Shadowing, precisión y validación numérica del caos

Una trayectoria calculada no es una sucesión exacta

Sea $x_{n+1}=F(x_n)$ un mapa. En una computadora se obtiene una sucesión $\{\tilde x_n\}$ que satisface

$$\tilde x_{n+1}=F(\tilde x_n)+r_n,$$

donde $r_n$ reúne redondeo, aproximaciones de funciones y decisiones del algoritmo. Si $\|r_n\|\le\varepsilon$, la sucesión se llama una $\varepsilon$-pseudoórbita. En un integrador de ecuaciones diferenciales hay además error de truncamiento, control adaptativo y localización aproximada de eventos. Guardar muchos decimales en el archivo de salida no elimina ninguno de estos errores.

En un régimen sensible, una perturbación inicial pequeña puede crecer aproximadamente como

$$\|\delta x(t)\|\approx \|\delta x(0)\|e^{\lambda t}$$

durante una ventana donde la dinámica tangente es válida. Si se acepta un error macroscópico $\Delta$ y el error efectivo inicial es $\delta$, el horizonte aproximado es

$$T_{\mathrm{pred}}\approx\frac1\lambda\log\frac{\Delta}{\delta}.$$

Ganar cifras aumenta el horizonte de forma logarítmica, no ilimitada. Duplicar la duración confiable puede requerir aumentar exponencialmente la precisión. Vallejo y Sanjuán desarrollan esta predictibilidad finita y muestran por qué una tasa promedio no describe todas las ventanas locales Vallejo, 2017 Juan C. Vallejo y Miguel A. F. Sanjuán (2017) Predictability of Chaotic Dynamics: A Finite-time Lyapunov Exponents Approach Springer International Publishing Ubicación consultada: caps. 2–4 y apéndice A Abrir fuente .

Ejemplo trabajado: cuántos bits sobreviven en el mapa duplicador

Considérese

$$F(x)=2x\pmod 1.$$

Antes de que la reducción módulo uno separe las representaciones en distintas ramas, una perturbación cumple

$$\delta x_n=2^n\delta x_0.$$

El exponente de Lyapunov es $\lambda=\log2$ por iteración. Si el error inicial es comparable con $2^{-52}$, escala de la mantisa binaria de doble precisión cerca de uno, entonces alcanza orden uno tras unas 52 iteraciones:

$$2^n2^{-52}\approx1 \quad\Longrightarrow\quad n\approx52.$$

Si se fija una tolerancia de separación $\Delta=10^{-3}$,

$$n\approx\frac{\log(10^{-3}/2^{-52})}{\log2}\approx42.$$

Este cálculo no garantiza exactamente 42 iteraciones para cualquier número flotante: el error se introduce en cada operación y el módulo cambia las ramas. Sí establece la escala correcta y permite detectar resultados imposibles, como afirmar coincidencia bit a bit durante millones de iteraciones sin usar una estructura exacta especial.

El mapa también revela una dificultad particular. Un número de punto flotante binario tiene una expansión finita; multiplicar repetidamente por dos desplaza sus bits y, en una implementación directa, puede terminar exactamente en cero. Ese ciclo numérico no representa la conducta de una condición inicial genérica respecto a la medida uniforme. Cambiar a mayor precisión solo retrasa el colapso. Para estadísticas de largo plazo se necesita estudiar el algoritmo y comparar representaciones, no confiar en la simplicidad de la ecuación.

Qué afirma el teorema de shadowing

En forma esquemática, un resultado de shadowing afirma que, para ciertos sistemas hiperbólicos, toda pseudoórbita con defectos suficientemente pequeños permanece cerca de alguna órbita exacta. Si

$$\|\tilde x_{n+1}-F(\tilde x_n)\|<\varepsilon,$$

existe un punto $y_0$ tal que

$$\|\tilde x_n-F^n(y_0)\|<\delta$$

durante el intervalo cubierto por el teorema, con una relación entre $\varepsilon$ y $\delta$. La órbita exacta que ensombrece el cálculo suele comenzar en $y_0\ne\tilde x_0$. Por eso shadowing no recupera la trayectoria exacta de la condición inicial escrita por el usuario.

Tampoco es una licencia universal para confiar en cualquier simulación caótica. Se requieren hipótesis como hiperbolicidad uniforme o variantes cuidadosamente formuladas. Sistemas con tangencias homoclínicas, exponentes cercanos a cero, singularidades o intermitencia pueden presentar tiempos de shadowing cortos o comportamiento no cubierto por el teorema elemental. El atractor clásico de Lorenz contiene un equilibrio singular y no debe etiquetarse sin más como una herradura uniformemente hiperbólica.

Alligood, Sauer y Yorke conectan shadowing con hiperbolicidad y explican el papel de las pseudoórbitas en experimentos computacionales Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: cap. 5 y apéndice B . La conclusión responsable tiene dos niveles: un teorema puede justificar cercanía a alguna órbita verdadera bajo hipótesis verificadas; una prueba de refinamiento solo documenta estabilidad de ciertos resultados numéricos.

Error hacia adelante, residuo y error hacia atrás

El error hacia adelante compara la salida calculada con la solución exacta deseada. En caos crece rápidamente y deja de ser informativo a largo plazo. El residuo mide cuánto incumple el resultado la ecuación, como $r_n$ en la pseudoórbita. El error hacia atrás pregunta si el cálculo es la solución exacta de un problema ligeramente perturbado. Son diagnósticos complementarios.

Para una EDO $\dot x=f(x)$, un método de orden $p$ tiene error local ideal $O(h^{p+1})$ y error global $O(h^p)$ en intervalos fijos bajo hipótesis regulares. En una trayectoria sensible, la constante efectiva crece con el tiempo. Observar orden $p$ en $t=1$ no autoriza extrapolar coordenadas fiables a $t=10^5$. Sí comprueba que la implementación entra en el régimen asintótico de convergencia sobre el caso probado.

Un error pequeño de coordenadas no garantiza un diagnóstico correcto. Los exponentes de Lyapunov requieren integrar la ecuación variacional y ortonormalizar; los tiempos de escape son sensibles a la localización de eventos; una sección de Poincaré exige interpolar cruces; y una medida empírica requiere suficiente mezcla. Cada observable necesita su propio estudio de convergencia.

Jerarquía de validación

Una validación convincente no consiste en ejecutar dos veces el mismo código. Debe introducir diferencias que expongan fallos independientes.

1. Casos de control

Antes del sistema caótico se prueba el integrador con soluciones conocidas: decaimiento exponencial, oscilador armónico o mapa lineal. Se verifica el orden observado y el manejo de eventos. Esta fase detecta errores de signo, variables intercambiadas y tiempos mal escalados.

2. Refinamiento del algoritmo

Se repite con $h$, $h/2$ y $h/4$, o con tolerancias decrecientes. La comparación se hace en ventanas temporales crecientes y para observables definidos. Si dos trayectorias divergen después del horizonte previsto pero sus distribuciones coinciden dentro de incertidumbre, el resultado estadístico puede ser estable aunque las coordenadas no lo sean.

3. Precisión y formulaciones independientes

Se compara doble precisión con precisión extendida o arbitraria, y cuando sea posible dos métodos de familias distintas. Usar RK4 y otro código RK4 copiado de la misma fuente no ofrece independencia suficiente. En sistemas conservativos se incluye un método simpléctico; en mapas invertibles se comprueba retorno mediante $F^{-1}$.

4. Restricciones estructurales

Se monitorean identidades que no dependen de la trayectoria exacta: divergencia, determinante, simetrías, restricciones de energía, suma esperada de exponentes o positividad de variables. La violación sistemática de una identidad exacta invalida el resultado aunque la figura sea familiar.

5. Incertidumbre del diagnóstico

Se informan ventanas, transitorios y variación entre bloques o condiciones iniciales. Ott subraya que los exponentes a tiempo finito fluctúan; una estimación positiva sin convergencia ni distribución de fluctuaciones es evidencia incompleta Ott, 2002 Edward Ott (2002) Chaos in Dynamical Systems 2.ª ed. · Cambridge University Press Ubicación consultada: caps. 2 y 9 .

Ejemplo de informe reproducible con Lorenz

Para Lorenz clásico se fija $(\sigma,\rho,\beta)=(10,28,8/3)$, inicio $(1,1,1)$ e intervalo $0\le t\le100$. Se comparan RK4 con pasos $0.01$, $0.005$ y $0.0025$, y un integrador adaptativo con tolerancias declaradas. Primero se mide el orden en $0\le t\le1$ contra una referencia de alta precisión. Luego se calcula el instante en que cada par excede una distancia $10^{-3}$. Finalmente, después de descartar $t<20$, se comparan media, varianza, histogramas, tiempos de residencia en cada lóbulo y exponente máximo por bloques.

El informe no elige una trayectoria como “la verdadera” a tiempo largo. Declara hasta cuándo hay acuerdo de coordenadas y qué estadísticas permanecen estables. Si el exponente cambia al reducir tolerancias o duplicar la duración, se mantiene como estimación no convergida. Si las medias coinciden pero los tiempos de residencia no, se reportan ambos resultados y no se promedia la discrepancia.

Ejercicios de precisión y shadowing

1. Deriva el horizonte del mapa duplicador para errores iniciales $10^{-8}$, $10^{-12}$ y $2^{-52}$ con umbral $10^{-2}$. Compara la fórmula con una implementación de alta precisión.
2. Itera el mapa duplicador en doble precisión desde diez números elegidos al azar. Registra si terminan en cero y explica el resultado a partir de la representación binaria finita.
3. Construye una pseudoórbita de un mapa lineal contractivo con ruido acotado. Encuentra una cota explícita para su distancia a una órbita exacta y contrástala numéricamente.
4. Para Lorenz, estima el tiempo de separación de dos pasos de RK4 y compáralo con $\lambda^{-1}\log(\Delta/\delta)$. Identifica cómo elegiste $\delta$ y por qué es solo una aproximación.
5. Diseña un caso de control con solución exacta para verificar el orden de un integrador. Presenta una tabla de errores y la pendiente entre refinamientos.
6. Compara coordenadas, media, varianza y un histograma para dos integradores de Lorenz. Determina qué resultados pierden acuerdo primero y relaciona esa secuencia con sensibilidad y muestreo.
7. Explica por qué “una órbita verdadera cercana” no significa “la órbita verdadera de la condición inicial introducida”. Incluye un diagrama conceptual con $x_0$, $y_0$ y la pseudoórbita.
8. Redacta una lista de hipótesis que tendrías que justificar antes de invocar un teorema de shadowing en un sistema concreto con tangencias o exponentes cercanos a cero.