Series temporales, espectros, recurrencia y dimensión

Información temporal y geométrica de una proyección

En un experimento suele medirse una sola cantidad $s(t)=h(\mathbf{x}(t))$: voltaje, posición, intensidad o concentración. Esa serie conserva el orden de las observaciones, pero puede superponer estados distintos del espacio de fases. El análisis temporal intenta recuperar regularidades mediante frecuencias, retornos y escalas. Ninguno de esos diagnósticos, aislado, certifica caos. Una señal ruidosa puede tener espectro ancho; una señal cuasiperiódica puede producir recurrencias complejas; un registro corto puede fingir una pendiente fractal.

Antes de calcular se documentan cinco decisiones: intervalo de muestreo $\Delta t$, duración $T$, variable observada, transitorio descartado y preprocesamiento. Restar la media, normalizar, filtrar o diezmar cambia el objeto analizado. Cada transformación debe conservarse en la bitácora y aplicarse de manera idéntica en las comparaciones.

Transformada rápida de Fourier de una serie muestreada

Para $N$ muestras $x_n=x(n\Delta t)$, la transformada discreta de Fourier es

$$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-2\pi i kn/N}, \qquad k=0,\ldots,N-1.$$

La frecuencia asociada al índice $k$ es

$$f_k=\frac{k}{N\Delta t}.$$

Como $T=N\Delta t$, el espaciado entre frecuencias es

$$\Delta f=\frac1T=\frac{1}{N\Delta t}.$$

La duración controla la resolución: duplicar $T$ reduce $\Delta f$ a la mitad. La máxima frecuencia no ambigua para muestreo uniforme es la de Nyquist,

$$f_N=\frac{1}{2\Delta t}.$$

Reducir $\Delta t$ eleva Nyquist, pero no mejora la resolución si $T$ permanece fijo. Estas dos escalas responden a preguntas distintas y deben aparecer en cualquier informe espectral.

Si una sinusoidal de frecuencia $f_0$ se muestrea por debajo de dos puntos por ciclo, sus muestras pueden coincidir con una frecuencia más baja. Para una frecuencia de muestreo $f_s=1/\Delta t$, el alias se obtiene plegando $f_0$ alrededor de múltiplos de $f_s$. No existe un procedimiento que recupere desde esas muestras la frecuencia original sin información adicional. El remedio es filtrar antes de muestrear y elegir $f_s$ según el ancho de banda físico, no solo según la velocidad del integrador.

Ventanas, fuga y densidad espectral

La DFT trata el bloque finito como si se repitiera periódicamente. Si los extremos no coinciden, aparece una discontinuidad artificial y la energía de un tono se reparte entre muchos bins: fuga espectral. Multiplicar la serie por una ventana suave reduce esa discontinuidad, pero ensancha el lóbulo principal y modifica amplitudes. No hay una ventana universalmente mejor; se elige según si interesa separar frecuencias cercanas, estimar amplitud o reducir lóbulos laterales.

El periodograma estima potencia mediante $|X_k|^2$, con la normalización apropiada. La densidad espectral de Welch divide la serie en segmentos, aplica una ventana a cada uno y promedia sus periodogramas. El promedio reduce varianza a costa de resolución. Por eso deben declararse longitud de segmento, solapamiento, ventana, detrending y unidades. Una gráfica denominada “espectro” sin estos datos es difícil de reproducir.

Supongamos $\Delta t=0.01$ y $T=100$. Entonces $N=10\,000$, $\Delta f=0.01$ y $f_N=50$ en las unidades inversas del tiempo. Si se usa $\Delta t=0.005$ manteniendo $T=100$, ahora $N=20\,000$ y $f_N=100$, pero $\Delta f$ sigue siendo $0.01$. Si en cambio se mantiene $\Delta t=0.01$ y se duplica $T$, la resolución pasa a $0.005$ y Nyquist no cambia.

Picos discretos y sus armónicos son compatibles con periodicidad. Un conjunto de combinaciones lineales de dos frecuencias puede indicar cuasiperiodicidad. Una banda continua puede acompañar caos, pero también ruido, modulación, transitorios o una ventana mal elegida. El espectro se contrasta con retrato de fase, recurrencia y sensibilidad.

Recurrencia aproximada en el espacio de fases

Dos estados son recurrentes cuando regresan cerca en el espacio de fases. Para una secuencia de vectores $\mathbf{x}_i$, la matriz de recurrencia se define como

$$R_{ij} =\Theta\!\left(\varepsilon- \|\widetilde{\mathbf{x}}_i-\widetilde{\mathbf{x}}_j\|\right),$$

donde $\widetilde{\mathbf{x}}$ indica estados normalizados, $\varepsilon$ es el umbral y $\Theta$ vale uno si su argumento es no negativo. La diagonal $R_{ii}=1$ es trivial. Diagonales paralelas indican segmentos que evolucionan de forma semejante durante varios pasos; líneas verticales u horizontales largas reflejan permanencia cerca de una región; bloques separados pueden mostrar visitas alternadas a distintos sectores.

La matriz depende radicalmente de la escala de cada variable. Si $z$ tiene un rango cien veces mayor que $x$, dominará una distancia euclidiana sin normalización. También depende de $\varepsilon$: un umbral pequeño produce una matriz casi vacía y uno grande, casi llena. Para comparar casos se puede ajustar $\varepsilon$ hasta mantener una tasa de recurrencia común,

$$RR=\frac{1}{N^2}\sum_{i,j}R_{ij},$$

por ejemplo $5\,\%$. Se excluye o reporta la diagonal principal y puede establecerse una ventana de Theiler para no contar como retornos los pares temporalmente vecinos.

Reconstrucción de estados mediante retardos

Cuando solo se dispone de $s_n$, se forman vectores de retardo

$$\mathbf{y}_n= (s_n,s_{n-\tau},s_{n-2\tau},\ldots,s_{n-(m-1)\tau}).$$

El retardo $\tau$ debe evitar dos extremos: si es demasiado pequeño, las coordenadas son casi iguales y la nube se concentra cerca de la diagonal; si es demasiado grande, pueden perder relación dinámica. La dimensión de embebimiento $m$ se aumenta hasta que la geometría o el observable de interés deje de cambiar sustancialmente.

La teoría de reconstrucción establece condiciones bajo las cuales una observación genérica conserva la dinámica en un espacio de dimensión suficiente. Un registro real agrega longitud finita, ruido y muestreo, de modo que el teorema no elige automáticamente $\tau$ ni $m$. Alligood, Sauer y Yorke presentan coordenadas de retardo y embebimiento para relacionar series y geometría Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: cap. 13, §§13.1–13.3 .

En una práctica se comparan varios retardos usando autocorrelación o información mutua como guía, y varias dimensiones mediante vecinos falsos o estabilidad de invariantes. Estas técnicas producen diagnósticos, no permisos automáticos para interpretar cualquier nube como atractor.

Hilborn convierte esa advertencia en una secuencia cuantitativa: reconstruir, variar la dimensión de embebimiento, excluir vecinos temporales y comprobar si la pendiente estimada se estabiliza al aumentar la cantidad de datos. Una cifra aislada no permite saber si se midió la geometría, la continuidad temporal o el ruido Hilborn, 2000 Robert C. Hilborn (2000) Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers 2.ª ed. · Oxford University Press Ubicación consultada: cap. 9, §§9.2 y 9.7–9.8, pp. 320–367; cap. 10, §§10.2–10.4, pp. 376–398 Abrir fuente .

Dimensión de Hausdorff y cubiertas

La dimensión de caja usa una retícula cómoda para calcular. La dimensión de Hausdorff parte de todas las cubiertas posibles. Para $s\ge0$ y una escala $\delta>0$, se define el contenido

$$\mathcal H^s_\delta(E)= \inf\left\{ \sum_i(\operatorname{diam}U_i)^s: E\subseteq\bigcup_i U_i,\qquad \operatorname{diam}U_i\le\delta \right\}.$$

Al hacer $\delta\to0$ se obtiene la medida de Hausdorff $\mathcal H^s(E)$. Cuando aumenta $s$, el costo de los conjuntos pequeños cae. Existe un valor crítico donde la medida pasa de infinito a cero:

$$\dim_H(E) =\inf\{s:\mathcal H^s(E)=0\} =\sup\{s:\mathcal H^s(E)=\infty\}.$$

No se trata de «contar cajas con mayor precisión». La infimización permite cubiertas de tamaños y formas distintas, por eso la definición es estable bajo muchas transformaciones donde una retícula fija resulta torpe.

Para el conjunto ternario de Cantor, en la etapa $n$ hay $2^n$ intervalos de diámetro $3^{-n}$. Si $s=\log2/\log3$,

$$\sum_{i=1}^{2^n}(3^{-n})^s =2^n3^{-ns}=1.$$

Esta cubierta demuestra que la medida crítica no puede crecer sin control y da la cota superior $\dim_H K\le s$. La cota opuesta requiere mostrar que ninguna cubierta más ingeniosa reduce demasiado la suma; se obtiene distribuyendo masa uniformemente entre los intervalos y acotando la masa de cada conjunto por una potencia de su diámetro. Juntas, ambas partes dan $\dim_HK=\log2/\log3$. Falconer construye la medida, el salto crítico y los métodos de cota antes de aplicarlos a conjuntos autosimilares Falconer, 2014 Kenneth Falconer (2014) Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications 3.ª ed. · Wiley Ubicación consultada: cap. 3, §§3.1–3.3; cap. 9, §§9.1–9.3 .

Las tres dimensiones usadas en esta unidad contestan preguntas relacionadas, pero no idénticas:

Dimensión	Objeto de entrada	Operación de escala	Riesgo al estimarla
Hausdorff $D_H$	conjunto matemático	infimiza sobre cubiertas	reemplazar la definición por una regresión
caja $D_0$	conjunto o nube	cuenta cajas ocupadas	rango corto, orientación y saturación
correlación $D_2$	muestra con medida	cuenta pares próximos	vecinos temporales, ruido y pocos pares

Dimensión de caja y ley de escala

La dimensión de caja de un conjunto se estima cubriéndolo con cajas de lado $\varepsilon$ y contando cuántas contienen al menos un punto:

$$D_0=\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\log N(\varepsilon)}{\log(1/\varepsilon)}.$$

Para datos finitos no existe el límite. Se busca una ventana de escalas donde la gráfica log–log sea aproximadamente lineal. En escalas grandes hay pocas cajas y se pierde detalle; en escalas pequeñas cada punto puede ocupar su propia caja y el conteo refleja tamaño de muestra o ruido.

La suma de correlación usa distancias entre pares:

$$C(r)= \frac{2}{N(N-1)} \sum_{i<j} \mathbf{1}\!\left( \|\mathbf{y}_i-\mathbf{y}_j\|<r \right).$$

Si $C(r)\sim r^{D_2}$ en una ventana intermedia, entonces

$$D_2\approx \frac{d\log C(r)}{d\log r}.$$

La pendiente local ayuda a encontrar una meseta; ajustar una recta sobre todo el dominio suele mezclar falta de pares, posible región de escala y saturación. También se excluyen pares temporalmente cercanos mediante una ventana de Theiler, porque esos puntos son próximos por continuidad y pueden sesgar $C(r)$.

Strogatz explica las dimensiones de caja y correlación como respuestas a preguntas de escala distintas Strogatz, 2015 Steven H. Strogatz (2015) Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering 2.ª ed. · Westview Press Ubicación consultada: §§11.4–11.5 . Sprott relaciona además estimaciones de dimensión con el espectro de Lyapunov Sprott, 2010 Julien Clinton Sprott (2010) Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows World Scientific Ubicación consultada: §1.11 . La coincidencia aproximada entre métodos es un control útil, pero no se espera igualdad exacta en registros cortos.

Intervalo de escalas de la dimensión observada

Un objeto físico no continúa hasta $\varepsilon=0$. La resolución del sensor, el tamaño de píxel o el paso de muestreo fija un corte inferior; el tamaño total del objeto fija uno superior. Si una longitud medida con regla $\varepsilon$ cumple

$$L(\varepsilon)\propto\varepsilon^{1-D},$$

entonces reducir la regla a la mitad multiplica la longitud por $2^{D-1}$. Para $D=1.25$, el factor es aproximadamente $1.189$: aparece cerca de un $19\,\%$ más de longitud por cada refinamiento binario dentro del rango de escala. Fuera de ese rango no hay razón para extrapolar la misma potencia.

Mandelbrot usa costas, curvas de Koch y objetos escalantes para mostrar que la medida depende de la resolución, y distingue dimensión matemática de dimensión efectiva de un objeto físico Mandelbrot, 1997 Benoît B. Mandelbrot (1997) La geometría fractal de la naturaleza 1.ª ed. en español; traducción de Josep Llosa · Tusquets Editores Ubicación consultada: cap. 3, pp. 31–38; cap. 5, pp. 49–59; cap. 12, pp. 159–168 . En datos, esa idea se traduce en informar los puntos extremos del ajuste, el número de escalas y la variación de la pendiente local; no basta con escribir el valor de $R^2$.

Controles para estimar pendientes de escala

Para cada estimador se evalúa esta secuencia de sensibilidad:

1. conservar el registro original y repetir con dos longitudes menores;
2. variar resolución o radios en una malla logarítmica;
3. mostrar la pendiente local además del ajuste global;
4. mover moderadamente los extremos del intervalo elegido;
5. en dimensión de correlación, aumentar $m$ y la ventana de Theiler;
6. repetir sobre datos sustitutos o sobre una señal de dimensión conocida.

Steeb reúne análisis de series y programas de fractales en capítulos separados. La conexión útil no es copiar esos programas, sino hacer explícito que el mismo código debe aceptar longitud, escala, embebimiento y exclusión temporal como parámetros, y devolver también los conteos usados en la regresión Steeb, 2008 Willi-Hans Steeb (2008) The Nonlinear Workbook: Chaos, Fractals, Cellular Automata, Neural Networks, Genetic Algorithms, Gene Expression Programming, Support Vector Machine, Wavelets, Hidden Markov Models, Fuzzy Logic 4.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 2, Time Series Analysis; cap. 9, Fractals . Si dos implementaciones producen la misma pendiente pero distintos conteos, la coincidencia final no valida el procedimiento.

En ciencias de la vida también se debe separar geometría espacial de irregularidad temporal. Para una imagen de una red vascular, $N(\varepsilon)$ cuenta cajas ocupadas; para una serie de intervalos entre eventos, una ley de escala describe fluctuaciones a través de ventanas temporales. Ambas pueden producir una recta log–log, pero las unidades, el mecanismo y los controles son distintos. Liebovitch desarrolla autosimilitud espacial y temporal, relaciones de escala, varias dimensiones y propiedades estadísticas dentro de ejemplos biológicos Liebovitch, 1998 Larry S. Liebovitch (1998) Fractals and Chaos Simplified for the Life Sciences 1.ª ed. · Oxford University Press Ubicación consultada: parte I, §§1.2–1.5, pp. 12–107 .

Protocolo para series, espectros, recurrencia y dimensión

Genera Lorenz clásico con RK4, $h=0.01$, tiempo total $220$ y transitorio $20$. Conserva $(x,y,z)$ cada cinco pasos y, por separado, la serie completa de $x$.

1. Calcula Welch para $x$ y registra todos sus parámetros.
2. Repite con tiempo retenido $100$ y después con $h=0.02$. Explica por separado el cambio en resolución y Nyquist.
3. Normaliza $(x,y,z)$ por componente y construye matrices de recurrencia con tasas de $2\,\%$, $5\,\%$ y $10\,\%$.
4. Reconstruye desde $x$ con al menos tres pares $(\tau,m)$.
5. Estima $C(r)$ para varias $m$, aplica una ventana de Theiler y presenta la pendiente local.

No elijas la región de escala únicamente porque da el valor esperado. Declara el intervalo de $r$, número de pares, criterio de linealidad y variación al cambiar $m$, longitud y ventana de Theiler. Si no aparece una meseta, el resultado correcto es informar que esos datos no sostienen una estimación estable.

Ejercicios de muestreo, recurrencia y dimensión

1. Calcula $\Delta f$ y Nyquist para $N=4096$ y $\Delta t=0.02$.
2. Encuentra el alias de una señal de $70$ Hz muestreada a $100$ Hz y explica por qué las muestras no distinguen ambas frecuencias.
3. Compara ventana rectangular y Hann en términos de fuga, ancho de lóbulo y amplitud.
4. Construye a mano la matriz de recurrencia de cuatro puntos escalares para dos umbrales.
5. Explica por qué debe normalizarse una trayectoria tridimensional antes de calcular distancias.
6. Diseña una figura de dimensión que muestre $C(r)$, intervalo de ajuste, pendiente local y extremos excluidos.

Espectro, recurrencia y dimensión deben leerse como transformaciones reproducibles del mismo registro, con sus parámetros y sus fallos posibles, no como tres etiquetas independientes de “caos”.