Osciladores no lineales

La oscilación lineal separa con comodidad frecuencia y amplitud. La no linealidad rompe esa independencia: el periodo puede cambiar con la energía, la respuesta forzada puede tener varias ramas y un mecanismo de disipación negativa a pequeña amplitud puede sostener un ciclo límite. Strogatz organiza el tema alrededor de una pregunta geométrica: no sólo si hay oscilación, sino qué objeto del plano de fases la sostiene y cómo responden las órbitas vecinas. Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: caps. 7–8, pp. 198–308

El oscilador de Duffing forzado se escribe

$$\ddot x+\delta\dot x+\alpha x+\beta x^3=\gamma\cos(\omega t).$$

El término cúbico inclina la curva de resonancia. Para $\beta>0$ el resorte se endurece con la amplitud; para $\beta<0$ se ablanda y, si $\alpha<0$, el potencial puede formar dos pozos. Como la fuerza depende explícitamente del tiempo, el sistema es no autónomo. Puede convertirse en autónomo añadiendo una fase $\dot\phi=\omega$:

$$\dot x_1=x_2, \qquad \dot x_2=-\delta x_2-\alpha x_1-\beta x_1^3+\gamma\cos\phi, \qquad \dot\phi=\omega.$$

El estado tiene ahora tres dimensiones. Una curva cerrada en el plano $(x,\dot x)$ puede ser sólo la proyección de una órbita más compleja; la muestra estroboscópica $\phi=0$ recupera un mapa de retorno bidimensional.

Otro modelo central es Van der Pol,

$$\ddot x-\mu(1-x^2)\dot x+x=0.$$

Cuando $|x|<1$, la amortiguación efectiva es negativa y alimenta la oscilación; para amplitudes grandes disipa. El balance selecciona un ciclo límite aislado. Para la energía $E=(x^2+\dot x^2)/2$,

$$\dot E=\mu(1-x^2)\dot x^2.$$

Dentro de $|x|<1$ la energía aumenta salvo donde $\dot x=0$; fuera, disminuye. Esta identidad explica la autorregulación, aunque no demuestra por sí sola existencia y unicidad del ciclo. Guckenheimer y Holmes estudian Van der Pol y Duffing como modelos donde retrato, forzamiento y perturbación se complementan. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 2, Van der Pol y Duffing

La relación entre potencial y plano de fases ayuda a separar oscilación conservativa de disipación. En el péndulo, un nivel por debajo de la barrera produce curvas cerradas alrededor de un mínimo; por encima permite rotaciones. Una trayectoria amortiguada no permanece en un nivel, sino que cruza la familia hacia estados de menor energía.

Un ciclo límite puede aparecer cuando un par de valores propios cruza el eje imaginario. En la forma normal supercrítica $\dot r=\mu r-r^3$, $\dot\phi=1$, el origen atrae para $\mu<0$ y para $\mu>0$ aparece el radio estable $r=\sqrt\mu$. El panel de amplitud y el retrato plano muestran el mismo fenómeno en coordenadas diferentes.

Centros, órbitas periódicas y ciclos límite

En un centro conservativo hay una familia continua de órbitas periódicas. Cambiar ligeramente la condición inicial conduce a otra curva cerrada, no de regreso a la primera. Un ciclo límite, en cambio, es una órbita periódica aislada. Si las trayectorias cercanas convergen a ella, es estable; si se alejan, inestable.

Para un sistema planar $\dot x=f(x,y)$, $\dot y=g(x,y)$, el criterio de Bendixson–Dulac puede descartar ciclos en una región simplemente conexa si existe una función $B$ tal que

$$\frac{\partial(Bf)}{\partial x}+ \frac{\partial(Bg)}{\partial y}$$

tiene signo estricto. Poincaré–Bendixson permite, bajo hipótesis de confinamiento y ausencia de equilibrios en el conjunto límite, concluir la existencia de una órbita periódica. Ninguno de los dos teoremas entrega automáticamente su estabilidad o amplitud. Hirsch, Smale y Devaney presentan estas herramientas dentro de la dinámica global del plano. Hirsch, 2013 Morris W. Hirsch, Stephen Smale y Robert L. Devaney (2013) Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 3.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. 10, pp. 213–232

Energía del Duffing no forzado

Toma $\delta=\gamma=0$. La energía

$$E=\frac12\dot x^2+V(x), \qquad V(x)=\frac12\alpha x^2+\frac14\beta x^4$$

se conserva. Si $\alpha=-1$ y $\beta=1$, los equilibrios satisfacen $-x+x^3=0$, así que $x=0,\pm1$. El origen está en el máximo del potencial y es una silla en el plano $(x,\dot x)$; $x=\pm1$ son mínimos y producen oscilaciones alrededor de cada pozo. La separatriz tiene la energía $E=V(0)=0$ y divide las órbitas confinadas en un pozo de las que recorren ambos.

La velocidad sobre un nivel $E$ se obtiene de

$$\dot x=\pm\sqrt{2\bigl(E-V(x)\bigr)}.$$

Para $-1/4<E<0$, el nivel se divide en dos curvas cerradas, una en cada pozo. Para $E=0$, ambas tocan la silla y forman las separatrices. Para $E>0$, una sola familia recorre ambos pozos. El periodo depende de

$$T(E)=2\int_{x_-}^{x_+}\frac{dx}{\sqrt{2(E-V(x))}},$$

y crece cerca de la separatriz porque la trayectoria pasa mucho tiempo junto a la silla. El periodo dependiente de la energía marca una diferencia fundamental respecto del oscilador armónico ideal.

Resonancia no lineal e histéresis

En el retrato $(x,\dot x)$, identifica un ciclo límite mediante su carácter aislado y la evolución de trayectorias cercanas. Un sistema conservativo puede presentar una familia continua de curvas cerradas, cada una con energía distinta. En una respuesta forzada, una sección tomada cada periodo permite distinguir una oscilación sincronizada de respuestas con varios periodos.

Para forzamiento débil y una respuesta casi armónica $x\approx A\cos(\omega t-\psi)$, el balance del armónico fundamental conduce a

$$A^2\left[\left(\alpha+\frac{3}{4}\beta A^2-\omega^2\right)^2 +(\delta\omega)^2\right]\approx\gamma^2.$$

El término $3\beta A^2/4$ desplaza la frecuencia efectiva. La ecuación puede admitir varias amplitudes para la misma $\omega$; algunas ramas son inestables y no aparecen en un barrido directo. Al aumentar y luego disminuir la frecuencia, los saltos pueden ocurrir en puntos distintos: ésa es la histéresis. Como la relación conserva sólo el primer armónico, debe contrastarse con integración y refinamiento.

Sincronización de fase entre osciladores acoplados

La sincronización no exige que dos señales tengan la misma amplitud. En el bloqueo de fase, la diferencia angular permanece acotada y las frecuencias medias coinciden. El modelo simétrico mínimo

$$\dot\theta_1=\omega_1+K\sin(\theta_2-\theta_1), \qquad \dot\theta_2=\omega_2+K\sin(\theta_1-\theta_2)$$

permite derivar el umbral sin depender de una gráfica. Supondremos $K>0$. Con $\phi=\theta_2-\theta_1$ y $\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$,

$$\dot\phi=\Delta\omega-2K\sin\phi.$$

Existe una diferencia de fase constante si $|\Delta\omega|\le 2K$. La rama con $\cos\phi_\star>0$ es estable porque la derivada del campo de fase vale $-2K\cos\phi_\star<0$. En esa rama, ambas fases avanzan con la frecuencia común

$$\Omega=\omega_1+K\sin\phi_\star =\frac{\omega_1+\omega_2}{2}.$$

Por ejemplo, $\omega_1=1$, $\omega_2=1.3$ y $K=0.2$ producen $\sin\phi_\star=0.75$, $\phi_\star\approx0.8481$ rad y $\Omega=1.15$. Con $K=0.1$ no existe punto fijo de fase porque $2K<|\Delta\omega|$; la diferencia deriva y aparecen deslizamientos de fase. Fuchs relaciona esta reducción con la dinámica de osciladores de fase y el modelo HKB. Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 2, §2.5, pp. 31–34; cap. 7, §§7.1–7.4, pp. 133–143

La comprobación numérica integra $\theta_1$ y $\theta_2$ para ambos valores de $K$, descarta el transitorio, desenvuelve las fases y registra $\phi(t)$ junto con $[\theta_i(t_2)-\theta_i(t_1)]/(t_2-t_1)$. Después se reduce el paso a la mitad y se repite desde varias diferencias iniciales. El bloqueo queda respaldado cuando $\phi(t)$ converge, las dos frecuencias medias concuerdan dentro de la tolerancia y el resultado persiste al refinar el paso; una coincidencia breve de picos no basta.

Variables del modelo y mediciones experimentales

En un péndulo impulsado, el modelo y el experimento se relacionan mediante cantidades que deben identificarse una por una. Una forma dimensional es

$$I\ddot\theta+b\dot\theta+m g\ell\sin\theta =\tau_0\cos(\Omega t),$$

donde $I$ es el momento de inercia, $b$ resume pérdidas viscosas y $\tau_0$ es la amplitud del par aplicado. Si se usa $\tau=t\sqrt{mg\ell/I}$, la ecuación queda

$$\theta''+2\zeta\theta'+\sin\theta =A\cos(\omega\tau),$$

con $2\zeta=b/\sqrt{Img\ell}$, $A=\tau_0/(mg\ell)$ y $\omega=\Omega\sqrt{I/(mg\ell)}$. La comparación sólo es válida si el ángulo medido, la fase del motor y la escala temporal se transforman con las mismas convenciones. Baker y Gollub construyen su tratamiento experimental alrededor del péndulo amortiguado y forzado, combinando retrato de fase, sección, serie y espectro en lugar de inferir el régimen con una sola señal. Baker, 1996 Gregory L. Baker y Jerry P. Gollub (1996) Chaotic Dynamics: An Introduction 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: cap. 2, §§2.1–2.3; cap. 3, §§3.1–3.5

Supongamos que el sensor registra una respuesta sincronizada $\theta(t)=B\cos(\Omega t-\psi)$. Al muestrear en $t_n=t_0+nT$, $T=2\pi/\Omega$, todos los pares $(\theta(t_n),\dot\theta(t_n))$ coinciden: la sección estroboscópica contiene un punto. Si la respuesta tiene periodo $2T$, aparecen dos puntos alternados. Esta cuenta sigue siendo cierta aunque la curva continua en $(\theta,\dot\theta)$ parezca complicada; por eso la muestra por fase separa periodo del forzamiento y forma de onda.

En el laboratorio real hay dos maneras comunes de producir una sección. La muestra estroboscópica usa una fase fija del forzamiento y responde cuántos periodos externos necesita la respuesta para repetirse. La sección disparada por posición registra, por ejemplo, cada cruce de $\theta=0$ con $\dot\theta>0$ y responde cómo vuelve la trayectoria a una superficie del estado. No deben mezclarse: una usa el reloj del excitador y la otra un evento del sistema. Moon desarrolla ambas dentro de la medición experimental de vibraciones caóticas y subraya que el control de fase, ancho de banda y transitorio condiciona el mapa obtenido. Moon, 1992 Francis C. Moon (1992) Chaotic and Fractal Dynamics: An Introduction for Applied Scientists and Engineers 2.ª ed. · John Wiley & Sons Ubicación consultada: cap. 5, §§5.1–5.7, pp. 221–261; cap. 6, §6.2, pp. 263–273

Un caso trabajado muestra por qué importa la fase. Si el disparo nominal ocurre cada $T$ pero el reloj acumula un error $\varepsilon$ por periodo, la fase después de $n$ muestras es $n\Omega\varepsilon$. Para una respuesta de periodo $T$,

$$\theta(t_n)\approx B\cos(\psi-n\Omega\varepsilon),$$

y el punto ideal se ensancha hasta dibujar una curva. Antes de interpretar esa curva como cuasiperiodicidad se sincroniza el muestreo con la señal de excitación o se interpola cada cruce de fase. En la figura del potencial y el plano de fases, los niveles conservativos son referencias geométricas; en un montaje forzado, la sección añade la fase que permite saber en qué momento de cada ciclo se cruzó ese plano.

Trayectoria continua y muestreo por periodo

Abre Duffing–Ueda. Usa inicialmente $\delta=0.2$, $\alpha=-1$, $\beta=1$, $\gamma=0.3$, $\omega=1.2$, condición $(x_0,v_0)=(0.1,0)$, RK4, $dt=0.01$ y tiempo $200$. Descarta al menos $50$ y compara serie temporal, retrato $(x,v)$ y la muestra estroboscópica si la vista está disponible.

Repite con $\gamma=0.2$ y luego con $0.37$, manteniendo el resto de la configuración. Registra si la órbita permanece en un pozo, visita ambos o cambia su patrón de retorno. Después reduce $dt$ a $0.005$ en el caso más irregular y comprueba si la geometría principal persiste.

Para construir la muestra estroboscópica, usa $T=2\pi/\omega$ y registra $(x(nT),\dot x(nT))$ después del transitorio. Un punto aislado corresponde a una respuesta de periodo $T$; dos puntos, a periodo $2T$; una curva o nube exige análisis adicional. Si el paso no divide exactamente $T$, interpola la solución en $nT$ en lugar de elegir el índice más cercano, pues el error de fase puede ensanchar artificialmente la sección.

La comparación entre valores de $\gamma$ debe conservar límites de ejes, transitorio, número de periodos y regla de muestreo. Fuchs recorre osciladores y modelos caóticos con atención a sus representaciones, y sirve como revisión compacta de esta transición. Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: caps. 3–4, pp. 41–88

Bifurcación de Hopf y aparición de oscilaciones

La forma normal supercrítica

$$\dot r=\mu r-r^3, \qquad \dot\phi=1$$

se analiza como un flujo escalar en $r\ge0$. Para $\mu<0$, $r=0$ atrae. Para $\mu>0$, el origen repele y $r=\sqrt\mu$ atrae porque $\partial_r(\mu r-r^3)|_{\sqrt\mu}=-2\mu<0$. El círculo es un ciclo límite en coordenadas cartesianas. La forma normal explica la raíz cuadrada de la amplitud cerca del umbral, pero no predice por sí sola el comportamiento lejos de él.

En una bifurcación de Hopf concreta se verifica un par simple de autovalores que cruza el eje imaginario con velocidad no nula y una condición no degenerada que decide si el ciclo resultante es estable o inestable. Guckenheimer y Holmes derivan estas formas normales y separan el resultado local de las bifurcaciones globales. Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: cap. 3, bifurcación de Hopf y formas normales

Energía, retornos y respuesta forzada

Un oscilador no lineal se entiende mejor al alternar energía, retrato de fase y retorno estroboscópico. Cada vista responde una pregunta distinta; juntas explican por qué aparecen ciclos, saltos y regímenes complejos.