Caos transitorio, sistemas abiertos y dispersión caótica

Irregularidad antes de un destino simple

No toda trayectoria que parece caótica a tiempo finito pertenece a un atractor caótico. En un sistema abierto puede deambular durante miles de iteraciones cerca de un conjunto invariante inestable y finalmente escapar, caer en un ciclo o abandonar la región experimental. La irregularidad transitoria es dinámicamente real, pero su organizador no atrae asintóticamente un volumen de condiciones iniciales.

Una silla caótica es un conjunto invariante con direcciones estables e inestables. Los puntos exactamente sobre su variedad estable permanecen cerca hacia el futuro; una condición genérica se aproxima durante un tiempo y después sale a lo largo de la variedad inestable. Como la variedad estable suele tener volumen cero, una simulación no llega exactamente al conjunto. Lo revela a través de tiempos de permanencia largos, sensibilidad del destino y patrones filamentosos.

Abrir un sistema significa definir una región $R$ y declarar que una trayectoria escapa cuando cruza un agujero $H$ o abandona $R$. La elección forma parte del modelo. Cambiar la frontera, la energía permitida o el criterio de evento cambia la tasa de escape y, a veces, el conjunto superviviente. Tél y Gruiz desarrollan el caos transitorio como una teoría de conjuntos no atractores, supervivencia y transporte, no como una etiqueta basada en la duración de una serie Tél, 2006 Tamás Tél y Márton Gruiz (2006) Chaotic Dynamics: An Introduction Based on Classical Mechanics Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 3–6 y 8 .

Supervivencia y tasa de escape

Para un ensamble inicial de $N_0$ puntos, sea $N(n)$ el número que aún no ha escapado después de $n$ iteraciones. La supervivencia empírica es

$$S(n)=\frac{N(n)}{N_0}.$$

En un régimen hiperbólico y tras un transitorio de preparación puede aparecer

$$S(n)\sim C e^{-\kappa n},$$

donde $\kappa$ es la tasa de escape por iteración. El tiempo medio de vida es del orden de $1/\kappa$ cuando la ley exponencial domina desde tiempos suficientemente tempranos. Una curva semilogarítmica recta es compatible con esta ley, pero el ajuste debe excluir la fase inicial dependiente del ensamble y la cola donde quedan pocos puntos.

No todos los sistemas presentan una exponencial pura. La pegajosidad cerca de islas regulares puede generar colas algebraicas,

$$S(n)\sim n^{-\gamma}.$$

Un ajuste exponencial a una ventana corta puede ocultar esa transición. Se comparan pendientes locales, residuos y varias décadas de supervivencia; además se repite con mayor ensamble porque la cola contiene las observaciones más escasas.

Ejemplo trabajado: mapa triplicador con agujero central

Considérese

$$F(x)=3x\pmod1, \qquad 0\le x<1,$$

y declaremos escape cuando $x$ entra en el tercio central

$$H=\left[\frac13,\frac23\right).$$

Escribir $x$ en base tres permite leer el destino. La primera iteración escapa si el primer dígito ternario es $1$. Sobrevive si es $0$ o $2$. Sobrevivir $n$ iteraciones exige que los primeros $n$ dígitos pertenezcan a $\{0,2\}$. Para condiciones iniciales uniformes,

$$S(n)=\left(\frac23\right)^n.$$

Por comparación con $e^{-\kappa n}$,

$$\kappa=\log\frac32\approx0.405465.$$

Si se siembran $3^8=6561$ puntos de manera compatible con los cilindros ternarios, el número esperado de supervivientes tras ocho pasos es

$$N(8)=6561\left(\frac23\right)^8=2^8=256.$$

Los puntos que nunca escapan tienen una expansión ternaria formada solo por ceros y doses: constituyen el conjunto de Cantor. Su dimensión es

$$D=\frac{\log2}{\log3}.$$

El mismo cálculo conecta tres cantidades: cada paso conserva dos de tres ramas, la supervivencia disminuye por $2/3$ y el repulsor posee dos copias reducidas por $1/3$. En este modelo el exponente positivo es $\lambda=\log3$, y aparece la relación

$$D=1-\frac{\kappa}{\lambda} =1-\frac{\log(3/2)}{\log3} =\frac{\log2}{\log3}.$$

La relación no debe aplicarse indiscriminadamente a sistemas multidimensionales o no uniformes: allí intervienen exponentes, dimensiones parciales y medidas condicionadas.

Medida condicionalmente invariante

En un sistema abierto, la masa total disminuye. Una medida $\mu_c$ es condicionalmente invariante si, tras aplicar el mapa y renormalizar por la masa superviviente, recupera la misma distribución:

$$\mu_c(F^{-1}(A))=e^{-\kappa}\mu_c(A)$$

para regiones supervivientes apropiadas. El factor $e^{-\kappa}$ representa la fracción que queda en un paso. Esta medida describe dónde se encuentran los puntos condicionados a no haber escapado todavía.

Una estimación por ensamble se realiza así: se propagan muchos puntos, se eliminan los escapados, se normaliza el histograma de los restantes y se repite. Si el histograma condicionado converge antes de que el tamaño de muestra colapse, aproxima la distribución condicional. Para mantener resolución puede usarse un algoritmo de clonación, pero entonces debe documentarse porque introduce dependencia estadística entre copias.

La silla caótica se relaciona con los puntos que sobreviven tanto hacia el futuro como hacia el pasado. La distribución condicionada hacia adelante se concentra de manera distinta de la obtenida al iterar el mapa inverso. Intersectar aproximaciones de ambas estructuras revela el conjunto no atractor. Ott conecta variedades estables e inestables con la geometría fractal de estos conjuntos Ott, 2002 Edward Ott (2002) Chaos in Dynamical Systems 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 3 y 5 .

Fronteras de salida e incertidumbre

Supongamos que hay varias salidas $E_1,E_2,\ldots$. A cada condición inicial se le asigna el primer escape y el tiempo de permanencia. La frontera entre colores aproxima la variedad estable de la silla caótica. Cerca de ella, perturbaciones pequeñas pueden cambiar la salida tras itinerarios muy largos.

Para cuantificar la frontera se toma una línea de condiciones iniciales y se compara el destino de $x$ con el de $x+\varepsilon$. La fracción incierta puede escalar como

$$f(\varepsilon)\sim\varepsilon^\alpha.$$

En una línea, una frontera con dimensión $D_b$ satisface bajo condiciones adecuadas $D_b=1-\alpha$. Si $\alpha$ es pequeño, mejorar mucho la precisión reduce poco la incertidumbre del destino. El ajuste necesita una ventana de escalas: a $\varepsilon$ grande no se resuelve la geometría y a $\varepsilon$ pequeño dominan malla, tolerancia de eventos y tamaño de muestra.

Dispersión caótica

En un problema de dispersión se prepara una partícula lejos de una región de interacción y se mide cómo sale. El parámetro de entrada puede ser un parámetro de impacto $b$ o una fase; las salidas incluyen ángulo de dispersión $\Theta(b)$, tiempo de demora $\tau(b)$ y canal de escape. Si existe una silla caótica, estas funciones presentan picos y discontinuidades en un conjunto fractal.

La singularidad tiene una explicación geométrica. Un valor de $b$ exactamente sobre la intersección con la variedad estable no escapa en el modelo ideal. Valores cercanos permanecen muchas vueltas y después salen por ramas distintas de la variedad inestable. Al ampliar un intervalo aparecen nuevas oscilaciones. La autosimilitud visual apoya la interpretación, pero la cuantificación requiere tiempos de demora, incertidumbre y estabilidad frente a tolerancias.

No se debe confundir dispersión caótica con ruido del detector. Se repite el experimento determinista con pasos menores y mayor precisión, se localizan eventos por interpolación, se comprueban conservación de energía y reversibilidad, y se propaga la incertidumbre de entrada. Si la estructura desaparece al cambiar el integrador, no hay evidencia dinámica suficiente.

Procedimiento para un sistema abierto

1. Define región de interacción, agujeros, salidas y regla de primer cruce.
2. Especifica distribución inicial, energía o superficie de sección y tamaño del ensamble.
3. Registra para cada punto salida, tiempo de escape y cualquier censura por tiempo máximo.
4. Construye $S(t)$ sin eliminar los casos tardíos y muestra el número absoluto de supervivientes.
5. Compara ajustes exponencial y algebraico mediante pendientes locales y residuos.
6. Calcula mapas de salida y fracción incierta en varias escalas.
7. Repite al refinar paso, eventos, malla, ensamble y frontera del dominio.

Alligood, Sauer y Yorke usan la geometría de variedades y cuencas para explicar por qué las fronteras codifican historias orbitales largas Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: caps. 4, 7 y 10 . El informe final debe separar la silla matemática, la aproximación numérica de sus variedades, la distribución finita de escapes y el ajuste estadístico.

Ejercicios sobre escape y dispersión

1. Para el mapa triplicador abierto, deriva $S(n)$, $\kappa$ y la dimensión del conjunto superviviente. Verifica los conteos exactos hasta $n=10$ usando cilindros ternarios.
2. Cambia el agujero al tercio izquierdo. Determina el conjunto que nunca escapa y explica qué cantidades permanecen iguales por simetría.
3. Estima $S(n)$ con condiciones iniciales aleatorias para $N_0=10^3,10^4,10^5$. Grafica intervalos binomiales y determina cuándo la cola deja de ser fiable.
4. Construye una medida condicionada empírica del mapa abierto. Compara histogramas después de 2, 4, 6 y 8 iteraciones y documenta la pérdida de muestra.
5. Diseña un sistema con dos salidas y calcula la fracción incierta para al menos seis valores de $\varepsilon$. Justifica la ventana usada para estimar $\alpha$.
6. Genera una función de tiempo de demora frente a una condición de entrada. Amplía tres intervalos y comprueba si los picos persisten al reducir el paso.
7. Compara una ley exponencial y una algebraica sobre datos sintéticos con cola corta. Explica por qué una recta aparente en una sola representación puede inducir una conclusión falsa.
8. Redacta un protocolo de evento para un flujo de dispersión que incluya dirección del cruce, interpolación, escapes simultáneos, tiempo máximo y verificación de energía.