Medidas invariantes, medidas naturales y ergodicidad

La distribución de visitas también es dinámica

Una figura de un atractor muestra dónde pasó una órbita, pero no necesariamente con qué frecuencia visita cada región. Dos conjuntos pueden tener la misma forma geométrica y distribuciones de visita distintas. Para formular esta información se usa una medida de probabilidad $\mu$. Si $A$ es una región medible, $\mu(A)$ representa su peso, no su área gráfica.

La medida es invariante bajo un mapa $F$ cuando

$$\mu(F^{-1}(A))=\mu(A)$$

para toda región medible $A$. Se usa la preimagen porque todos los puntos que llegan a $A$ después de una iteración deben aportar al peso nuevo. En términos de observables $g$, la misma propiedad se escribe

$$\int g\circ F\,d\mu=\int g\,d\mu.$$

Invariante no significa atractora ni físicamente observable. La masa puntual $\delta_p$ concentrada en cualquier punto fijo $p$ es invariante, incluso si el punto es repelente y una condición inicial elegida al azar nunca converge a él. Un ciclo de periodo $q$ también sostiene la medida uniforme

$$\mu=\frac1q\sum_{j=0}^{q-1}\delta_{F^j(p)}.$$

Por eso un sistema puede admitir muchas medidas invariantes. La pregunta física es cuál aparece al evolucionar un conjunto de condiciones iniciales de volumen positivo.

Ott distingue las medidas invariantes abstractas de las medidas naturales observadas mediante promedios de órbitas típicas Ott, 2002 Edward Ott (2002) Chaos in Dynamical Systems 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 4 y 9 . Esta separación evita llamar “probabilidad del atractor” a cualquier histograma producido por una sola simulación.

Medida natural y cuenca estadística

Una medida natural $\mu$ describe los promedios temporales de un conjunto de condiciones iniciales con volumen positivo. Para una clase adecuada de observables $g$,

$$\lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}g(F^n(x_0)) =\int g\,d\mu$$

para condiciones iniciales $x_0$ típicas en su cuenca. La cuenca estadística no exige que cada punto converja geométricamente a un único estado; exige que sus frecuencias de visita produzcan los mismos promedios.

En sistemas disipativos suaves se habla a menudo de medidas físicas o de Sinai–Ruelle–Bowen. En un curso computacional conviene no intercambiar estas expresiones sin hipótesis: la definición precisa depende del contexto, de la regularidad y de la estructura hiperbólica. La evidencia finita más directa consiste en comparar promedios desde muchos inicios distribuidos con una densidad suave, descartar transitorios y comprobar estabilidad frente a mayor longitud y mejor resolución.

Ejemplo trabajado: densidad exacta del mapa logístico

Para

$$F(x)=4x(1-x),\qquad 0<x<1,$$

existe la densidad invariante

$$\rho(x)=\frac{1}{\pi\sqrt{x(1-x)}}.$$

No es uniforme: diverge de forma integrable cerca de $0$ y $1$, de modo que una órbita típica visita con mayor frecuencia los extremos. La normalización se verifica mediante $x=\sin^2\theta$, con $0<\theta<\pi/2$:

$$dx=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{x(1-x)}=\sin\theta\cos\theta,$$

y por tanto

$$\int_0^1\rho(x)\,dx =\frac2\pi\int_0^{\pi/2}d\theta=1.$$

La función de distribución es

$$P(X\le a)=\frac2\pi\arcsin\sqrt a.$$

En particular,

$$P\left(X\le\frac14\right) =\frac2\pi\arcsin\frac12 =\frac13.$$

Aunque el intervalo $[0,1/4]$ ocupa solo una cuarta parte del dominio, recibe un tercio de la masa invariante. Por simetría, la media es $E[X]=1/2$. El segundo momento se calcula con la misma sustitución:

$$E[X^2] =\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\,d\theta =\frac38,$$

así que $\operatorname{Var}(X)=3/8-1/4=1/8$.

La densidad también se obtiene del operador de Perron–Frobenius. Para un mapa con ramas inversas $y_i(x)$,

$$(\mathcal L\rho)(x) =\sum_{y_i:F(y_i)=x}\frac{\rho(y_i)}{|F'(y_i)|}.$$

En el mapa logístico hay dos preimágenes

$$y_\pm(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-x}}2,$$

y ambas contribuyen. Sustituir $\rho$ muestra que $\mathcal L\rho=\rho$. Esta ecuación expresa conservación de probabilidad: una rama puede expandir longitudes y reducir densidad, pero las contribuciones de todas las preimágenes recuperan el peso total.

Ergodicidad: promedios y conjuntos invariantes

Una medida invariante $\mu$ es ergódica si todo conjunto invariante tiene medida cero o uno. En términos operativos, no puede descomponerse en dos componentes invariantes de peso positivo que una órbita nunca intercambia. Bajo las hipótesis del teorema ergódico de Birkhoff, el promedio temporal de un observable integrable converge casi en todas partes. Si la medida es ergódica, el límite coincide con el promedio espacial $\int g\,d\mu$.

La frase “promedio temporal igual a promedio de ensamble” necesita esas condiciones. Considérese un mapa con dos atractores fijos estables. La combinación

$$\mu=\tfrac12\delta_{p_1}+\tfrac12\delta_{p_2}$$

es invariante, pero no ergódica: una trayectoria que llega a $p_1$ nunca muestrea $p_2$. Su promedio temporal de la coordenada es $p_1$, no $(p_1+p_2)/2$. La discrepancia no es error numérico; revela la descomposición en componentes.

Para evaluar ergodicidad de forma empírica, se eligen varios observables, no solo la media. Pueden usarse $x$, $x^2$, indicadores de cajas y tiempos de retorno. Se calculan promedios desde muchos inicios, con iguales transitorios y longitudes. Si se forman grupos persistentes, hay evidencia contra una única componente ergódica. Si los valores convergen, el resultado es compatible con ergodicidad para esos observables y escalas, pero no constituye una demostración general.

Tél y Gruiz relacionan distribuciones naturales con ensambles físicos y destacan que la preparación de las condiciones iniciales forma parte del experimento Tél, 2006 Tamás Tél y Márton Gruiz (2006) Chaotic Dynamics: An Introduction Based on Classical Mechanics Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 4, 5 y 9 . Una muestra sembrada directamente sobre una curva especial puede seleccionar una medida distinta de la observada desde un volumen de estados.

Mezcla y pérdida de memoria

La mezcla es más fuerte que la ergodicidad. Para regiones $A$ y $B$, un sistema mezclante satisface

$$\mu\bigl(F^{-n}(A)\cap B\bigr) \longrightarrow \mu(A)\mu(B).$$

La localización inicial en $B$ pierde influencia sobre la probabilidad de estar en $A$ a tiempos largos. Para observables centrados, esto suele expresarse mediante la correlación

$$C_{fg}(n)= \int f\,(g\circ F^n)\,d\mu -\int f\,d\mu\int g\,d\mu,$$

que tiende a cero. La velocidad puede ser exponencial, algebraica o irregular. Estimar una tasa exige intervalos de confianza, longitud muy superior al tiempo de correlación y control de tendencias.

Una rotación irracional del círculo es un ejemplo importante: es ergódica respecto a la longitud, pero no mezclante. Una órbita distribuye sus visitas uniformemente, aunque las correlaciones de modos de Fourier no decaen como en un sistema mezclante. Por tanto, un histograma uniforme no demuestra mezcla ni caos.

Estimación numérica responsable

Para estimar una medida natural se sigue un protocolo que pueda refutarse:

1. Define la distribución inicial y conserva su semilla aleatoria.
2. Estima el transitorio comparando bloques sucesivos de observables.
3. Calcula histogramas con varias particiones; informa masa por caja, no solo altura sin normalizar.
4. Compara una órbita larga con un ensamble de órbitas y repite desde regiones distintas.
5. Usa observables suaves e indicadores de regiones; una sola media puede ocultar componentes simétricas.
6. Estima incertidumbre por bloques cuya longitud supere el tiempo de correlación.
7. Repite con mayor precisión, más iteraciones y fronteras de cajas desplazadas.

En el ejemplo logístico se pueden conservar $10^6$ iteraciones después de un transitorio de $10^4$, construir histogramas de 50, 100 y 200 cajas y comparar la masa acumulada con $2\arcsin\sqrt a/\pi$. La comparación debe evitar los extremos exactos, donde la densidad diverge aunque la masa de cada caja siga siendo finita. Alligood, Sauer y Yorke usan experimentos de visita y probabilidad para enlazar órbitas con distribuciones sin reducir el análisis a una imagen Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: caps. 4 y 8 .

Ejercicios sobre distribuciones dinámicas

1. Verifica por integración que la densidad logística asigna masa $1/3$ a $[0,1/4]$ y, por simetría, a $[3/4,1]$. Calcula la masa del intervalo central $[1/4,3/4]$.
2. Deriva $E[X]$, $E[X^2]$ y la varianza de la densidad $1/(\pi\sqrt{x(1-x)})$. Compara con estimaciones de una órbita y presenta el error por bloques.
3. Demuestra que la medida uniforme sobre un ciclo de periodo $q$ es invariante. Explica por qué puede ser natural si el ciclo atrae y no serlo si repele.
4. Simula un sistema con dos atractores. Construye una medida invariante como combinación de masas puntuales y muestra con un observable que no es ergódica.
5. Implementa el operador de transferencia del mapa tienda sobre 100 cajas. Itera tres densidades iniciales y mide su distancia a la densidad uniforme.
6. Compara histogramas logísticos con 50, 100 y 200 cajas usando masa y densidad. Explica por qué las alturas cercanas a los extremos crecen al refinar, aunque la probabilidad permanezca normalizada.
7. Estudia una rotación irracional del círculo. Verifica uniformidad de visitas y calcula la autocorrelación de $g(\theta)=\cos(2\pi\theta)$. Usa el resultado para separar ergodicidad de mezcla.
8. Diseña un informe que compare cinco condiciones iniciales, cuatro observables y dos longitudes. Formula una conclusión compatible con ergodicidad que no afirme más de lo que el experimento finito permite.