Reconstrucción de estados, embedología y datos sustitutos

El estado oculto detrás de una sola señal

Un sistema evoluciona en un estado $x(t)\in M$, pero un experimento suele registrar una sola observación

$$s(t)=h(x(t)).$$

El voltaje medido no contiene explícitamente todas las corrientes y cargas; una coordenada de posición no muestra la velocidad; una intensidad óptica puede mezclar varias variables. Una gráfica de $s(t)$ superpone estados distintos que producen el mismo valor instantáneo. La reconstrucción por retardos intenta recuperar geometría usando la historia reciente:

$$\mathbf y_n= \bigl(s_n,s_{n-\tau},s_{n-2\tau},\ldots,s_{n-(m-1)\tau}\bigr).$$

Aquí $\tau$ se expresa en muestras y $m$ es la dimensión de reconstrucción. El vector no inventa variables físicas; construye coordenadas observacionales. Si la aplicación de retardos es una inmersión, preserva localmente la geometría del conjunto y evita identificar estados diferentes.

La familia de resultados iniciada por Takens garantiza, bajo suavidad y genericidad, que una variedad compacta de dimensión $d$ puede reconstruirse con $m\ge2d+1$ coordenadas de retardo para observaciones genéricas. La extensión conocida como embedología reemplaza en ciertos contextos la dimensión de variedad por dimensiones fractales y exige, de forma esquemática, $m>2d_B$ junto con condiciones sobre órbitas periódicas. Son teoremas de existencia, no recetas que entreguen $m$ y $\tau$ a partir de un registro corto.

Alligood, Sauer y Yorke relacionan la reconstrucción desde series con los teoremas de inmersión y las estimaciones computacionales Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: cap. 13 . La palabra “genérico” importa: un observable constante, una simetría que identifique estados o un muestreo sincronizado con el periodo pueden destruir la reconstrucción.

Ejemplo trabajado: reconstruir un oscilador armónico

Sea

$$s(t)=\cos t.$$

Con dos coordenadas y retardo $\tau=\pi/2$,

$$\mathbf y(t) =\bigl(\cos t,\cos(t-\pi/2)\bigr) =\bigl(\cos t,\sin t\bigr).$$

La reconstrucción es el círculo unitario y distingue la fase salvo la identificación periódica natural. La velocidad se recupera indirectamente mediante la segunda coordenada.

Si se elige un retardo demasiado pequeño, $\tau=\varepsilon$,

$$\cos(t-\varepsilon) \approx\cos t+\varepsilon\sin t,$$

y los puntos quedan cerca de la diagonal. La inmersión puede existir matemáticamente, pero queda mal condicionada frente a ruido y resolución. Si se elige $\tau=\pi$,

$$\mathbf y(t)=(\cos t,-\cos t),$$

la trayectoria colapsa sobre una recta y estados con fases opuestas se superponen. Un retraso “grande” no es automáticamente más informativo.

Con muestreo $\Delta t=0.1$, el retardo cercano a $\pi/2$ corresponde a 16 muestras. Usar 15 o 16 cambia ligeramente la elipse, no su topología. Este cálculo permite comprobar una implementación: si el código no produce una curva cerrada o invierte mal el orden temporal, no debe aplicarse todavía a datos caóticos.

Elección del retardo

El retardo debe equilibrar redundancia e irrelevancia. Con $\tau$ pequeño, las coordenadas son casi iguales; con $\tau$ muy grande, pueden comportarse como muestras poco relacionadas y plegar la reconstrucción debido a la longitud finita.

Dos criterios comunes son:

• el primer cruce por cero o el tiempo característico de la autocorrelación;
• el primer mínimo de la información mutua promedio.

La autocorrelación detecta dependencia lineal. La información mutua puede captar dependencia no lineal, pero su estimación depende de cajas, vecinos o núcleos. Ningún primer mínimo es obligatorio: puede no existir, moverse al cambiar el estimador o deberse a estacionalidad.

Un procedimiento robusto calcula ambos criterios, examina una banda de retardos y evalúa una tarea posterior: continuidad de vecinos, error de predicción o estabilidad de recurrencias. Se informa $\tau$ en muestras y en tiempo físico. Si el registro es irregular, no se aplican índices como si el muestreo fuera uniforme; se justifica interpolación o se usa un método que conserve los tiempos reales.

Dimensión de reconstrucción y vecinos falsos

Si $m$ es insuficiente, la proyección superpone partes del atractor y crea vecinos que no son cercanos en el estado real. El método de falsos vecinos próximos compara la distancia en dimensión $m$ con la nueva separación al añadir una coordenada:

$$R_i^{(m)}= \|\mathbf y_i^{(m)}-\mathbf y_{j(i)}^{(m)}\|,$$ $$\Delta_i= |s_{i-m\tau}-s_{j(i)-m\tau}|.$$

Un vecino se marca como falso si $\Delta_i/R_i^{(m)}$ supera un umbral o si la distancia total normalizada es demasiado grande. Al crecer $m$, la fracción debería caer y estabilizarse. Sin embargo, ruido observacional hace crecer distancias en cada coordenada y puede impedir una meseta clara.

Debe aplicarse una ventana de Theiler: se excluyen vecinos con $|i-j|\le W$ para no seleccionar puntos adyacentes de la misma trayectoria, que son cercanos por continuidad temporal y no por retorno geométrico. Elegir $W$ requiere una escala, como un periodo medio o tiempo de decorrelación. Hilborn conecta reconstrucción, dimensión y predicción, y enfatiza que longitud, ruido y muestreo limitan los invariantes recuperables Hilborn, 2000 Robert C. Hilborn (2000) Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers 2.ª ed. · Oxford University Press Ubicación consultada: caps. 9 y 10 Abrir fuente .

La dimensión de reconstrucción no es la dimensión del atractor. Es el número de coordenadas usado para desplegarlo. Una curva tiene dimensión geométrica uno, pero el teorema genérico puede requerir más coordenadas para evitar autointersecciones bajo observaciones arbitrarias.

Predicción local como prueba de utilidad

Una reconstrucción debe servir para una tarea verificable. En predicción local, para cada vector $\mathbf y_i$ se buscan vecinos temporales no triviales y se promedian sus futuros:

$$\widehat{s}_{i+L} =\frac{\sum_{j\in\mathcal N_i}w_{ij}s_{j+L}} {\sum_{j\in\mathcal N_i}w_{ij}}.$$

El error se evalúa en un bloque de prueba posterior que no participó en la selección de $m$, $\tau$, número de vecinos ni pesos. Se compara con referencias simples: persistencia, media, modelo autorregresivo y predicción estacional. Un error menor a corto plazo indica estructura aprovechable; no prueba determinismo ni caos.

La separación entre entrenamiento y prueba debe respetar el tiempo. Mezclar aleatoriamente vectores solapados filtra información del futuro: dos vectores vecinos pueden compartir casi todas sus muestras. Se usan bloques y una separación mayor que la ventana de retardo total $(m-1)\tau$.

Datos sustitutos y una hipótesis nula concreta

Una serie con espectro ancho, dimensión aparente baja o predicción local moderada también puede provenir de un proceso estocástico lineal filtrado. Los datos sustitutos permiten formular una prueba. Se elige una hipótesis nula, se generan series que conservan las propiedades implicadas por ella y se compara un estadístico sensible a la alternativa.

Ejemplos de nulas diferentes son:

1. muestras independientes con la misma distribución: se permuta el orden;
2. proceso lineal gaussiano estacionario con el mismo espectro: se aleatorizan fases de Fourier;
3. transformación monótona de un proceso lineal gaussiano: se usan sustitutos AAFT o IAAFT para aproximar espectro y distribución de amplitudes.

No se elige el sustituto después de ver qué prueba rechaza. Tampoco se usa como estadístico la misma propiedad preservada: comparar espectros contra sustitutos que conservan el espectro no aporta separación. Son candidatos el error de predicción no lineal, asimetría temporal, entropía de permutación o una medida de recurrencia.

En una prueba de rango con $M$ sustitutos y una alternativa unilateral, el menor nivel alcanzable es

$$p_{\min}=\frac1{M+1}.$$

Para aspirar a $p\le0.05$ se necesitan al menos 19 sustitutos. Con 99 se alcanza resolución $0.01$. Si se ensayan veinte estadísticos y solo se informa el mejor, ese nivel deja de ser válido sin corrección por selección múltiple.

Rechazar la nula lineal no demuestra caos determinista. Puede reflejar no estacionariedad, ruido no lineal, valores atípicos, cuantización o un mecanismo determinista regular. El resultado correcto es: “el estadístico observado es incompatible con esta hipótesis nula bajo este protocolo”.

Protocolo integral para datos reales

1. Audita tiempos, faltantes, saturación, resolución y cambios de régimen antes de reconstruir.
2. Separa bloques de ajuste y prueba; evita solapamiento que filtre el futuro.
3. Explora una banda de retardos con autocorrelación, información mutua y desempeño posterior.
4. Estima falsos vecinos con ventana de Theiler y varios umbrales.
5. Comprueba estabilidad de recurrencias, dimensión y predicción frente a $m$, $\tau$ y longitud.
6. Formula una nula antes de generar sustitutos y fija un estadístico principal.
7. Conserva semillas, algoritmo, número de sustitutos y regla de rango.
8. Redacta por separado evidencia de no linealidad, baja dimensionalidad y caos.

Datseris y Parlitz integran la reconstrucción con herramientas computacionales modernas y muestran que la selección de parámetros debe evaluarse por su efecto en el diagnóstico Datseris, 2022 George Datseris y Ulrich Parlitz (2022) Nonlinear Dynamics: A Concise Introduction Interlaced with Code Springer Nature Switzerland Ubicación consultada: capítulos sobre análisis de datos y reconstrucción Abrir fuente .

Ejercicios de reconstrucción y sustitutos

1. Reconstruye $s(t)=\cos t$ con retardos $0.05$, $\pi/4$, $\pi/2$ y $\pi$. Deriva la forma geométrica en cada caso y relaciona el condicionamiento con ruido añadido.
2. Muestrea un oscilador con $\Delta t=0.1$ y calcula qué índices aproximan $\tau=\pi/2$. Compara 15 y 16 muestras mediante error de predicción.
3. Implementa falsos vecinos para Lorenz. Repite con ventanas de Theiler $W=0,10,50$ y explica por qué $W=0$ subestima el problema de proyección.
4. Divide una serie en bloques temporales de ajuste y prueba. Compara predicción local con persistencia y un modelo autorregresivo para varios horizontes.
5. Genera ruido blanco, ruido lineal coloreado y una señal caótica. Compara autocorrelación, información mutua y recurrencias sin usar un solo indicador como veredicto.
6. Construye 19 y 99 sustitutos de fase. Calcula la resolución mínima del valor $p$ y explica cómo cambia una prueba bilateral.
7. Formula una hipótesis nula para sustitutos IAAFT y elige un estadístico que no esté preservado por construcción. Escribe de antemano la regla de rechazo.
8. Diseña un contraejemplo en el que se rechace una nula lineal por no estacionariedad, no por caos. Propón una prueba de segmentación que detecte el problema.