Dinámica simbólica, particiones de Markov y entropía

Sustituir coordenadas por itinerarios

Una órbita numérica contiene coordenadas con muchos decimales. La dinámica simbólica conserva otra información: el orden en que la órbita visita regiones previamente definidas. Sea $F:X\to X$ un mapa y sea

$$\mathcal P=\{P_0,P_1,\ldots,P_{k-1}\}$$

una partición del dominio relevante. A un punto $x$ se le asigna el itinerario

$$s(x)=s_0s_1s_2\ldots, \qquad s_n=j \quad\text{si}\quad F^n(x)\in P_j.$$

El desplazamiento a la izquierda,

$$\sigma(s_0s_1s_2\ldots)=s_1s_2s_3\ldots,$$

representa una iteración de $F$. Si la codificación está bien construida, se cumple $s(F(x))=\sigma(s(x))$. Esta identidad es una semiconjugación: la descripción simbólica reproduce la evolución, aunque distintos puntos pueden compartir un itinerario, sobre todo en fronteras de la partición. Una conjugación exige además correspondencia uno a uno y continuidad en ambas direcciones.

No cualquier división coloreada produce un modelo simbólico útil. Si una frontera atraviesa repetidamente las órbitas o si el siguiente símbolo depende de una historia arbitrariamente larga, la secuencia pierde la propiedad de memoria finita. Devaney presenta el desplazamiento como un sistema dinámico por derecho propio y usa conjugaciones para transferir propiedades como periodicidad y sensibilidad Devaney, 2022 Robert L. Devaney (2022) An Introduction to Chaotic Dynamical Systems 3.ª ed. · CRC Press Ubicación consultada: caps. 1–3 .

Ejemplo trabajado: el mapa tienda

Considérese el mapa tienda completo

$$T(x)= \begin{cases} 2x, & 0\le x\le \tfrac12,\\ 2(1-x), & \tfrac12<x\le1. \end{cases}$$

Dividimos $[0,1]$ en $P_0=[0,1/2]$ y $P_1=(1/2,1]$. Cada rama cubre todo el intervalo: $T(P_0)=T(P_1)=[0,1]$. Por ello, después de cualquiera de los símbolos pueden aparecer $0$ o $1$. Hay $2^n$ palabras admisibles de longitud $n$, salvo las convenciones duplicadas en preimágenes de la frontera.

Calculemos un itinerario. Con $x_0=0.2$,

$$x_1=0.4, \quad x_2=0.8, \quad x_3=0.4, \quad x_4=0.8, \ldots$$

y la secuencia es $00101010\ldots$. Después de dos iteraciones entra en un ciclo de periodo dos. En cambio, especificar una palabra finita permite localizar un intervalo de condiciones iniciales. Para la palabra $010$, exigimos

$$x\in P_0,\qquad T(x)\in P_1,\qquad T^2(x)\in P_0.$$

La primera condición da $x\in[0,1/2]$. En esa rama $T(x)=2x$, por lo que la segunda exige $x\in(1/4,1/2]$. Allí $T(x)>1/2$ y

$$T^2(x)=2(1-2x)=2-4x.$$

Pedir $0\le2-4x\le1/2$ produce $3/8\le x\le1/2$. Al resolver cada condición en orden, la palabra queda asociada con un intervalo de longitud $2^{-3}$, salvo extremos compartidos. Una gráfica de telaraña enseña las coordenadas; el itinerario enseña la combinatoria de las ramas.

Matrices de transición y palabras admisibles

Cuando no todas las transiciones son posibles, se usa una matriz $A$ de ceros y unos:

$$A_{ij}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{se permite pasar de }P_i\text{ a }P_j.$$

El espacio simbólico asociado contiene las secuencias para las que $A_{s_n,s_{n+1}}=1$ en todo $n$. Se llama subdesplazamiento de tipo finito. El número de caminos de longitud $n$ se obtiene sumando las entradas de $A^n$; la entrada $(A^n)_{ij}$ cuenta caminos de $i$ a $j$ con $n$ transiciones. La traza $\operatorname{tr}(A^n)$ cuenta caminos cerrados con un origen marcado y se relaciona con puntos periódicos simbólicos.

Tomemos la regla en la que nunca aparecen dos unos consecutivos:

$$A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}.$$

Desde $0$ puede seguir $0$ o $1$; desde $1$ solo puede seguir $0$. Para longitud uno hay dos palabras. Para longitud dos son $00,01,10$; para longitud tres, $000,001,010,100,101$. Los conteos siguen la recurrencia de Fibonacci. El polinomio característico es

$$\lambda^2-\lambda-1=0,$$

y el radio espectral es la razón áurea $\varphi=(1+\sqrt5)/2$. Así, el número de palabras crece aproximadamente como $C\varphi^n$, menor que las $2^n$ palabras del desplazamiento completo.

Alligood, Sauer y Yorke conectan las bandas de una herradura con secuencias permitidas y muestran cómo el conteo simbólico traduce geometría en combinatoria Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: caps. 5 y 7 . La matriz no debe inferirse solo porque dos colores aparecen consecutivamente en una órbita corta. Hay que verificar imágenes de regiones: $F(P_i)\cap P_j\ne\varnothing$, controlar fronteras y comprobar que las transiciones puedan concatenarse dentro del conjunto invariante.

Particiones de Markov

En un sistema hiperbólico, una partición de Markov alinea las fronteras de sus rectángulos con direcciones estables e inestables. La imagen de una franja estable atraviesa los rectángulos permitidos de forma compatible, y la preimagen hace lo correspondiente con las franjas inestables. Esta propiedad permite determinar itinerarios mediante transiciones locales y reconstruir puntos a partir de secuencias, excepto ambigüedades de frontera.

La palabra “rectángulo” es dinámica, no necesariamente euclidiana: significa que, dados dos puntos cercanos del conjunto, la intersección entre la hoja estable de uno y la inestable del otro permanece en la pieza. En una herradura ideal las dos tiras forman una partición evidente. En datos o en un atractor curvo, dibujar cajas uniformes rara vez produce una partición de Markov exacta.

Un procedimiento numérico razonable comienza con una sección de Poincaré o un mapa conocido, aproxima variedades, propone fronteras siguiendo esas curvas y construye la tabla de intersecciones. Después prueba palabras: para cada secuencia permitida de longitud $n$, busca una condición inicial que la realice y refina la malla. Las palabras espurias indican una transición demasiado permisiva; las palabras observadas pero prohibidas indican una frontera o una tabla incorrecta. El resultado sigue siendo aproximado hasta disponer de cotas geométricas.

Entropía topológica

La entropía topológica mide la tasa exponencial con la que crece el número de historias orbitales distinguibles al aumentar el tiempo y refinar la resolución. Para un subdesplazamiento de tipo finito con matriz irreducible $A$,

$$h_{\mathrm{top}}=\log\rho(A),$$

donde $\rho(A)$ es el radio espectral. En el desplazamiento completo con $k$ símbolos, $\rho(A)=k$ y $h_{\mathrm{top}}=\log k$. En el ejemplo sin unos consecutivos,

$$h_{\mathrm{top}}=\log\varphi\approx0.4812,$$

mientras que el desplazamiento binario completo tiene $\log2\approx0.6931$. La diferencia cuantifica una restricción combinatoria: ambos sistemas usan dos símbolos, pero el segundo admite más historias.

La base del logaritmo fija la unidad. Con logaritmo natural se obtienen nats por iteración; con base dos, bits por iteración. También importa la escala temporal. Si $F$ es un mapa de retorno cuyo retorno medio dura $\bar T$, dividir informalmente por $\bar T$ solo produce una tasa física aproximada cuando la variabilidad de retornos está controlada.

Ott distingue la entropía topológica, que considera todas las órbitas distinguibles, de las entropías dependientes de una medida, que ponderan lo que una órbita típica visita Ott, 2002 Edward Ott (2002) Chaos in Dynamical Systems 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: cap. 4 . Contar cajas ocupadas en una serie finita no entrega automáticamente ninguna de las dos. Una estimación debe declarar partición, longitud de palabras, corrección por muestreo y región donde el crecimiento parece exponencial.

Procedimiento de verificación

Para pasar de una trayectoria a un modelo simbólico se propone la siguiente secuencia:

1. Define las piezas $P_i$ mediante fronteras reproducibles, no a ojo después de observar la respuesta.
2. Decide cómo clasificar puntos en las fronteras y registra los casos ambiguos.
3. Calcula imágenes y preimágenes de cada pieza para proponer la matriz $A$.
4. Enumera todas las palabras admitidas de longitudes pequeñas y busca realizaciones dinámicas.
5. Compara conteos observados con $\sum_{ij}(A^{n-1})_{ij}$ sin confundir ausencia en una muestra con prohibición matemática.
6. Estima $\rho(A)$ y documenta la base del logaritmo y la unidad temporal.

Una matriz estable al refinar la partición es evidencia más sólida que una secuencia larga. Aun así, afirmar conjugación requiere justificar unicidad de la codificación y continuidad. Si solo se verifica que todo itinerario dinámico respeta la matriz, la conclusión adecuada es una codificación o semiconjugación candidata.

Ejercicios de codificación y entropía

1. Para el mapa tienda, determina los intervalos de condiciones iniciales asociados con $000$, $011$ y $1011$. Verifica una condición de cada intervalo por iteración directa y trata por separado los extremos.
2. Construye todas las palabras de longitud hasta seis que no contengan $11$. Comprueba la recurrencia de Fibonacci y compárala con las potencias de la matriz $A$.
3. Considera $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}$. Dibuja su grafo, enumera los ciclos de longitud tres y calcula numéricamente $\log\rho(A)$.
4. Codifica una órbita logística usando la frontera $x=1/2$. Repite desplazando la frontera a $0.49$ y $0.51$. Mide cuántos símbolos cambian y explica por qué esa sensibilidad no prueba por sí sola una partición de Markov.
5. A partir de la animación de herradura, propón dos piezas y una matriz de transición. Enumera qué propiedades geométricas no pueden verificarse solo con la animación.
6. Compara $h_{\mathrm{top}}$ en nats y bits para el desplazamiento completo de dos y tres símbolos. Interpreta la razón entre los números de palabras después de diez iteraciones.
7. Diseña una prueba que intente refutar una matriz simbólica propuesta: incluye palabras prohibidas, refinamiento de fronteras, múltiples condiciones iniciales y un criterio para registrar ambigüedades.
8. Explica con un contraejemplo conceptual por qué observar todos los pares $ij$ permitidos no garantiza que toda palabra larga formada con esos pares sea realizable en el sistema original.