Mapas bidimensionales: Hénon, disipación y herradura

Información adicional en mapas del plano

En un mapa unidimensional, la derivada indica cuánto se estira una perturbación y si se invierte su orientación. En dos dimensiones, esas funciones se reparten entre una matriz y su determinante. Un mapa

$$F(x,y)=\bigl(F_1(x,y),F_2(x,y)\bigr)$$

transforma puntos, curvas y regiones. Su jacobiano

$$DF(x,y)= \begin{pmatrix} \partial_xF_1 & \partial_yF_1\\ \partial_xF_2 & \partial_yF_2 \end{pmatrix}$$

aproxima la acción sobre vectores pequeños. Los valores singulares miden los factores principales de estiramiento; los autovalores sirven para estudiar un punto fijo; y $\det DF$ mide el cambio de área orientada. Estas cantidades responden preguntas distintas. Un autovalor mayor que uno en un equilibrio no basta para describir toda la región, y un determinante de magnitud menor que uno prueba contracción local de área, no la existencia de un atractor caótico.

La segunda dimensión permite una combinación imposible en un intervalo invertible: expandir en una dirección y contraer en otra. Si además la imagen se pliega y regresa a la región de observación, puntos cercanos pueden separarse sin abandonar un conjunto acotado. Alligood, Sauer y Yorke desarrollan esta geometría desde mapas planos hasta la herradura y el mapa de Hénon Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: caps. 2, 4 y 7 .

El mapa de Hénon y sus propiedades algebraicas

Usaremos la convención

$$H_{a,b}(x,y)=\bigl(1-a x^2+y,\; b x\bigr).$$

Sus parámetros clásicos son $a=1.4$ y $b=0.3$. Conviene registrar la convención porque también se escribe como $(y+1-a x^2,bx)$ o mediante un cambio de coordenadas. La dinámica es la misma bajo renombramientos coherentes, pero las condiciones iniciales y las fórmulas no se pueden mezclar entre convenciones.

El jacobiano es

$$DH_{a,b}(x,y)= \begin{pmatrix} -2ax & 1\\ b & 0 \end{pmatrix}, \qquad \det DH_{a,b}=-b.$$

Para $b\ne0$, el mapa es localmente invertible en todo punto. De hecho, si $(X,Y)=H(x,y)$, entonces $x=Y/b$ y

$$y=X-1+a\left(\frac{Y}{b}\right)^2.$$

Por tanto,

$$H_{a,b}^{-1}(X,Y)= \left(\frac{Y}{b},\;X-1+a\frac{Y^2}{b^2}\right).$$

Cuando $|b|<1$, cada iteración multiplica las áreas por $|b|$. Con $b=0.3$, una región de área uno tiene imagen de área $0.3$, y después de diez iteraciones su área orientada ideal vale $(-0.3)^{10}$: su magnitud es aproximadamente $5.90\times10^{-6}$. Esto explica por qué una nube bidimensional termina cerca de filamentos, pero no explica por sí solo el estiramiento dentro de ellos.

Ejemplo trabajado: puntos fijos y clasificación local

Un punto fijo satisface $y=bx$ y

$$x=1-a x^2+bx.$$

Luego

$$a x^2+(1-b)x-1=0, \qquad x_\pm=\frac{-(1-b)\pm\sqrt{(1-b)^2+4a}}{2a}, \qquad y_\pm=bx_\pm.$$

Para $a=1.4$ y $b=0.3$,

$$x_+\approx0.631354, \quad y_+\approx0.189406, \qquad x_-\approx-1.131354, \quad y_-\approx-0.339406.$$

En un punto fijo con coordenada $x^*$, el polinomio característico del jacobiano es

$$\lambda^2+2a x^*\lambda-b=0.$$

Para el punto positivo se obtiene aproximadamente

$$\lambda_1\approx0.156, \qquad \lambda_2\approx-1.924.$$

Una dirección se contrae y otra se expande: es una silla. Para el punto negativo,

$$\lambda_1\approx3.260, \qquad \lambda_2\approx-0.092,$$

de modo que también es una silla. El producto de cada par debe ser $-b=-0.3$; esta identidad funciona como verificación aritmética. La clasificación local no dice que todas las órbitas permanezcan cerca del punto. Sí identifica direcciones estables e inestables cuyas prolongaciones pueden organizar el atractor y su cuenca.

Para aproximar la variedad inestable de una silla, se toma un autovector $v_u$ del autovalor $|\lambda_u|>1$, se siembran puntos $p\pm\varepsilon v_u$ y se iteran hacia adelante. Para la variedad estable se usa el autovector $v_s$ y se itera el mapa inverso. El valor de $\varepsilon$ debe ser suficientemente pequeño para representar la dirección lineal, pero no tan pequeño que el redondeo haga coincidir los puntos. Repetir con $\varepsilon$, $\varepsilon/2$ y dos densidades de remuestreo distingue una curva geométrica persistente de un artefacto numérico.

Estirar, contraer, plegar y reinyectar

La expresión “estiramiento y plegado” suele usarse como una metáfora; aquí debe convertirse en un procedimiento. Se elige un rectángulo $R$ con una rejilla marcada, se calcula $H(R)$ y se conservan también los puntos que salen de la ventana gráfica. El jacobiano permite medir la deformación infinitesimal, mientras que la imagen de líneas completas muestra la curvatura inducida por $-ax^2$. Después se comprueba qué parte de $H(R)$ vuelve a intersectar $R$. Sin retorno solo hay expulsión; sin expansión solo hay contracción; sin plegado, una región acotada no puede alojar indefinidamente tiras que se alargan.

La herradura de Smale idealiza este mecanismo. Un cuadrado se estira en una dirección, se contrae en la transversal, se dobla y se coloca de forma que dos tiras verticales regresen al cuadrado. Los puntos que permanecen en el cuadrado para todo tiempo futuro forman franjas cada vez más delgadas; exigir también permanencia hacia el pasado produce un conjunto tipo Cantor en ambas direcciones. Cada visita puede codificarse por el símbolo $0$ o $1$ según la tira ocupada.

La herradura no es una fotografía literal del atractor de Hénon. Es un modelo geométrico que permite demostrar dinámica simbólica bajo hipótesis de intersección e hiperbolicidad. Ott explica cómo la expansión y el plegado generan conjuntos invariantes y por qué la disipación debe separarse del caos Ott, 2002 Edward Ott (2002) Chaos in Dynamical Systems 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 2 y 5 . En una simulación de Hénon, observar dos bandas sugiere esta estructura, pero demostrar una herradura exige construir regiones y verificar sus imágenes, no solo reconocer una silueta.

Prueba computacional del mapa de Hénon

Un experimento reproducible con Hénon comienza por separar tres conjuntos. Primero, una órbita individual revela el orden temporal. Segundo, un ensamble de condiciones iniciales permite estimar la cuenca y detectar escape. Tercero, una rejilla deformada muestra la acción del mapa sobre regiones. Mezclarlos en una sola nube borra información: no se sabe qué puntos pertenecen a la misma órbita ni cuáles fueron descartados.

Para la órbita clásica puede usarse $(x_0,y_0)=(0,0)$, descartar $2\,000$ iteraciones y conservar $20\,000$. Se repite con $40\,000$ iteraciones conservadas y con al menos cuatro inicios próximos. Luego se calcula el determinante simbólico, se localizan los puntos fijos, se siguen segmentos cortos en sus direcciones propias y se registra cualquier escape mediante un umbral declarado, por ejemplo $|x|+|y|>10^4$. El umbral es una regla numérica de clasificación; no debe confundirse con una demostración de divergencia.

La precisión también forma parte del resultado. Dos órbitas de punto flotante no permanecerán coordenada por coordenada durante tiempos largos si existe sensibilidad. La comparación apropiada pregunta si persisten propiedades estadísticas, rangos visitados, distribuciones empíricas y exponentes a tiempo finito. Una coincidencia visual a una sola resolución es insuficiente; una discrepancia tardía entre órbitas tampoco invalida por sí sola el modelo.

Protocolo de estudio y criterios de interpretación

1. Escribe la convención exacta de $H_{a,b}$ y calcula $DH$, su determinante y el mapa inverso.
2. Resuelve los puntos fijos sin simulación y verifica los autovalores con suma y producto.
3. Deforma una rejilla durante una, dos y tres iteraciones sin eliminar puntos que abandonen el encuadre.
4. Genera órbitas con transitorio y longitud declarados; registra por separado las que escapan.
5. Aproxima segmentos de variedades estable e inestable y repite al reducir $\varepsilon$.
6. Compara resultados al duplicar la longitud, cambiar la precisión y refinar la rejilla.

La conclusión debe conservar los niveles de evidencia. $|b|<1$ demuestra contracción uniforme de área. Los autovalores clasifican localmente los puntos fijos. Una nube persistente apoya la presencia de un conjunto acotado visitado por el protocolo. La separación tangente, una codificación consistente o una herradura verificada sostienen afirmaciones más fuertes. Ninguna de esas frases debe sustituirse por “la gráfica parece caótica”.

Ejercicios sobre mapas planos

1. Para $a=1.2$ y $b=0.2$, calcula ambos puntos fijos de Hénon, clasifícalos mediante los autovalores y comprueba que cada producto vale $-0.2$. Explica qué parte del argumento es exacta y qué parte depende de redondeo.
2. Demuestra la fórmula de $H^{-1}$ cuando $b\ne0$. Elige tres puntos, aplica primero $H$ y luego $H^{-1}$, e informa el error de retorno en doble precisión.
3. Toma un cuadrado de lado $0.1$ centrado en tres puntos distintos. Estima numéricamente el área de su imagen y compárala con $|b|$ veces el área original. Justifica la discrepancia producida por discretizar el borde.
4. Construye aproximaciones de las variedades de uno de los puntos silla con $\varepsilon=10^{-4},10^{-6},10^{-8}$. Describe cuándo domina la no linealidad y cuándo domina el redondeo.
5. Diseña un rectángulo candidato para observar dos tiras de retorno. Dibuja $R$, $H(R)$ y $H^2(R)$, y enumera las verificaciones adicionales necesarias antes de afirmar que existe una herradura.
6. Compara una órbita de Hénon con una nube de $10\,000$ condiciones iniciales. Colorea la primera por tiempo y la segunda por destino. Explica qué pregunta responde cada representación.
7. Investiga el límite $b\to0$. Relaciona la primera componente con un mapa cuadrático unidimensional y explica por qué el mapa inverso deja de existir exactamente en $b=0$.
8. Redacta una ficha de evidencia que separe: contracción de área, silla local, conjunto acotado observado, exponente positivo estimado y herradura demostrada. Para cada nivel indica el cálculo o argumento requerido.