Dinámica global planar

En el plano ocurre algo excepcional: una trayectoria acotada no puede acumularse de cualquier manera si su conjunto límite carece de equilibrios. El orden topológico impuesto por la unicidad —dos órbitas no se cruzan— permite demostrar resultados que fallan desde dimensión tres. Esta unidad reúne tres niveles de análisis: excluir ciclos mediante divergencia, identificar un ciclo como destino mediante Poincaré–Bendixson y decidir si el retrato completo persiste bajo perturbaciones mediante Peixoto.

Consideremos

$$\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y),$$

con campo $F=(f,g)$ de clase al menos $C^1$ en una región abierta. Antes de aplicar cualquier teorema hay que demostrar que las soluciones permanecen en la región y que su semiórbita positiva tiene cierre compacto. Un diagrama de nulclinas sugiere destinos, pero no sustituye esas hipótesis.

Criterio de Bendixson y extensión de Dulac

La divergencia del campo es

$$\operatorname{div}F=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}.$$

Una versión útil del criterio de Bendixson afirma: si $D$ es una región abierta y simplemente conexa, $F\in C^1(D)$ y $\operatorname{div}F$ no cambia de signo y no es idénticamente cero en ninguna subregión abierta, entonces no existe una órbita periódica contenida por completo en $D$. La conectividad simple importa: un ciclo puede rodear un agujero donde el campo o la hipótesis no estén definidos.

La idea de la demostración es aplicar Green al interior $R$ de una supuesta órbita periódica $\Gamma$. Como $F$ es tangente a $\Gamma$, el flujo normal a través de la frontera es cero:

$$0=\oint_{\Gamma}F\cdot n\,ds =\iint_R\operatorname{div}F\,dA.$$

Si la divergencia tiene un signo estricto en el sentido indicado, la integral no puede anularse. La prueba excluye ciclos; no demuestra convergencia a un equilibrio ni existencia global.

El criterio de Bendixson–Dulac permite multiplicar el campo por una función $B(x,y)$ de clase $C^1$. Si

$$\frac{\partial(Bf)}{\partial x}+\frac{\partial(Bg)}{\partial y}$$

tiene un solo signo y no se anula idénticamente en una región simplemente conexa, no hay órbitas periódicas contenidas allí, bajo las regularidades habituales. $B$ no cambia las curvas integrales donde es no nula: sólo reparametriza su velocidad. Strogatz emplea estas pruebas para decidir cuándo una apariencia rotatoria puede o no cerrarse en un ciclo. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: caps. 6–7, sistemas planos y ciclos límite

Teorema de Poincaré–Bendixson

Una versión básica dice: sea $x_0$ un punto de un sistema $C^1$ plano cuya semiórbita positiva permanece en un conjunto compacto. Si $\omega(x_0)$ no contiene equilibrios, entonces $\omega(x_0)$ es una órbita periódica. La hipótesis «sin equilibrios» no es decorativa. Si hay sillas, el conjunto límite puede incluir conexiones entre ellas; con un número finito de equilibrios aparecen versiones más amplias que describen redes de órbitas de conexión.

El argumento toma una sección transversal pequeña por un punto regular del conjunto límite. La trayectoria vuelve a esa sección. La unicidad fuerza un orden monótono de los cruces sucesivos; su límite produce un punto de retorno fijo y, por tanto, una órbita cerrada. Esta construcción anticipa el mapa de Poincaré de la unidad siguiente. Hirsch, Smale y Devaney desarrollan el resultado como una restricción global propia de los flujos planos. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 10–12, dinámica global en el plano y órbitas cerradas

Una estrategia de existencia de ciclo combina dos pasos:

1. construir una región anular compacta y positivamente invariante;
2. verificar que no contiene equilibrios.

Toda trayectoria iniciada allí tiene un conjunto omega límite no vacío; Poincaré–Bendixson obliga a que sea una órbita periódica. El teorema no garantiza unicidad ni estabilidad del ciclo. Para ello se necesitan un mapa de retorno, una función de Dulac adicional u otra propiedad del modelo.

Ejemplo trabajado: depredador–presa con autorregulación

Tomemos

$$\dot x=x(1-x-y), \qquad \dot y=y\left(-\frac14+x\right),$$

donde $x,y>0$. Los ejes son invariantes porque cada ecuación contiene su propia variable como factor. En el interior positivo hay un equilibrio de coexistencia:

$$x^*=\frac14, \qquad y^*=1-x^*=\frac34.$$

El jacobiano es

$$J(x,y)= \begin{pmatrix} 1-2x-y&-x\\ y&-1/4+x \end{pmatrix}.$$

En la coexistencia, la traza es $-1/4$ y el determinante $3/16$, de modo que ambos autovalores tienen parte real negativa. Esto demuestra estabilidad local, no global.

Para excluir ciclos en el cuadrante abierto usamos $B(x,y)=1/(xy)$. Entonces

$$Bf=\frac{1-x-y}{y}, \qquad Bg=\frac{-1/4+x}{x},$$

y

$$\frac{\partial(Bf)}{\partial x} +\frac{\partial(Bg)}{\partial y} =-\frac1y<0.$$

Como el cuadrante abierto es simplemente conexo y $B$ es regular allí, no existe una órbita periódica completamente contenida en él. Obsérvese que $B$ es singular sobre los ejes; la afirmación se formula en el interior, no en todo el plano.

Podemos ir más lejos con

$$V(x,y)= \left(x-x^*-x^*\log\frac{x}{x^*}\right) +\left(y-y^*-y^*\log\frac{y}{y^*}\right).$$

Cada paréntesis es no negativo para variables positivas y se anula sólo en el equilibrio correspondiente. Al derivar,

$$\dot V=(x-x^*)(1-x-y)+(y-y^*)(-1/4+x).$$

Usando $1-x^*-y^*=0$ y $-1/4+x^*=0$, los términos cruzados se cancelan:

$$\dot V=-(x-x^*)^2\le0.$$

El conjunto $\dot V=0$ es $x=x^*$. Para permanecer en él debe cumplirse $\dot x=x^*(y^*-y)=0$, luego $y=y^*$. Los subniveles de $V$ son compactos dentro del cuadrante positivo porque $V$ crece al acercarse a los ejes o al infinito. LaSalle concluye que toda solución con $x_0,y_0>0$ converge a $(x^*,y^*)$. Aquí el argumento de Lyapunov prueba una afirmación global; Bendixson–Dulac aporta una verificación independiente de que no se oculta un ciclo interior.

Peixoto y la estabilidad estructural

Un campo es estructuralmente estable si todo campo suficientemente cercano —en la topología $C^1$ apropiada— tiene un retrato de fase topológicamente equivalente. En una versión clásica del teorema de Peixoto, para un campo $C^1$ sobre una superficie compacta, conexa y orientable, la estabilidad estructural equivale a que:

1. haya sólo un número finito de equilibrios y órbitas periódicas, todos hiperbólicos;
2. el conjunto no errante consista únicamente en esos equilibrios y órbitas periódicas;
3. no existan conexiones entre sillas.

Además, estos campos forman un conjunto abierto y denso. Las formulaciones exactas varían con la superficie y la regularidad. Para un sistema en el plano, que no es compacto, no se debe citar Peixoto sin más: hay que restringirse a una región compacta con condiciones de frontera, compactificar el plano controlando el comportamiento en el infinito o emplear un resultado adaptado. Guckenheimer y Holmes relacionan estas condiciones con sistemas de Morse–Smale y con las bifurcaciones que aparecen al perder hiperbolicidad o crear conexiones. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 1, flujos planos y estabilidad estructural

Una conexión homoclínica de una silla —la rama inestable regresa a la misma silla— es frágil en un campo plano genérico. Una perturbación pequeña suele romperla y puede crear o destruir un ciclo. Del mismo modo, un equilibrio con autovalor cero o un ciclo con multiplicador transversal igual a uno marca una frontera de estabilidad estructural. Peixoto no afirma que todos los sistemas físicos sean simples; explica por qué ciertos retratos persisten y por qué otros aparecen sólo en parámetros críticos.

Procedimiento global para el plano

1. Delimita el dominio. Identifica singularidades, agujeros, fronteras invariantes y restricciones físicas.
2. Localiza y clasifica equilibrios. Conserva los no hiperbólicos como casos que requieren análisis especial.
3. Construye regiones invariantes o atrapantes. Evalúa el campo sobre cada tramo de frontera y prueba compacidad.
4. Calcula la divergencia. Si cambia de signo, busca razonadamente una función de Dulac; declara dónde es regular.
5. Aplica Poincaré–Bendixson sólo después de verificar sus hipótesis. Distingue «no contiene equilibrios» de «no veo equilibrios en la gráfica».
6. Estudia separatrices. Integra desde vecindades de sillas en ambas direcciones y comprueba posibles conexiones.
7. Evalúa robustez. Revisa hiperbolicidad de equilibrios y ciclos, finitud y ausencia de conexiones antes de invocar estabilidad estructural.
8. Contrasta analítica y numéricamente. Usa integración para explorar, pero basa la exclusión o existencia en argumentos que controlen toda la región.

Errores frecuentes

Una divergencia negativa no implica que cada distancia entre trayectorias disminuya; expresa contracción local de área. Bendixson no se aplica en una corona sin tratar su agujero. Poincaré–Bendixson no vale para un flujo tridimensional ni para un mapa discreto. La presencia de una región atrapante con un equilibrio no obliga a un ciclo. Finalmente, un retrato «parecido» después de cambiar parámetros no prueba equivalencia topológica: deben preservarse tipos de órbitas y conexiones.

Ejercicios

1. Aplica Bendixson a $\dot x=y$, $\dot y=-x-y$ en todo el plano. Explica por qué la ausencia de ciclos es compatible con trayectorias espirales.
2. Para el sistema $\dot x=-y+x(1-x^2-y^2)$, $\dot y=x+y(1-x^2-y^2)$, construye una corona atrapante y usa Poincaré–Bendixson para demostrar existencia de una órbita periódica.
3. Encuentra una función de Dulac para el modelo logístico depredador–presa general $\dot x=x(r-kx-ay)$, $\dot y=y(-b+cx)$ y especifica las condiciones de parámetros.
4. Verifica todos los pasos de la derivación de $\dot V=-(x-x^*)^2$ en el ejemplo trabajado y justifica la compacidad de los subniveles.
5. Da un campo definido en una corona con divergencia de signo fijo que posea una órbita periódica. Señala exactamente qué hipótesis de Bendixson falla.
6. Dibuja un retrato con dos sillas conectadas por una separatriz. Explica cuál condición de Peixoto viola y cómo podría cambiar bajo una perturbación pequeña.
7. Formula una versión correcta y limitada de Poincaré–Bendixson para una trayectoria cuyo omega límite sí contiene un número finito de equilibrios.
8. Diseña un protocolo numérico para detectar una órbita periódica dentro de una región atrapante sin afirmar unicidad. Incluye sección transversal, tolerancia de retorno y refinamiento.

La dinámica planar global se apoya en una secuencia lógica: acotación, invariancia, exclusión de alternativas y robustez. Cuando esas piezas están presentes, una figura deja de ser sólo ilustrativa y se convierte en la representación de un resultado matemático con alcance declarado.