Caos conservativo: mapa estándar, resonancias y teoría KAM

Caos sin atractor disipativo

En un sistema disipativo, los volúmenes de fase se contraen y muchas condiciones iniciales convergen hacia un atractor de dimensión menor. En un sistema hamiltoniano ideal ocurre otra geometría: el flujo conserva volumen de fase y una sección de Poincaré conserva área. Puede haber sensibilidad, mezcla local y regiones caóticas, pero no un atractor que reciba un conjunto de área positiva mientras reduce su área en cada iteración.

Para un mapa plano $F(q,p)$, la condición simpléctica equivale en dos dimensiones a

$$\det DF(q,p)=1$$

cuando se preservan orientación y forma simpléctica canónica. Esta igualdad no prueba caos; impone una restricción. Si una dirección se expande por un factor $|\lambda|>1$, la otra debe contraerse por $1/|\lambda|$. Cerca de un punto elíptico, los autovalores pueden ser $e^{\pm i\omega}$ y las órbitas formar curvas cerradas o islas. Regiones regulares y caóticas pueden coexistir durante el mismo valor del parámetro.

Tél y Gruiz presentan esta estructura mixta como rasgo central del caos hamiltoniano: la pregunta no es solo si existe sensibilidad, sino cómo las islas, resonancias y barreras parciales organizan el transporte Tél, 2006 Tamás Tél y Márton Gruiz (2006) Chaotic Dynamics: An Introduction Based on Classical Mechanics Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 2, 7 y 8 .

Derivación del mapa estándar para un rotor impulsado

El mapa estándar puede interpretarse como el retorno, inmediatamente después de cada impulso, de un rotor pateado. En variables angulares se escribe

$$p_{n+1}=p_n+K\sin\theta_n,$$ $$\theta_{n+1}=\theta_n+p_{n+1}\pmod{2\pi}.$$

Si también se reduce $p$ módulo $2\pi$, el dominio es un toro; si $p$ se deja sin reducir, el dominio es un cilindro y se puede estudiar difusión en momento. Estas dos decisiones producen experimentos distintos y deben declararse.

En el orden $(\theta,p)$, el jacobiano es

$$DF(\theta,p)= \begin{pmatrix} 1+K\cos\theta & 1\\ K\cos\theta & 1 \end{pmatrix},$$

de modo que

$$\det DF=1.$$

La conservación de área es exacta algebraicamente. Una nube que parece encogerse en una figura puede deberse a que se dibuja una sola órbita, se omiten puntos que cruzan la frontera periódica o se usa una malla insuficiente.

Cuando $K=0$, $p_n=p_0$ y

$$\theta_n=\theta_0+n p_0\pmod{2\pi}.$$

Cada recta $p=p_0$ es invariante. Si $p_0/(2\pi)$ es racional, la órbita es periódica; si es irracional, llena densamente la circunferencia correspondiente. No hay crecimiento exponencial: la complejidad aparente de una órbita densa no basta para diagnosticar caos.

Ejemplo trabajado: puntos elípticos e hiperbólicos

Un punto fijo en el toro requiere $p^*=0\pmod{2\pi}$ y $K\sin\theta^*=0$. Para $K\ne0$ aparecen $(0,0)$ y $(\pi,0)$. Como el determinante vale uno, los autovalores satisfacen

$$\lambda^2-\tau\lambda+1=0,$$

donde $\tau=\operatorname{tr}DF=2+K\cos\theta^*$. La clasificación es:

• $|\tau|<2$: par complejo de módulo uno, punto elíptico;
• $|\tau|>2$: autovalores reales recíprocos, punto hiperbólico;
• $|\tau|=2$: caso parabólico que requiere términos no lineales.

En $(0,0)$, $\tau=2+K$. Para $K>0$ se tiene $\tau>2$ y el punto es hiperbólico. En $(\pi,0)$, $\tau=2-K$, que está entre $-2$ y $2$ cuando $0<K<4$; en ese intervalo el punto es elíptico.

Con $K=0.5$, en $(0,0)$:

$$\lambda_{\pm}=\frac{2.5\pm\sqrt{2.5^2-4}}2 =2,\;0.5.$$

En $(\pi,0)$, $\tau=1.5$ y

$$\lambda_{\pm}=\frac{1.5\pm i\sqrt{4-1.5^2}}2,$$

ambos de módulo uno. Una sección mostrará ramas estables e inestables cerca del primer punto e islas alrededor del segundo. La estabilidad lineal no garantiza que todas las curvas cercanas al punto elíptico sobrevivan para cualquier $K$; resonancias y términos no lineales deciden la organización fina.

Toros invariantes y contenido del teorema KAM

Un sistema hamiltoniano integrable con dos grados de libertad puede expresarse localmente mediante variables acción–ángulo $(I,\theta)$:

$$\dot I=0, \qquad \dot\theta=\omega(I).$$

Las acciones fijan toros invariantes y el movimiento angular tiene frecuencias constantes. Al introducir una perturbación pequeña,

$$H(I,\theta)=H_0(I)+\varepsilon H_1(I,\theta),$$

no todos los toros desaparecen. Bajo regularidad, no degeneración y condiciones diofánticas sobre las frecuencias, el teorema KAM garantiza la persistencia deformada de muchos toros no resonantes. “Perturbación pequeña” no es una frase visual; depende de normas y constantes del problema.

Los toros con razón de frecuencias racional son resonantes. Una perturbación genérica puede romperlos en cadenas alternadas de puntos elípticos e hiperbólicos, según el mecanismo de Poincaré–Birkhoff. Alrededor de los elípticos aparecen islas secundarias; las variedades de los hiperbólicos se cruzan y forman capas caóticas. Al aumentar la perturbación, algunas curvas invariantes se destruyen y quedan barreras parciales llamadas cantori.

Ott explica la transición desde toros a regiones estocásticas y advierte que el espacio de fases mixto impide resumir todo el mapa con un único exponente Ott, 2002 Edward Ott (2002) Chaos in Dynamical Systems 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 1, 2 y 6 . Una condición inicial dentro de una isla puede tener exponente aproximadamente cero mientras otra, con el mismo $K$, recorre una capa caótica.

Número de rotación y resonancias

Para una órbita del mapa en el cilindro se define un número de rotación finito

$$\Omega_N=\frac{\theta_N-\theta_0}{2\pi N},$$

usando un ángulo desenrollado, no reducido módulo $2\pi$. Si $\Omega_N$ converge, su límite distingue rotación regular. Una meseta racional $m/q$ al variar la condición inicial se relaciona con una resonancia de periodo $q$. En regiones caóticas, $\Omega_N$ puede converger lentamente o fluctuar por atrapamiento temporal cerca de islas.

El procedimiento no consiste en clasificar como caótico todo punto cuya razón parezca irracional. En el límite integrable, la mayoría de las rotaciones irracionales son regulares. Se combinan número de rotación, exponente a tiempo finito, sección, recurrencias y estabilidad al duplicar $N$. La coloración del plano por $\Omega_N$ revela mesetas e irregularidades, pero su resolución depende del tiempo de observación.

Transporte, pegajosidad y difusión

En el cilindro, el momento puede cambiar a largo plazo. Para un ensamble se estudia

$$M_2(n)=\left\langle[p_n-p_0]^2\right\rangle.$$

Una ley $M_2(n)\sim2Dn$ sugiere difusión normal con coeficiente $D$. Sin embargo, islas aceleradoras y atrapamiento cerca de cantori pueden producir crecimiento anómalo $n^\alpha$, con $\alpha\ne1$, durante intervalos extensos. Ajustar una recta en escala logarítmica sin mostrar la pendiente local puede ocultar transiciones.

La pegajosidad ocurre cuando una órbita caótica permanece mucho tiempo cerca del borde de una isla. Su serie alterna episodios casi regulares con excursiones irregulares y genera colas largas en tiempos de retorno. No es un transitorio que deba descartarse automáticamente: forma parte del transporte del sistema conservativo.

Integración y preservación de estructura

Si el mapa estándar se itera directamente, la identidad $\det DF=1$ ofrece una prueba exacta del código. Para el flujo hamiltoniano subyacente, un integrador no simpléctico puede introducir deriva artificial de energía y contracción o expansión espuria de volumen. Un método simpléctico no conserva necesariamente la energía exacta en cada paso, pero suele conservar cerca una energía modificada durante tiempos largos.

Guckenheimer y Holmes sitúan las secciones y perturbaciones hamiltonianas dentro de una geometría donde separatrices y sus intersecciones organizan la dinámica Guckenheimer, 1983 John Guckenheimer y Philip Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields Springer Ubicación consultada: caps. 1 y 4 . La validación debe incluir reversibilidad cuando proceda, determinante, deriva de invariantes, comparación de integradores y refinamiento temporal.

Protocolo para un atlas del mapa estándar

1. Fija si el dominio es toro o cilindro y cómo se envuelven las coordenadas.
2. Verifica simbólicamente el determinante y prueba numéricamente el mapa inverso.
3. Para cada $K$, itera una malla de inicios sin conectarlos entre sí; cada color debe representar una sola órbita.
4. Conserva al menos una región alrededor de cada punto fijo y clasifica sus multiplicadores.
5. Calcula números de rotación y exponentes a dos o más longitudes.
6. En el cilindro, estima $M_2(n)$ con intervalos de confianza y pendiente local.
7. Repite cerca de fronteras de islas para detectar pegajosidad y tiempos de convergencia largos.

El producto final es un atlas de regiones regulares, resonantes y caóticas, no una etiqueta global. La carga de ocho horas se justifica por derivación, implementación, barrido, cuantificación y validación, no por contemplar una sección terminada.

Ejercicios de caos hamiltoniano

1. Deriva el mapa estándar a partir de una actualización “impulso y deriva”. Calcula su jacobiano y demuestra que preserva área para todo $K$.
2. Clasifica los puntos $(0,0)$ y $(\pi,0)$ para $K=-1,0.5,3.5,4$ y $5$. Trata por separado los casos con $|\tau|=2$.
3. Para $K=0$, demuestra la fórmula cerrada de la órbita. Compara condiciones con $p_0/(2\pi)$ racional e irracional y explica por qué densidad no implica caos.
4. Construye secciones para $K=0.2,0.8$ y $1.5$ usando al menos veinte condiciones iniciales por valor. Identifica islas y regiones irregulares sin conectar puntos de órbitas distintas.
5. Calcula $\Omega_N$ para $N=10^3,10^4,10^5$ en una isla y en una capa caótica. Compara convergencia y fluctuaciones.
6. En el cilindro, estima $M_2(n)$ con un ensamble de condiciones iniciales. Presenta la pendiente local y decide si un ajuste difusivo es defendible en alguna ventana.
7. Integra un péndulo sin impulsos con un método simpléctico y RK4 a coste comparable. Compara error de energía a corto plazo y deriva a largo plazo.
8. Selecciona una frontera de isla y mide tiempos de retorno. Explica cómo distinguir pegajosidad de un transitorio causado por una inicialización sesgada.