Lorenz, Rössler y flujos de Sprott

Mecanismos en Lorenz, Rössler y Sprott B

Una trayectoria tridimensional llamativa no identifica por sí sola un sistema caótico. Para comparar flujos conviene comenzar por lo que las ecuaciones permiten calcular: simetrías, divergencia, equilibrios, jacobiano y términos no lineales. Después se observa cómo esas propiedades organizan la órbita. Lorenz, Rössler y Sprott presentan tres estructuras algebraicas y geométricas distintas para compararlas mediante esos criterios.

El sistema de Lorenz es

$$\dot x=\sigma(y-x),\qquad \dot y=x(\rho-z)-y,\qquad \dot z=xy-\beta z.$$

Surgió de una truncación de un modelo de convección. Sus tres variables no son coordenadas espaciales de una partícula; representan amplitudes del modelo reducido. La célebre forma de mariposa es una trayectoria en espacio de estados. Lorenz insistió en la diferencia entre una ley determinista y una predicción indefinidamente precisa Lorenz, 1993 Edward N. Lorenz (1993) The Essence of Chaos University of Washington Press Ubicación consultada: caps. 1–3: predictibilidad y sensibilidad .

El sistema de Rössler,

$$\dot x=-y-z,\qquad \dot y=x+ay,\qquad \dot z=b+z(x-c),$$

mantiene durante buena parte del recorrido un giro casi planar. Cuando $x$ crece lo suficiente, el término $z(x-c)$ produce una excursión rápida fuera del plano y devuelve la órbita a otra vuelta. La no linealidad se concentra en un solo producto, lo que vuelve visible la separación entre rotación lenta y reinyección.

Un flujo de Sprott busca todavía mayor economía algebraica. El sistema B puede escribirse

$$\dot x=yz,\qquad \dot y=x-y,\qquad \dot z=1-xy.$$

La etiqueta “B” no reemplaza las ecuaciones. Una implementación debe registrar la variante exacta, porque catálogos distintos pueden usar convenciones de nombres o escalas diferentes. Sprott estudia familias sencillas para mostrar que una regla corta puede sostener una geometría compleja Sprott, 2010 Julien Clinton Sprott (2010) Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows World Scientific Ubicación consultada: cap. 3, esp. §§3.1 y 3.4.2 .

Contracción de volumen

Para un flujo $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$, un volumen infinitesimal $V(t)$ transportado por las trayectorias satisface formalmente

$$\frac{dV}{dt}=(\nabla\cdot\mathbf{f})V.$$

Si la divergencia es constante, se integra como

$$V(t)=V(0)e^{(\nabla\cdot\mathbf{f})t}.$$

En Lorenz,

$$\nabla\cdot\mathbf{f}=-(\sigma+1+\beta).$$

Con parámetros positivos, cualquier volumen pequeño se contrae exponencialmente. La contracción hace plausible la existencia de un conjunto atractor de volumen cero, pero no demuestra caos ni acotación global. Un equilibrio estable también contrae volumen.

En Rössler,

$$\nabla\cdot\mathbf{f}=a+x-c,$$

por lo que la contracción depende de la región visitada. Se examina el promedio temporal

$$\overline{\nabla\cdot\mathbf{f}}_T =\frac1T\int_0^T[a+x(t)-c]\,dt.$$

Un promedio negativo a lo largo de una órbita retenida es evidencia de disipación en ese experimento. No autoriza a afirmar que todo el espacio de fases se contrae del mismo modo. En Sprott B,

$$\nabla\cdot\mathbf{f} =\frac{\partial yz}{\partial x} +\frac{\partial(x-y)}{\partial y} +\frac{\partial(1-xy)}{\partial z} =-1,$$

de modo que el volumen se contrae uniformemente como $e^{-t}$.

Equilibrios de Lorenz

De $\sigma(y-x)=0$, suponiendo $\sigma\neq0$, se obtiene $y=x$. La tercera ecuación da $z=x^2/\beta$ cuando $\beta\neq0$. Al sustituir en la segunda,

$$x\left(\rho-1-\frac{x^2}{\beta}\right)=0.$$

Siempre existe el origen $O=(0,0,0)$. Para $\rho>1$ aparecen

$$C_\pm= \left( \pm\sqrt{\beta(\rho-1)}, \pm\sqrt{\beta(\rho-1)}, \rho-1 \right).$$

Con $(\sigma,\rho,\beta)=(10,28,8/3)$, $C_\pm\approx(\pm8.485,\pm8.485,27)$. Los dos lóbulos de la órbita se organizan alrededor de estas regiones, aunque los equilibrios mismos son inestables para esos parámetros.

El jacobiano es

$$J(x,y,z)= \begin{pmatrix} -\sigma&\sigma&0\\ \rho-z&-1&-x\\ y&x&-\beta \end{pmatrix}.$$

En el origen, uno de los autovalores es $-\beta$ y los otros dos satisfacen

$$\lambda^2+(\sigma+1)\lambda+\sigma(1-\rho)=0.$$

Para $\rho<1$, ambos tienen parte real negativa; al cruzar $\rho=1$, uno se vuelve positivo y el origen pierde estabilidad. La aparición de $C_\pm$ y el cambio en el origen se explican antes de integrar. El régimen clásico $\rho=28$ se encuentra más allá de bifurcaciones adicionales cuya descripción completa requiere estudiar los autovalores de $J(C_\pm)$.

Equilibrios de Rössler y Sprott B

En Rössler, la condición $\dot y=0$ produce $x=-ay$. Como $\dot x=0$ implica $y=-z$, se tiene $x=az$. La última ecuación se reduce a

$$az^2-cz+b=0.$$

Si $a\neq0$, las raíces son

$$z_\pm=\frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a}, \qquad (x_\pm,y_\pm,z_\pm)=(az_\pm,-z_\pm,z_\pm).$$

La existencia de dos equilibrios reales exige $c^2\geq4ab$. Para $(a,b,c)=(0.2,0.2,5.7)$ aparecen escalas muy distintas: una raíz pequeña y otra grande. Esa asimetría ayuda a entender por qué la órbita gira cerca de una región y realiza excursiones alejadas.

En Sprott B, $\dot y=0$ da $x=y$ y $\dot z=0$ exige $xy=1$; por tanto, $x=y=\pm1$. La ecuación $\dot x=yz=0$ obliga a $z=0$. Los equilibrios son $(1,1,0)$ y $(-1,-1,0)$. El jacobiano

$$J(x,y,z)= \begin{pmatrix} 0&z&y\\ 1&-1&0\\ -y&-x&0 \end{pmatrix}$$

permite clasificarlos numéricamente. Esa clasificación debe acompañar cualquier afirmación sobre las regiones que la órbita visita.

Comparación geométrica con escalas consistentes

La siguiente figura coloca juntos los tres flujos. Es útil para formular preguntas, pero cada panel tiene su propia escala espacial y temporal. El tamaño aparente de un atractor cambia al reescalar variables; no es una medida intrínseca de complejidad. Una comparación académica usa magnitudes definidas: divergencia media, espectro de Lyapunov, periodos de retorno, distribución en una sección o dimensión estimada con el mismo protocolo.

Strogatz presenta Lorenz y Rössler como dos geometrías diferentes de estiramiento y reinyección Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: cap. 9 y §12.3 . En Lorenz, la alternancia de lóbulos sugiere una dinámica de retorno que estira y pliega. En Rössler, la vuelta casi planar acumula fases cercanas antes de la excursión. En Sprott B, varios términos simples cooperan sin una separación tan evidente entre giro y reinyección.

Búsqueda auditable de sistemas simples

Sprott construye catálogos de sistemas simples explorando familias de ecuaciones y descartando resultados que escapan, convergen a un equilibrio o imitan irregularidad durante un transitorio. El procedimiento convierte la exploración masiva en una fuente de candidatos; no convierte automáticamente cada trazo en una clasificación matemática. Sprott, 1993 Julien C. Sprott (1993) Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos M&T Books Ubicación consultada: cap. 6, §§6.1–6.5, pp. 322–383

Una familia cuadrática tridimensional puede escribirse como

$$\dot x_i=c_i+\sum_{j=1}^{3}a_{ij}x_j +\sum_{1\le j\le k\le3}b_{ijk}x_jx_k, \qquad i=1,2,3.$$

Cada elección de coeficientes define un campo distinto. Un filtro razonable ejecuta, en este orden, cuatro controles: detecta crecimiento no acotado, descarta el transitorio, comprueba que la órbita no haya caído en equilibrio o ciclo corto y estima expansión tangente con más de una duración. Después repite con otro paso y otra condición inicial. La proyección sólo llega al final.

Sprott B muestra por qué el orden importa. Su divergencia exacta es $-1$, así que un volumen material se contrae como $e^{-t}$; eso no decide si una trayectoria concreta permanece acotada. Los equilibrios $(\pm1,\pm1,0)$ se obtienen sin integrar; eso tampoco decide qué conjunto límite alcanza $(0.1,0.1,0.1)$. La órbita de la figura aporta el tercer nivel, finito y dependiente del protocolo. La ecuación, los cálculos exactos y la trayectoria responden preguntas distintas.

Escalamiento entre variables adimensionales y voltajes

Una realización analógica asigna un voltaje a cada variable y usa integradores para producir sus derivadas. Si

$$V_x=S_xx,\qquad V_y=S_yy,\qquad V_z=S_zz, \qquad \tau=\frac{t}{T_0},$$

entonces la primera ecuación de Lorenz se transforma en

$$\frac{dV_x}{dt} =\frac{S_x\sigma}{T_0} \left(\frac{V_y}{S_y}-\frac{V_x}{S_x}\right).$$

Los cocientes de resistencias implementan ganancias lineales, un multiplicador analógico implementa productos como $xy=V_xV_y/(S_xS_y)$ y el producto $RC$ de cada integrador fija la escala temporal. Sprott y Thio separan la ecuación adimensional, los valores físicos de los componentes y la medición del circuito; esa separación permite rastrear qué parámetro cambió cuando el osciloscopio no coincide con la simulación. Sprott, 2022 Julien Clinton Sprott y Wesley Joo-Chen Thio (2022) Elegant Circuits: Simple Chaotic Oscillators World Scientific Ubicación consultada: cap. 1, §§1.8–1.11, pp. 21–37; cap. 7, §§7.1–7.3, pp. 241–248

Como caso concreto, supongamos rieles de $\pm10\,\mathrm V$ y una simulación de Lorenz con rangos aproximados $|x|,|y|\le20$, $0\le z\le50$. Elegir $S_x=S_y=0.4\,\mathrm{V}$ y $S_z=0.16\,\mathrm{V}$ por unidad mantiene los tres canales dentro de $\pm8\,\mathrm V$. Usar la misma escala para $z$ saturaría ese canal y recortaría los lóbulos. La rotación tridimensional mostrada arriba ayuda a distinguir una superposición de cámara; una meseta plana en la serie de $V_z$, en cambio, delata saturación física o digital.

Las tolerancias también pertenecen al modelo realizado. Si una ganancia nominal $g=R_2/R_1$ usa resistencias con errores relativos $\varepsilon_1$ y $\varepsilon_2$, entonces, a primer orden,

$$g_{\mathrm{real}} \approx g(1+\varepsilon_2-\varepsilon_1).$$

Medir los componentes y reintegrar con esos valores compara el circuito con la ecuación que realmente implementa, no con la nominal. La cercanía punto a punto se perderá en un régimen sensible; por eso se comparan rangos, secciones, espectros y tasas con incertidumbres declaradas.

Pham, Volos y Kapitaniak presentan realizaciones de varias familias no lineales mediante integradores, sumadores y elementos multiplicativos. La lección transferible es que una señal física confirma la realizabilidad de un conjunto de ecuaciones dentro de un intervalo de componentes y voltajes; no demuestra por sí sola unicidad del régimen ni una propiedad global de la cuenca. Pham, 2017 Viet-Thanh Pham, Christos Volos y Tomasz Kapitaniak (2017) Systems with Hidden Attractors: From Theory to Realization in Circuits Springer International Publishing Ubicación consultada: cap. 6, §§6.1–6.5, pp. 79–100 Abrir fuente

Si dos voltajes iniciales conducen a respuestas persistentes distintas, el resultado es evidencia de coexistencia para esas condiciones. Para describirla se registra una malla de estados iniciales, se conserva el mismo tiempo de descarte y se clasifica cada respuesta con criterios iguales. El ensayo no debe recibir una etiqueta más fuerte que sus datos: la realización y la coexistencia son conclusiones separadas de cualquier afirmación sobre la geometría completa de las cuencas.

Mapas de retorno del flujo

Una sección de Poincaré permite comparar estos mecanismos sin conservar todos los puntos de la trayectoria. Se elige una superficie transversal

$$\Sigma=\{\mathbf{x}:h(\mathbf{x})=0\}$$

y una orientación, por ejemplo $\dot h>0$. El mapa de retorno $P$ envía cada cruce al siguiente. Un ciclo límite produce un punto fijo de $P$; una órbita que da varias vueltas antes de cerrar produce un ciclo del mapa; un atractor caótico puede dejar una nube estructurada. La reducción pierde el tiempo continuo entre cruces, por lo que se conserva además el tiempo de retorno $\tau_n=t_{n+1}-t_n$.

En Rössler, una sección que corte una vez el giro principal suele producir una banda estrecha y hace visible la reinyección. En Lorenz, una sección debe tratar con cuidado la alternancia de lóbulos: mezclar cruces con orientaciones opuestas puede superponer ramas que pertenecen a retornos distintos. En Sprott B, la sección se elige después de examinar el campo y verificar transversalidad; un plano que la órbita roza genera tiempos mal condicionados.

Numéricamente, el cruce no coincide casi nunca con un punto de la malla temporal. Se detecta un cambio de signo de $h$ y se interpola el estado del evento. Al refinar el paso se comparan coordenadas y tiempos de retorno. Si un algoritmo toma simplemente la muestra más cercana, el espesor aparente de la sección puede reflejar $h$, no la dinámica. También se excluye el transitorio y se declara el número de retornos retenidos: usar el mismo tiempo total no garantiza el mismo tamaño de muestra en los tres sistemas.

Protocolo numérico comparado

Integra con RK4 y comienza con $dt=0.01$:

1. Lorenz: $(10,28,8/3)$, estado inicial $(1,1,1)$, tiempo total $80$ y transitorio $20$.
2. Rössler: $(0.2,0.2,5.7)$, estado inicial $(0.1,0.1,0.1)$, tiempo total $400$ y transitorio $100$.
3. Sprott B: estado inicial $(0.1,0.1,0.1)$, tiempo total $200$ y transitorio $50$.

Guarda serie temporal, proyecciones $xy$, $xz$, $yz$ y trayectoria tridimensional. Calcula la divergencia a lo largo de la órbita y registra su promedio. Repite con $dt=0.005$ manteniendo los mismos tiempos físicos. Compara rangos, promedios y una sección definida antes de ejecutar.

La coincidencia punto a punto solo se espera durante un horizonte limitado. En un régimen sensible, dos integraciones pueden perder fase y aun conservar geometría y estadísticas similares. Por ello se comprueban acotación, distribuciones, retornos y diagnósticos tangentes. Una trayectoria acotada y atractiva tampoco basta para demostrar caos: un ciclo largo puede producir una imagen densa si se dibuja con demasiados puntos.

También se varía la condición inicial. Si distintas condiciones alcanzan regímenes diferentes, hay coexistencia y el protocolo debe identificar la cuenca muestreada. Si una trayectoria explota al reducir el paso o cambiar el integrador, se revisa la ecuación implementada, la escala y el horizonte antes de interpretar la figura.

Ejercicios comparativos de Lorenz, Rössler y Sprott B

1. Deriva la divergencia de Lorenz, Rössler y Sprott B e indica qué conclusión permite y cuál no.
2. Obtén los equilibrios de Lorenz y clasifica el origen para $\rho<1$ y $\rho>1$ mediante su polinomio característico.
3. Deduce la ecuación cuadrática de los equilibrios de Rössler y evalúala con $(a,b,c)=(0.2,0.2,5.7)$.
4. Verifica los equilibrios de Sprott B y calcula sus jacobianos.
5. Diseña una tabla que separe sistema, escala temporal, transitorio, paso, rango de ejes, divergencia media y observable de retorno.
6. Explica por qué dos proyecciones semejantes no demuestran que dos flujos sean equivalentes.

Una comparación satisfactoria no decide cuál atractor “parece más caótico”. Explica qué mecanismo revelan las ecuaciones, qué propiedad se calculó y qué parte de la descripción depende de una trayectoria finita.