Sistemas lineales y no lineales en dimensión superior

El plano permite dibujar casi toda la geometría, pero muchos modelos necesitan tres, diez o miles de variables. Una reacción con varias especies, una red de osciladores y una discretización espacial comparten la forma

$$\dot x=f(x),\qquad x\in\mathbb R^n.$$

En dimensión superior ya no basta con clasificar «nodo, foco o silla». El objeto central es la separación del espacio tangente en direcciones que se contraen, se expanden o permanecen neutrales. Esta unidad construye primero esa separación en sistemas lineales y después explica exactamente qué parte sobrevive en un sistema no lineal cerca de un equilibrio.

La solución lineal y la exponencial matricial

Para una matriz constante $A\in\mathbb R^{n\times n}$, el problema

$$\dot x=Ax,\qquad x(0)=x_0,$$

tiene solución $x(t)=e^{tA}x_0$, donde

$$e^{tA}=I+tA+\frac{t^2A^2}{2!}+\frac{t^3A^3}{3!}+\cdots.$$

La serie converge para toda matriz finita y satisface $e^{(t+s)A}=e^{tA}e^{sA}$. Si $A=V\Lambda V^{-1}$ es diagonalizable, entonces $e^{tA}=Ve^{t\Lambda}V^{-1}$ y cada autocomponente evoluciona como $e^{\lambda_jt}$. Para un bloque de Jordan $J=\lambda I+N$, con $N$ nilpotente, aparece

$$e^{tJ}=e^{\lambda t}\left(I+tN+\frac{t^2N^2}{2!}+\cdots\right).$$

Los factores polinomiales pueden producir crecimiento transitorio, pero el signo de $\operatorname{Re}\lambda$ decide el comportamiento asintótico cuando ningún autovalor está sobre el eje imaginario. Hirsch, Smale y Devaney desarrollan la exponencial matricial como el flujo lineal que sirve de modelo local para el caso no lineal. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. 5–7, sistemas lineales y no lineales en dimensiones mayores

Definimos el subespacio estable generalizado $E^s$ como la suma de los espacios propios generalizados asociados a $\operatorname{Re}\lambda<0$; análogamente, $E^u$ usa $\operatorname{Re}\lambda>0$ y $E^c$ usa $\operatorname{Re}\lambda=0$. Esos subespacios son invariantes bajo $e^{tA}$. Si $E^c=\{0\}$, la matriz y el equilibrio correspondiente se llaman hiperbólicos. Entonces

$$\mathbb R^n=E^s\oplus E^u,$$

y existen constantes $C,\alpha>0$ tales que $\|e^{tA}v_s\|\le Ce^{-\alpha t}\|v_s\|$ para $t\ge0$ y una desigualdad análoga hacia atrás para $v_u$. La constante $C$ recuerda que autovectores no ortogonales pueden amplificar inicialmente ciertas perturbaciones aun cuando todos los autovalores sean estables.

Sistemas afines, entrada y variación de constantes

Para $\dot x=Ax+b$, un equilibrio $x^*$ satisface $Ax^*+b=0$. Si $A$ es invertible, $x^*=-A^{-1}b$ y el cambio $y=x-x^*$ produce $\dot y=Ay$. Cuando hay una entrada $g(t)$,

$$\dot x=Ax+g(t),$$

la fórmula de variación de constantes es

$$x(t)=e^{tA}x_0+\int_0^t e^{(t-s)A}g(s)\,ds.$$

El primer término transporta la condición inicial; el segundo suma la respuesta a cada impulso pasado. Esta identidad permite acotar soluciones sin diagonalizar: si $\|e^{tA}\|\le Me^{-\alpha t}$ y $\|g(t)\|\le G$, entonces

$$\|x(t)\|\le Me^{-\alpha t}\|x_0\|+\frac{MG}{\alpha}(1-e^{-\alpha t}).$$

Por tanto, una entrada acotada produce una respuesta finalmente acotada bajo estabilidad exponencial. La conclusión cambia si sólo se sabe que los autovalores tienen parte real no positiva: un bloque de Jordan en cero puede crecer polinómicamente.

Ejemplo trabajado: una cadena de tres compartimentos

Consideremos concentraciones $x_1,x_2,x_3$ con transferencia irreversible y lavado:

$$\dot x= \begin{pmatrix} -2&0&0\\ 2&-1&0\\ 0&1&-1/2 \end{pmatrix}x + \begin{pmatrix}u\\0\\0\end{pmatrix}, \qquad u\ge0.$$

La matriz es triangular, así que sus autovalores son $-2,-1,-1/2$: el sistema homogéneo es exponencialmente estable. Para una entrada constante, el equilibrio se calcula en cascada:

$$-2x_1^*+u=0, \qquad 2x_1^*-x_2^*=0, \qquad x_2^*-\frac12x_3^*=0.$$

De aquí

$$x^*=\left(\frac u2,u,2u\right)^T.$$

Si $u=1$ y $x(0)=0$, la primera componente es $x_1(t)=\tfrac12(1-e^{-2t})$. Sustituirla en la segunda ecuación y usar factor integrante da

$$x_2(t)=1-2e^{-t}+e^{-2t}=(1-e^{-t})^2.$$

La tercera puede calcularse del mismo modo y converge a $2$. Aunque la tasa más lenta $1/2$ domina la cola asintótica, las transferencias generan una combinación de tres escalas. La positividad también importa: la matriz tiene entradas no negativas fuera de la diagonal y, para $u\ge0$, el ortante $x_i\ge0$ es positivamente invariante. Un análisis sólo espectral no revelaría por sí mismo esa restricción física.

Linealización del flujo no lineal

Sea $p$ un equilibrio de $\dot x=f(x)$ y supongamos que $f$ es continuamente diferenciable. Con $\xi=x-p$,

$$\dot\xi=A\xi+R(\xi), \qquad A=Df(p), \qquad \frac{\|R(\xi)\|}{\|\xi\|}\to0.$$

Si $A$ es hiperbólica, el teorema de Hartman–Grobman afirma que, en una vecindad del equilibrio, el flujo no lineal es topológicamente conjugado al flujo lineal: existe un cambio continuo de coordenadas que lleva órbitas a órbitas y conserva su orientación temporal. No promete que las distancias, los ángulos o las tasas exactas coincidan; tampoco cubre equilibrios con autovalores de parte real cero. Wiggins formula esta hiperbolicidad como el punto de partida para construir variedades invariantes y estudiar perturbaciones. Wiggins, 2003 Stephen Wiggins (2003) Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2.ª ed., Texts in Applied Mathematics, vol. 2 · Springer-Verlag New York Ubicación consultada: caps. 1–3, sistemas lineales, estabilidad y variedades invariantes Abrir fuente

El teorema de la variedad estable refina la descripción. Cerca de un equilibrio hiperbólico existen variedades suaves locales $W^s_{\mathrm{loc}}(p)$ y $W^u_{\mathrm{loc}}(p)$, tangentes en $p$ a $E^s$ y $E^u$. Sus dimensiones son el número de autovalores estables e inestables contando multiplicidad algebraica apropiada. Los puntos de $W^s$ convergen a $p$ hacia adelante; los de $W^u$, hacia atrás. Fuera de esas variedades, una silla de dimensión alta puede expulsar trayectorias aunque muchas componentes parezcan contraerse.

Ejemplo no lineal: una dirección inestable y dos estables

Estudiemos

$$\dot x=x-x^3, \qquad \dot y=-2y+x^2, \qquad \dot z=-z+xy.$$

El origen es equilibrio y

$$Df(0)=\operatorname{diag}(1,-2,-1).$$

Por tanto, $E^u$ es el eje $x$ y $E^s$ es el plano $yz$. El origen es una silla hiperbólica con variedad inestable unidimensional y variedad estable bidimensional. Sin embargo, el eje $x$ no es la variedad inestable exacta porque, cuando $x\ne0$ y $y=0$, se tiene $\dot y=x^2>0$. Podemos aproximar $W^u$ como una gráfica $y=h(x)$, $z=k(x)$. Supongamos $h(x)=ax^2+O(x^3)$. La invariancia exige

$$h'(x)(x-x^3)=-2h(x)+x^2.$$

Al comparar términos de orden dos, $2a=-2a+1$, de donde $a=1/4$. Para $k(x)=bx^2+O(x^3)$, el lado derecho $-k+xh(x)$ no tiene término cuadrático salvo $-bx^2$, mientras el lado izquierdo aporta $2bx^2$; entonces $b=0$ y el primer término no nulo aparece a orden superior. La tangencia lineal indica la dirección, pero la ecuación de invariancia revela la curvatura.

Procedimiento para un sistema de dimensión n

1. Localiza los equilibrios resolviendo $f(p)=0$ y conserva las restricciones del modelo, como positividad o conservación de masa.
2. Calcula el jacobiano $A=Df(p)$ y verifica numéricamente sus entradas con diferencias finitas si provienen de una implementación.
3. Separa el espectro por el signo de la parte real. Registra multiplicidades y bloques defectivos; no deduzcas diagonalización sólo porque conoces los autovalores.
4. Construye subespacios estables, inestables y centrales usando vectores propios generalizados o una descomposición de Schur, que suele ser más robusta numéricamente.
5. Declara el alcance. Si no hay espectro central, usa linealización hiperbólica local. Si lo hay, el resultado es inconcluso y se requieren variedades centrales o formas normales.
6. Busca estructura adicional: ortantes invariantes, primeras integrales, simetrías, subespacios sincronizados o funciones de Lyapunov.
7. Contrasta con trayectorias. Si la matriz es no normal, prueba perturbaciones alineadas y no alineadas con autovectores; mide crecimiento transitorio además del límite asintótico. Hoppensteadt enfatiza la combinación de análisis y simulación, especialmente cuando la geometría no puede dibujarse completa. Hoppensteadt, 2000 Frank C. Hoppensteadt (2000) Analysis and Simulation of Chaotic Systems 2.ª ed. · Springer Ubicación consultada: caps. 1–3, formulación, estabilidad y simulación

Errores frecuentes

Todos los autovalores negativos no implican descenso monótono de cada componente ni de la norma euclidiana. Un autovalor cero no demuestra una línea de equilibrios. Una proyección tridimensional puede mostrar cruces aparentes entre órbitas que están separadas en coordenadas omitidas. Además, un equilibrio localmente estable puede coexistir con otros atractores; el jacobiano no calcula su cuenca. Finalmente, redondear una parte real pequeña a cero puede cambiar la clasificación, de modo que debe informarse la escala y la incertidumbre numérica.

Ejercicios

1. Calcula $e^{tA}$ para $A=\begin{pmatrix}-1&4\\0&-1\end{pmatrix}$. Encuentra el máximo transitorio de la primera componente para el estado inicial $(0,1)^T$.
2. Para una matriz diagonal con entradas $(-3,-1,2,2)$, determina $E^s$, $E^u$, sus dimensiones y el comportamiento hacia adelante y hacia atrás.
3. Resuelve por variación de constantes $\dot x=-2x+\sin t$ y separa respuesta transitoria y respuesta permanente.
4. En la cadena de compartimentos, deriva una fórmula explícita para $x_3(t)$ cuando $u=1$ y $x(0)=0$. Comprueba el valor límite.
5. Demuestra que el ortante no negativo es positivamente invariante para la cadena examinando el campo en cada cara $x_i=0$.
6. Clasifica el origen de $\dot x=x$, $\dot y=-y$, $\dot z=z^2$. Explica por qué Hartman–Grobman no se aplica y analiza directamente la coordenada central.
7. Para el ejemplo no lineal, continúa el cálculo de $h(x)$ hasta el término $x^4$ y verifica la ecuación de invariancia.
8. Elige una matriz estable muy no normal. Compara el máximo de $\|e^{tA}\|_2$ con $e^{t\max\operatorname{Re}\lambda}$. Explica por qué la diferencia importa ante perturbaciones finitas.

La dimensión alta no elimina la geometría; la organiza en subespacios y variedades. Dominar esta traducción permite reconocer qué conclusiones son puramente locales, cuáles dependen de hiperbolicidad y qué información adicional se necesita para describir destinos globales.