Cuencas de atracción y fronteras

Sensibilidad del destino

Cuando un sistema tiene varios atractores, la condición inicial decide cuál de ellos se alcanza. La cuenca de atracción de un conjunto invariante $A$ es

$$\mathcal{B}(A)= \left\{ \mathbf{x}_0: \operatorname{dist}\bigl(\varphi_t(\mathbf{x}_0),A\bigr)\to0 \text{ cuando }t\to\infty \right\}.$$

La definición habla de un límite temporal. Una imagen calculada en una computadora solo puede aproximarlo mediante un horizonte finito y una regla de clasificación. Esta diferencia debe permanecer visible durante toda la unidad: un píxel no “es” una cuenca; es el resultado de integrar una condición inicial y asignarle una clase bajo un protocolo.

La frontera $\partial\mathcal{B}(A)$ contiene puntos cuyas vecindades intersectan la cuenca y su complemento. Cerca de ella, una perturbación pequeña puede cambiar el destino asintótico. Esta sensibilidad no es idéntica a la que mide un exponente de Lyapunov. Dos trayectorias pueden separarse dentro de una misma cuenca y terminar en el mismo atractor; otras pueden alejarse hacia atractores distintos aunque el movimiento dentro de cada cuenca sea regular.

Alligood, Sauer y Yorke presentan las cuencas como parte de la geometría global de un sistema y muestran cómo sus fronteras pueden adquirir estructura fractal Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: §§3.5 y 4.4 . La palabra “fractal” exige una prueba de escala o un argumento geométrico; no debe asignarse a cualquier borde pixelado.

Caos transitorio y tasa de escape

Una trayectoria puede mostrar separación sensible y geometría irregular durante un tiempo largo antes de abandonar una región de observación. Ese comportamiento se denomina caos transitorio cuando lo organiza un conjunto caótico no atractor. El destino final y el tiempo de permanencia son entonces variables distintas: dos condiciones iniciales pueden escapar por la misma salida después de historias transitorias muy diferentes.

Fijada una región $R$ y un criterio de escape, sea $\tau_i$ el primer tiempo en que la trayectoria $i$ sale de $R$. Para un ensamble de $N$ condiciones iniciales, la fracción superviviente es

$$S(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\mathbf{1}_{\{\tau_i>t\}}.$$

En un intervalo dominado por una silla caótica puede observarse

$$S(t)\approx C e^{-\kappa t}, \qquad \log S(t)\approx\log C-\kappa t,$$

donde $\kappa$ es la tasa de escape. Esta ley no debe imponerse a todo el registro: el transitorio inicial depende de cómo se sembró el ensamble y la cola contiene pocos supervivientes. Tél y Gruiz desarrollan la relación entre transitorios caóticos, escapes y geometría de cuencas. Tél, 2006 Tamás Tél y Márton Gruiz (2006) Chaotic Dynamics: An Introduction Based on Classical Mechanics Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 3–6, pp. 51–226

El mapa duplicador abierto ofrece un cálculo exacto. Considere $x_{n+1}=2x_n\bmod 1$ y declare escape cuando $x_n\in H=[0,1/2)$. Con condiciones iniciales uniformes, sobrevivir $n$ iteraciones exige que los primeros $n$ dígitos binarios sean iguales a uno. Por tanto,

$$S_n=2^{-n}=e^{-n\log 2}, \qquad \kappa=\log 2$$

por iteración. En un ensamble ideal de $8192$ puntos se esperan aproximadamente $8192/2^6=128$ supervivientes tras seis iteraciones. La discrepancia entre esta predicción y un experimento finito permite detectar sesgos de muestreo, tratamiento inconsistente de los extremos o errores en la regla de escape.

El procedimiento numérico fija antes de integrar: región $R$, distribución de condiciones iniciales, salida, tolerancias y tiempo máximo. Luego registra cada $\tau_i$, calcula $S(t)$ sin descartar escapes y ajusta $\log S$ sólo en intervalos con suficientes supervivientes. La estimación se repite al duplicar $N$, refinar el paso y desplazar moderadamente los límites de $R$. La tasa se informa con el intervalo de ajuste y la variación entre repeticiones; una pendiente aislada no establece una ley exponencial.

Cuencas del doble pozo mediante energía

Consideremos

$$\ddot x+c\dot x-x+x^3=0,\qquad c>0.$$

Al definir $v=\dot x$, el sistema de primer orden es

$$\dot x=v,\qquad \dot v=x-x^3-cv.$$

Los equilibrios satisfacen $v=0$ y $x-x^3=0$, de modo que son $(0,0)$ y $(\pm1,0)$. El potencial

$$V(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}$$

tiene un máximo local en $x=0$ y mínimos en $x=\pm1$. La energía mecánica

$$E(x,v)=\frac12v^2+V(x)$$

decrece a lo largo de las soluciones:

$$\dot E =v\dot v+V'(x)\dot x =v(x-x^3-cv)+(-x+x^3)v =-cv^2\leq0.$$

Así, $(\pm1,0)$ son atractores y $(0,0)$ es una silla. La linealización en el origen,

$$J(0,0)= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&-c \end{pmatrix},$$

tiene determinante $-1$, por lo que sus autovalores tienen signos opuestos. La variedad estable de la silla forma la separatriz entre los estados que terminan en cada pozo. En este ejemplo autónomo y bidimensional, la frontera es una curva suave organizada por esa variedad; un dibujo irregular debido a baja resolución no la vuelve fractal.

La separatriz también explica por qué una clasificación puramente energética puede ser incompleta. En el sistema sin amortiguamiento, el nivel de energía que pasa por la silla organiza órbitas homoclínicas. Cuando $c>0$, la energía disminuye y dos estados con la misma energía inicial pueden perderla a ritmos distintos, según su velocidad durante el recorrido. La decisión entre pozos no se reduce entonces al signo de $x_0$ ni a comparar $E(x_0,v_0)$ con una sola cota; depende de qué lado de la variedad estable se encuentra el estado. La geometría del plano de fases permite reconocer esta frontera antes de colorear una malla Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 6: sillas, separatrices y sistemas biestables .

Una verificación directa consiste en elegir dos condiciones próximas a lados opuestos de la curva, integrar ambas y dibujar su energía junto con el retrato de fase. Durante un intervalo pueden avanzar casi juntas hacia la silla; luego se separan y alcanzan mínimos distintos. Repetir el par con paso menor permite comprobar que el cambio de destino no fue creado por cruzar numéricamente la separatriz. Cuanto más cerca se elijan los inicios, mayor puede ser el tiempo de decisión, porque la dinámica se ralentiza en la vecindad de la silla.

La figura también aclara una distinción frecuente. Un retrato de fase dibuja trayectorias en el plano $(x,v)$; un mapa de cuencas usa ese mismo plano como dominio de condiciones iniciales y asigna un color a cada una. Los segmentos de una trayectoria no se interpretan como píxeles vecinos de la cuenca.

Separatrices suaves y fronteras fractales

En sistemas forzados o de mayor dimensión, las variedades estables e inestables de objetos silla pueden intersectarse y plegarse repetidamente. Esa geometría estira la frontera, la devuelve a la región y crea detalle en muchas escalas. Una sección del espacio de fases puede entonces mostrar lenguas entrelazadas. Tél y Gruiz utilizan el péndulo magnético para conectar múltiples destinos con fronteras complejas Tél, 2006 Tamás Tél y Márton Gruiz (2006) Chaotic Dynamics: An Introduction Based on Classical Mechanics Cambridge University Press Ubicación consultada: §1.2.2 y láminas III–VII .

No todas las fronteras complejas tienen la misma organización:

• Una frontera puede ser fractal entre dos cuencas.
• En una frontera de Wada, cada punto fronterizo común toca tres o más cuencas.
• En una cuenca entremezclada, cualquier vecindad de un punto de una cuenca contiene una fracción positiva de otra bajo condiciones más fuertes.

Estas propiedades no se certifican mirando una paleta de colores. Wada requiere un análisis que compare las fronteras de todos los destinos; el entremezclamiento exige una definición de medida. En un curso inicial se presentan como posibilidades y se limita la conclusión a la evidencia obtenida.

La dimensión de caja de una frontera puede estimarse contando cajas que intersectan más de una clase. Si $N_b(\varepsilon)$ es ese número,

$$N_b(\varepsilon)\sim\varepsilon^{-D_b}$$

en una ventana de escalas. Una frontera suave en un plano tiene dimensión uno; una frontera fractal puede tener $1<D_b<2$. La estimación exige varias resoluciones, un intervalo de escala y control del error de clasificación.

Incertidumbre a una escala dada

Otra medida pregunta qué fracción de condiciones cambia de destino bajo una perturbación de tamaño $\varepsilon$. Se eligen puntos $\mathbf{x}_0$, se comparan con $\mathbf{x}_0+\varepsilon\mathbf{u}$ y se define

$$f(\varepsilon)= \frac{\text{pares con clases distintas}} {\text{pares clasificados}}.$$

Para algunas fronteras se observa

$$f(\varepsilon)\sim\varepsilon^\alpha.$$

En una sección de dimensión $d$, la relación heurística $\alpha=d-D_b$ conecta el exponente de incertidumbre con la dimensión de la frontera bajo supuestos adecuados. Si $\alpha$ es pequeño, mejorar mucho la precisión inicial reduce lentamente la fracción de destinos inciertos.

El denominador debe excluir o tratar por separado los estados no resueltos. Si se asignan arbitrariamente a un atractor, la fracción queda sesgada. También se varían dirección de perturbación, muestra y horizonte. Una pendiente obtenida con dos valores de $\varepsilon$ no establece una ley de escala.

Clasificación numérica de una malla

Una clasificación numérica necesita reglas exhaustivas. Para cada condición inicial se integra hasta $T_{\max}$ y se asigna una de las clases:

1. Atractor $A_j$: la trayectoria entra en una vecindad definida y permanece durante un tiempo de confirmación.
2. Escape: una norma o coordenada cruza un umbral justificado.
3. No resuelto: no cumple ningún criterio antes de $T_{\max}$.
4. Fallo numérico: aparecen valores no finitos o el integrador no satisface el control especificado.

La clase “no resuelto” no es un defecto gráfico; impide que un transitorio largo se convierta silenciosamente en un destino falso. El tiempo de confirmación evita clasificar una visita pasajera como convergencia.

Para un equilibrio $\mathbf{x}^*$, un criterio puede combinar distancia $\|\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*\|<\delta$ con velocidad $\|\mathbf{f}(\mathbf{x}(t))\|<\eta$. Para un ciclo se necesita distancia a la órbita o convergencia de cruces de una sección. Para un atractor caótico no basta una bola alrededor de un punto; pueden usarse regiones absorbentes y estadísticas, con mayor cautela.

Controles independientes de resolución

El primer mapa se calcula en una malla modesta, por ejemplo $120\times120$, para depurar ecuaciones y clases. Después se realizan tres familias de controles:

• Resolución espacial: $120^2$, $240^2$ y $480^2$ puntos con el mismo dominio, horizonte y clasificador.
• Horizonte: $T$, $2T$ y $4T$ con la misma malla.
• Integración: al menos dos pasos o tolerancias con la misma malla y horizonte.

Si el borde se desplaza al aumentar $T$, el mapa anterior estaba dominado por transitorios. Si aparecen islotes al refinar la malla pero su posición se mantiene, puede existir estructura fina. Si cambian de manera errática al reducir el paso, se investiga error numérico. La comparación se cuantifica con la fracción de píxeles que cambian de clase en puntos comunes, no solo con una impresión visual.

En una sección bidimensional de un sistema tridimensional, por ejemplo $z_0=1$, el resultado describe únicamente esa sección. No representa toda la cuenca tridimensional. Variar $z_0$ o construir varias secciones muestra cuánto depende la geometría de la superficie elegida.

Clasificación de dos destinos en Lorenz

Para $\rho$ por encima de uno y por debajo del régimen caótico clásico, los equilibrios $C_\pm$ pueden ser estables en un intervalo de parámetros. Elige un valor después de verificar sus autovalores. Fija $z_0=1$ y muestrea $(x_0,y_0)$ en un rectángulo que contenga ambas regiones. Usa RK4 con $h=0.01$, pero repite con $h=0.005$.

La clasificación exige proximidad a $C_+$ o $C_-$ y velocidad pequeña durante un intervalo de confirmación. Integra primero hasta $T=60$ y luego hasta $T=120$. Mantén como colores separados $C_+$, $C_-$, escape, no resuelto y fallo. Sobre el mapa, selecciona pares de puntos a ambos lados de una frontera y dibuja sus trayectorias para verificar que el color corresponde al destino.

La superposición de los equilibrios orienta la figura, pero no reemplaza la clasificación. Una frontera suave puede curvarse mucho; la ampliación y el conteo multiescala deciden si hay soporte para hablar de fractalidad.

Ejercicios de clasificación e incertidumbre de cuencas

1. Deriva $\dot E=-cv^2$ para el doble pozo y clasifica sus tres equilibrios.
2. Explica por qué la variedad estable de la silla separa las dos cuencas en ese modelo.
3. Diseña un clasificador que no confunda una visita pasajera con convergencia.
4. Distingue con un ejemplo sensibilidad dentro de una cuenca y sensibilidad del destino.
5. Propón una tabla de convergencia que varíe por separado malla, horizonte y paso.
6. Redacta qué evidencia adicional necesitarías antes de llamar fractal o Wada a una frontera pixelada.

Una imagen de cuencas es académicamente útil cuando permite reconstruir cada color: ecuación, sección, condición inicial, integrador, horizonte, regla de destino y estado de los puntos que todavía no pueden clasificarse.