggins presenta el promediado como una aproximación controlada de la dinámica lenta, no como sustitución exacta del sistema. Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: caps. 4–5, sistemas no autónomos y métodos perturbativos Abrir fuente

Procedimiento para estudiar un sistema forzado

1. Clasifica la entrada: periódica, cuasiperiódica, transitoria, aleatoria o medida. Registra unidades, amplitud y escala temporal.
2. Elige la representación: proceso de dos tiempos, extensión con $s$, fase circular o toro de fases. No identifiques como equivalente una proyección que perdió la fase.
3. Resuelve primero el límite lineal cuando exista. Separa transitorio, respuesta permanente, amplitud y retraso.
4. Construye el muestreo adecuado. Para una fuerza periódica, toma siempre la misma fase; documenta el instante de referencia.
5. Descarta transitorios con un criterio. Compara bloques sucesivos y duplica el tiempo de espera cerca de resonancias o bifurcaciones.
6. Busca multistabilidad. Repite con varias condiciones iniciales y con barridos ascendentes y descendentes del parámetro.
7. Controla la aproximación. Si usas balance armónico o promediado, mide armónicos omitidos y varía $\varepsilon$.
8. Valida numéricamente. Refina paso y tolerancias, y conserva la fase desplegada junto con observables físicos.

Errores frecuentes

Una órbita cerrada en la proyección $(x,\dot x)$ no prueba periodicidad si se omitió la fase externa. La igualdad entre frecuencia dominante y forzamiento no demuestra bloqueo de fase. Una respuesta grande cerca de resonancia no implica inestabilidad; hay que distinguir ganancia finita de crecimiento sin cota. En un barrido no lineal, saltar de rama no es error numérico automáticamente. Finalmente, autonomizar no elimina el tiempo físico: lo convierte en una coordenada cuya geometría debe conservarse.

Ejercicios

1. Deriva la fórmula compleja de $X$ para el oscilador lineal forzado y verifica sus límites cuando $\Omega\to0$ y $\Omega\to\infty$.
2. Encuentra la frecuencia que maximiza $|X|$ cuando $0<\zeta<1/\sqrt2$. Compara con $\omega_0$.
3. Para los parámetros del ejemplo, estima el tiempo necesario para que el transitorio sea menor que uno por ciento de su valor inicial.
4. Autonomiza $\dot x=-x+\cos(3t)$ usando una fase circular. Identifica la órbita periódica que representa la respuesta estacionaria.
5. Usa la ecuación aproximada de Duffing con $\beta>0$ para explicar hacia qué lado se inclina la curva de resonancia. Calcula raíces para un conjunto de parámetros elegido y no presupongas su estabilidad.
6. Compara un muestreo estroboscópico correcto con otro tomado a intervalos que difieren uno por ciento del periodo. Describe el patrón de deriva que aparece.
7. Formula la extensión autónoma de un sistema con dos frecuencias inconmensurables y explica por qué vive sobre un toro de dimensión dos.
8. Implementa el promediado de $\dot z=\varepsilon[-z+(1+z)\cos t]$. Compara ambos modelos para dos valores de $\varepsilon$ en tiempos proporcionales a $1/\varepsilon$.

El análisis no autónomo exige conservar el reloj como parte de la estructura. Al hacerlo, resonancia, sincronización y respuesta estacionaria dejan de ser etiquetas visuales y se convierten en propiedades que pueden medirse respecto de una fase y una escala temporal definidas.