Mapas iterados: logística, autosimilitud y dinámica compleja

Diferencias entre mapas discretos y flujos continuos

Un mapa discreto prescribe una regla de actualización:

$$x_{n+1}=F(x_n).$$

El índice $n$ cuenta iteraciones, no segundos. Con una condición inicial $x_0$, la regla produce la órbita $\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$. No hay estados intermedios impuestos por el modelo: si se unen dos puntos consecutivos con una línea, esa línea solo guía la vista. Esta diferencia con una ecuación diferencial es pequeña en la notación y decisiva en la interpretación. Un mapa puede ser el modelo original de una población observada una vez por temporada, o puede aparecer como mapa de retorno de un flujo continuo. En ambos casos, el objeto matemático que se analiza es la composición repetida de $F$.

La familia logística

$$F_r(x)=rx(1-x), \qquad 0\leq x\leq 1,$$

combina crecimiento, representado por $rx$, y saturación, introducida por $(1-x)$. Para $0\leq r\leq4$, el intervalo $[0,1]$ es invariante: la parábola es no negativa en ese intervalo y su máximo, $r/4$, no supera uno. Esta propiedad mantiene acotada la órbita, pero no determina si terminará en un punto fijo, un ciclo o una respuesta aperiódica. Alligood, Sauer y Yorke desarrollan esta familia como modelo central para distinguir órbita, estabilidad y dependencia del parámetro Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: cap. 1, esp. §§1.1 y 1.5–1.6 .

Puntos fijos, multiplicadores y ciclos

Un punto fijo $x^*$ satisface $F(x^*)=x^*$. Si se perturba como $x_n=x^*+\eta_n$ y se linealiza,

$$\eta_{n+1}=F'(x^*)\eta_n+O(\eta_n^2).$$

El número $m=F'(x^*)$ es el multiplicador. Cuando $|m|<1$, las perturbaciones pequeñas se contraen; cuando $|m|>1$, crecen. El signo también determina un efecto visible: $m<0$ hace que la aproximación alterne a ambos lados del punto fijo, mientras que $m>0$ conserva el lado durante la aproximación local. En $|m|=1$ la linealización no decide y es necesario examinar términos de orden superior o cambiar el parámetro.

Un ciclo de periodo $p$ está formado por puntos $x_0,\ldots,x_{p-1}$ que se visitan sucesivamente y regresan después de $p$ iteraciones. Es un punto fijo de $F^p$, pero no de ninguna potencia menor. La regla de la cadena da

$$(F^p)'(x_0)=\prod_{j=0}^{p-1}F'(x_j).$$

Por tanto, el ciclo atrae si el valor absoluto de ese producto es menor que uno. No basta con mirar la pendiente en uno de sus puntos: una expansión local puede ser compensada por contracciones durante el resto del recorrido.

La telaraña convierte estas operaciones en geometría. Desde $x_n$ se asciende verticalmente hasta $y=F(x)$ para obtener $F(x_n)$; después se avanza horizontalmente hasta la diagonal $y=x$, que vuelve a colocar ese valor sobre el eje de entrada. Cada pareja de trazos completa una iteración.

Cálculo de la pérdida de estabilidad

Los puntos fijos de la familia logística se obtienen de

$$rx(1-x)=x.$$

Al factorizar,

$$x\,[r(1-x)-1]=0,$$

aparecen $x_0^*=0$ y, para $r\neq0$,

$$x_1^*=1-\frac1r.$$

El segundo pertenece a $(0,1)$ cuando $r>1$. Como $F_r'(x)=r(1-2x)$, el multiplicador en el origen es $r$; por ello el origen atrae para $0<r<1$ y pierde estabilidad en $r=1$. En el segundo punto,

$$F_r'\!\left(1-\frac1r\right)=2-r.$$

La condición $|2-r|<1$ equivale a $1<r<3$. Para $r=2.5$ se tiene $x_1^*=0.6$ y multiplicador $-0.5$: una perturbación cambia de signo y reduce su amplitud aproximadamente a la mitad en cada iteración. En $r=3$ el multiplicador cruza $-1$. El punto fijo deja de atraer y aparece un ciclo estable de periodo dos.

Para encontrar ese ciclo se resuelve $F_r^2(x)=x$ y se eliminan los factores correspondientes a los puntos fijos. Las dos raíces restantes son

$$x_{\pm}=\frac{r+1\pm\sqrt{(r-3)(r+1)}}{2r},$$

reales cuando $r\geq3$. Su multiplicador conjunto es

$$F_r'(x_+)F_r'(x_-)=4+2r-r^2.$$

El ciclo atrae cuando $|4+2r-r^2|<1$. El extremo superior se alcanza en $r=1+\sqrt6\approx3.44949$, donde el multiplicador vale $-1$ y aparece un ciclo de periodo cuatro. Esta derivación enlaza las ramas de un diagrama con un criterio algebraico; la nube de puntos no sustituye el cálculo.

Cascada de duplicación de periodo y régimen irregular

Al seguir aumentando $r$, los ciclos estables duplican sucesivamente su periodo. Los valores críticos se acumulan cerca de $r_\infty\approx3.56995$. Más allá aparecen bandas aperiódicas interrumpidas por ventanas periódicas. La expresión “ruta al caos” describe esta organización, no una transición monótona en la que todo parámetro mayor sea caótico. Strogatz analiza la cascada, las ventanas y la universalidad que se observa al reescalar las bifurcaciones Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 10, esp. §§10.2–10.7 .

Un diagrama de bifurcación se construye, para cada $r$, descartando un número de iteraciones y dibujando las siguientes. Una sola rama indica convergencia a un punto fijo; dos o cuatro niveles sugieren ciclos de esos periodos; una banda densa muestra muchos valores retenidos, pero por sí sola no demuestra caos. Puede ocultar un periodo largo, un transitorio persistente o resolución gráfica insuficiente. Para interpretar una zona densa se contrastan el multiplicador, la serie, el exponente de Lyapunov a tiempo finito y la estabilidad frente a un mayor transitorio.

El redondeo merece una advertencia especial. En aritmética finita solo existen finitos estados representables en $[0,1]$. Toda órbita calculada termina por repetir un estado y, desde ese momento, entra en un ciclo computacional. El periodo puede ser enorme, pero no debe confundirse con una propiedad exacta de la función sobre los reales. Cambiar precisión y comparar estadísticas permite detectar cuándo esa periodicidad artificial afecta el horizonte estudiado.

Definición matemática de autosimilitud

Un conjunto $K$ es estrictamente autosimilar cuando puede escribirse como unión de copias semejantes de sí mismo:

$$K=S_1(K)\cup S_2(K)\cup\cdots\cup S_m(K),$$

donde cada $S_i$ reduce todas las distancias por un factor $0<r_i<1$. La palabra «semejante» tiene aquí un significado geométrico exacto: puede haber traslación, rotación o reflexión, pero las proporciones se conservan. No todo objeto con detalle a muchas escalas satisface esta igualdad. Una costa medida a varias resoluciones puede mostrar autosimilitud estadística; un conjunto de Julia suele mostrar copias deformadas o cuasiautosimilitud. Conviene declarar cuál de estas ideas se está usando.

En un objeto físico hay además escalas de corte. Una rama puede parecerse al árbol entre centímetros y metros, pero la semejanza se rompe al llegar a células o al tamaño total del organismo. Por eso «fractal natural» significa que una ley de escala describe un intervalo medido, no que exista detalle infinito. Feldman distingue autosimilitud matemática y fractales reales antes de introducir dimensión y conteo de cajas; aquí esa distinción se convierte en una regla de reporte: siempre se anota el intervalo de escalas donde se observó la relación Feldman, 2012 David P. Feldman (2012) Chaos and Fractals: An Elementary Introduction Oxford University Press Ubicación consultada: cap. 15, §§15.2–15.4, pp. 158–162; cap. 18, §§18.1–18.4, pp. 187–193 .

El conjunto ternario de Cantor ofrece el cálculo más limpio. Define

$$S_1(x)=\frac{x}{3}, \qquad S_2(x)=\frac{x}{3}+\frac23.$$

Si $K_0=[0,1]$, la primera aplicación deja $K_1=[0,1/3]\cup[2/3,1]$. Volver a aplicar ambas transformaciones a cada intervalo produce cuatro intervalos de longitud $1/9$; después aparecen ocho de longitud $1/27$. El límite satisface

$$K=S_1(K)\cup S_2(K).$$

En cada escala hay dos copias reducidas por $1/3$. La ecuación de dimensión de semejanza es

$$2\left(\frac13\right)^s=1, \qquad s=\frac{\log 2}{\log 3}.$$

Esta igualdad da la dimensión de Hausdorff cuando se cumplen las condiciones de separación apropiadas; no debe aplicarse sin más a copias que se solapan. Falconer presenta el conjunto de Cantor como modelo de autosimilitud y después precisa las hipótesis bajo las cuales la ecuación de semejanza determina la dimensión Falconer, 2014 Kenneth Falconer (2014) Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications 3.ª ed. · Wiley Ubicación consultada: introducción, ejemplo del conjunto ternario de Cantor; §§9.1–9.3 .

Sistemas iterados de funciones y conjuntos compactos

Un sistema iterado de funciones, o IFS, es una colección finita $\{S_1,\ldots,S_m\}$ de contracciones sobre un espacio métrico completo. Actúa sobre un conjunto compacto mediante el operador

$$\mathcal W(A)=\bigcup_{i=1}^{m}S_i(A).$$

Como cada transformación contrae, $\mathcal W$ también contrae en la métrica de Hausdorff. Existe un único conjunto compacto $K$ tal que $\mathcal W(K)=K$, y las iteraciones $K_{n+1}=\mathcal W(K_n)$ convergen hacia él desde cualquier compacto inicial no vacío. Ese conjunto fijo es el atractor del IFS. La palabra «atractor» se refiere aquí a la dinámica sobre conjuntos compactos; no es automáticamente un atractor temporal de una EDO.

Para el triángulo de Sierpiński se toman los vértices $v_1,v_2,v_3$ de un triángulo y

$$S_i(x)=\frac12x+\frac12v_i,\qquad i=1,2,3.$$

Cada mapa produce una copia de escala $1/2$ situada en un vértice. Después de $n$ iteraciones hay $3^n$ triángulos de lado $2^{-n}$, y

$$3\left(\frac12\right)^s=1 \quad\Longrightarrow\quad s=\frac{\log 3}{\log 2}.$$

El algoritmo determinista aplica las tres transformaciones a todo el conjunto. El «juego del caos» elige una transformación por paso y mueve un punto; tras descartar el transitorio, la nube visita el mismo atractor bajo hipótesis adecuadas. Una imagen convincente todavía necesita registrar transformaciones, probabilidades, semilla, puntos descartados y número de iteraciones. Barnsley construye la teoría del IFS desde transformaciones contractivas y la métrica de Hausdorff Barnsley, 1993 Michael F. Barnsley (1993) Fractals Everywhere 2.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: cap. III, secciones sobre transformaciones contractivas, teorema del collage e IFS .

Si todas las transformaciones tienen probabilidad positiva, cambiar esas probabilidades no altera el conjunto fijo, pero sí la frecuencia con la que la órbita aleatoria visita sus regiones. En el Cantor IFS, probabilidades $(1/2,1/2)$ producen una medida equilibrada; $(0.9,0.1)$ concentra nueve de cada diez elecciones, en promedio, en la rama izquierda. La geometría soporte y la medida invariante son objetos distintos. El artículo de Barnsley incluido en el volumen editado con Demko formula esta construcción probabilística y muestra cómo proyectarla a sistemas dinámicos con atractores prescritos Barnsley, 1986 Michael F. Barnsley y Stephen G. Demko, editores (1986) Chaotic Dynamics and Fractals Notes and Reports in Mathematics in Science and Engineering, vol. 2 · Academic Press Ubicación consultada: Michael F. Barnsley, “Making Chaotic Dynamical Systems to Order”, pp. 53–68 .

Conjuntos de Julia y conjunto de Mandelbrot

La familia cuadrática compleja

$$P_c(z)=z^2+c,\qquad z,c\in\mathbb C,$$

genera una órbita al fijar $c$ y repetir $z_{n+1}=P_c(z_n)$. El conjunto de Julia lleno es

$$K_c=\{z_0\in\mathbb C:\{P_c^n(z_0)\}_{n\ge0} \text{ permanece acotada}\}.$$

El conjunto de Julia $J_c$ es la frontera de $K_c$. Cerca de esa frontera, condiciones iniciales arbitrariamente próximas pueden tener destinos distintos; por eso la estructura fina aparece al clasificar escape y no escape. Para esta familia, si alguna iteración satisface $|z_n|>2$, la órbita escapa al infinito. No escapar durante un número finito de pasos sólo prueba no escape hasta ese horizonte.

Un algoritmo de tiempo de escape conserva el primer índice

$$N_R(z_0;c)=\min\{n\le N_{\max}:|P_c^n(z_0)|>R\}.$$

Con $R=2$, los puntos que alcanzan el umbral reciben una clasificación matemática de escape; el color puede codificar $N_R$. Los que sobreviven hasta $N_{\max}$ quedan marcados como «no escaparon en el horizonte», no como miembros demostrados de $K_c$. Aumentar resolución sin aumentar $N_{\max}$ sólo produce más píxeles con la misma incertidumbre temporal. Devaney organiza sus experimentos computacionales precisamente alrededor de órbitas, escape, ampliación y separación entre conjunto de Julia y conjunto de Mandelbrot Devaney, 1990 Robert L. Devaney (1990) Chaos, Fractals, and Dynamics: Computer Experiments in Mathematics Addison-Wesley Ubicación consultada: caps. 5–8, pp. 75–128 .

El conjunto de Mandelbrot vive en otro plano:

$$\mathcal M=\{c\in\mathbb C:\{P_c^n(0)\}_{n\ge0} \text{ permanece acotada}\}.$$

Aquí no cambia la condición inicial: se fija el punto crítico $z_0=0$ y cada píxel representa un parámetro $c$. La distinción evita un error visual común:

Para la familia cuadrática, seguir el único punto crítico no es una elección gráfica arbitraria: $K_c$ es conexo exactamente cuando la órbita de $0$ no escapa. Así, $\mathcal M$ funciona como un mapa de conectividad de los Julia llenos. Mandelbrot separa explícitamente las órbitas en el plano $z$ de la exploración del plano $c$ y usa la órbita crítica para definir el conjunto Mandelbrot, 2004 Benoît B. Mandelbrot (2004) Fractals and Chaos: The Mandelbrot Set and Beyond 1.ª ed. · Springer New York Ubicación consultada: parte Quadratic Julia and Mandelbrot Sets, cap. C1, §§1.2.1–1.2.7, pp. 9–26 Abrir fuente .

Plano	Punto que representa un píxel	Dato fijo	Pregunta
dinámico, $J_c$	condición inicial $z_0$	parámetro $c$	¿escapa esta órbita?
parámetros, $\mathcal M$	parámetro $c$	condición crítica $z_0=0$	¿queda acotada la órbita crítica?

Tres cuentas cortas fijan la idea. Para $c=0$, $P_0(z)=z^2$: los puntos con $|z|<1$ se acercan a cero, los de $|z|>1$ escapan y $J_0$ es la circunferencia unidad. Para $c=-1$, la órbita crítica es $0\mapsto-1\mapsto0$, así que $-1\in\mathcal M$. Para $c=1$, la órbita $0\mapsto1\mapsto2\mapsto5$ supera el radio de escape, por lo que $1\notin\mathcal M$.

La frontera de Mandelbrot organiza cambios en la dinámica de los conjuntos de Julia, pero no es «el Julia de todos los parámetros». Tampoco todo conjunto de Julia es el atractor de un IFS finito de semejanzas. Falconer separa la teoría general de Julia, el plano de parámetros de Mandelbrot y el caso cuadrático en secciones consecutivas Falconer, 2014 Kenneth Falconer (2014) Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications 3.ª ed. · Wiley Ubicación consultada: cap. 14, §§14.1–14.3 ; Barnsley desarrolla algoritmos de escape y la transición del plano dinámico al de parámetros Barnsley, 1993 Michael F. Barnsley (1993) Fractals Everywhere 2.ª ed. · Academic Press Ubicación consultada: caps. VII–VIII .

Estiramiento y plegado en mapas bidimensionales

La misma idea de iteración se extiende a vectores. El mapa de Hénon,

$$H(x,y)=\left(1-1.4x^2+y,\;0.3x\right),$$

curva una región mediante el término cuadrático y la contrae en otra dirección. Su jacobiano es

$$DH(x,y)= \begin{pmatrix} -2.8x & 1\\ 0.3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \det DH=-0.3.$$

El valor absoluto del determinante indica una contracción de área por un factor $0.3$ en cada iteración, mientras el signo invierte orientación. La contracción global no impide que una dirección se estire localmente; la convivencia de estiramiento y plegado permite generar estructuras finas.

Protocolo reproducible del mapa logístico

Para comparar $r=2.8$, $3.2$, $3.5$ y $3.9$, fija $x_0=0.2$, calcula $1500$ iteraciones, descarta las primeras $1000$ y conserva las últimas $500$. Guarda tres objetos por parámetro: la serie completa con el transitorio marcado, una telaraña de las primeras iteraciones y un resumen del tramo retenido. En $r=3.2$, verifica el ciclo calculando $|F_r^2(x_n)-x_n|$ en los valores finales. En $r=3.9$, repite con $x_0+10^{-6}$ y registra la separación solo hasta que alcance una fracción apreciable del intervalo.

Después modifica una decisión por vez: duplica el transitorio, duplica la precisión numérica o cambia la condición inicial. Si el periodo aparente cambia al aumentar el transitorio, la clasificación anterior era prematura. Si las trayectorias puntuales se separan pero histogramas y promedios coinciden dentro de la muestra, el resultado habla de sensibilidad y de comportamiento estadístico en ese protocolo, no de predicción exacta a largo plazo.

Devaney presenta la experimentación con mapas cuadráticos como una interacción entre cálculo, conjetura y prueba Devaney, 2020 Robert L. Devaney (2020) A First Course in Chaotic Dynamical Systems: Theory and Experiment 2.ª ed. · CRC Press Ubicación consultada: caps. 6 y 8 . Esa secuencia es útil aquí: una telaraña sugiere el mecanismo, el multiplicador lo explica localmente y un barrido controlado muestra cómo se organiza con el parámetro.

Ejercicios sobre invariancia, ciclos y precisión finita

1. Demuestra con una desigualdad que $[0,1]$ es invariante para $0\leq r\leq4$ y muestra qué falla si $r>4$.
2. Construye ocho pasos de telaraña para $r=2.8$, $x_0=0.2$, y relaciona la alternancia con el signo del multiplicador.
3. Calcula las raíces de $F_r^2(x)=x$, separa los puntos fijos y verifica la fórmula del multiplicador del ciclo de periodo dos.
4. Explica por qué una computadora produce finalmente un ciclo aunque la órbita matemática elegida no sea periódica.
5. Compara dos precisiones para $r=4$ usando el mismo $x_0$. Indica el horizonte hasta el cual coinciden y una estadística que siga siendo comparable después de la separación.
6. Redacta un pie de figura para un diagrama de bifurcación que declare malla de $r$, condición inicial, transitorio y número de puntos conservados.

Al comunicar los resultados, separa tres niveles: la propiedad exacta demostrada para el mapa, la evidencia obtenida en una órbita finita y la representación visual derivada de esa evidencia.