Proyecto comparativo: respuesta entera y memoria fraccionaria

El proyecto final compara dos modelos que comparten una pregunta física y difieren en su ley de evolución. La comparación no consiste en superponer curvas elegidas después de calcular. Debe fijar variables, unidades, escala, datos iniciales, observable y criterio de error antes de variar el orden. El resultado esperado es un argumento reproducible: qué cambió, por qué cambió y hasta dónde lo sostienen el análisis y la simulación.

Observable y pregunta comparativa

Una pregunta útil tiene esta forma:

¿Cómo cambia el tiempo necesario para alcanzar una fracción dada del equilibrio cuando una relajación exponencial se sustituye por una relajación de Caputo, manteniendo estado inicial y escala temporal?

El observable puede ser tiempo de cruce, amplitud de un modo, segundo momento, número de oscilaciones o error respecto de una referencia. “Ver qué ocurre al cambiar $q$” no basta, porque no especifica qué se medirá ni qué permanecerá fijo.

La comparación puede construirse alrededor de tres problemas con observables distintos:

1. Relajación: exponencial frente a Mittag-Leffler.
2. Oscilación: ecuación de segundo orden frente a oscilador de Caputo con $1<\alpha\le2$.
3. Difusión: gaussiana frente a propagador de Mainardi con $0<\alpha<1$.

Das proporciona las soluciones transformadas y los modelos de difusión-onda Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: caps. 6-8, pp. 255-378 . Herrmann desarrolla las interpretaciones físicas de fricción, oscilación y no localidad Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: caps. 4, 6 y 8, pp. 33-42, 69-76 y 87-106 . Oliveira ofrece problemas que conectan operadores, transformadas y memoria Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: caps. 5-6, pp. 169-306 .

Matriz de decisión del proyecto

Antes de escoger la ruta, se puntúan cuatro aspectos: disponibilidad de solución de referencia, claridad del observable, costo de la discretización y fuerza de la interpretación física. La relajación tiene referencia directa y costo bajo; resulta adecuada para auditar un algoritmo. El oscilador añade dos datos iniciales, cruces por cero y una proyección de fase, por lo que exige mayor cuidado al hablar de estado. La difusión incorpora malla espacial, condiciones de frontera y conservación; es la ruta más completa y también la más difícil de verificar.

La elección debe ajustarse al tipo de conclusión buscada. Si la pregunta trata sobre error del operador, la relajación evita confundirlo con error espacial. Si trata sobre memoria y geometría observada, el oscilador permite comparar series temporales y proyecciones. Si trata sobre escalamiento, la difusión ofrece el segundo momento y la variable de similitud.

Una tabla previa puede contener:

Ruta	Referencia	Observable principal	Control adicional
Relajación	$E_q[-(t/\tau)^q]$	tiempo de cruce	cola y residual
Oscilación	$E_{\alpha,1}$ y $E_{\alpha,2}$	cruces por cero	datos iniciales
Difusión	perfil de Mainardi	segundo momento	masa y error espacial

Cambiar de ruta después de ver resultados requiere registrarlo como una decisión exploratoria. No es incorrecto explorar, pero el informe distingue el análisis planificado del hallazgo posterior para no presentar una selección favorable como si hubiera sido el criterio original.

Contrato dimensional para la comparación

Para la ruta de relajación se escriben

$$\frac{dx_1}{dt}=-\tau^{-1}x_1, \qquad x_1(0)=x_0,$$

y

$${}^{C}D_{0+}^{q}x_q=-\tau^{-q}x_q, \qquad x_q(0)=x_0, \qquad 0<q<1.$$

Las soluciones son

$$x_1(t)=x_0e^{-t/\tau}, \qquad x_q(t)=x_0E_q[-(t/\tau)^q].$$

La escala $\tau$ tiene unidades de tiempo en ambas expresiones. Si se usara el mismo número $\lambda$ con unidades $T^{-1}$ en las dos ecuaciones, el modelo fraccionario quedaría dimensionalmente inconsistente. El contrato debe incluir:

• variable y unidades;
• operador, lado, terminal y orden;
• parámetros con unidades;
• dato inicial o función de historia;
• intervalo y malla;
• observable principal;
• referencia analítica o numérica;
• regla de evaluación de funciones especiales.

La inicialización no es un detalle de implementación. Cambiar el terminal o descartar una historia previa cambia el operador, como muestra el tratamiento de Das Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 5, §§5.2-5.11, pp. 210-237 .

Tiempo para conservar la mitad del estado

Normalicemos $x_0=1$ y $\tau=1$. En el modelo entero, el tiempo $t_{1/2}$ satisface

$$e^{-t_{1/2}}=\frac12,$$

de modo que

$$t_{1/2}^{(1)}=\log2\approx0.6931.$$

Para orden $q$ se resuelve

$$E_q(-t_{1/2}^q)=\frac12.$$

En general no se despeja con funciones elementales. Se define

$$F_q(t)=E_q(-t^q)-\frac12$$

y se localiza una raíz positiva mediante bisección. El procedimiento reproducible es:

1. evaluar $E_q$ con tolerancia declarada;
2. buscar un intervalo $[t_L,t_R]$ con signos opuestos;
3. bisecar hasta que $t_R-t_L$ sea menor que la tolerancia temporal;
4. repetir con mayor precisión en Mittag-Leffler;
5. comprobar que el residual $|F_q(t_{1/2})|$ sea pequeño.

El tiempo de mitad resume la región intermedia, pero no describe la cola. Se añade un segundo observable, por ejemplo

$$R_q(T)=\frac{x_q(T)}{x_1(T)},$$

en un $T$ fijado antes del cálculo. Así se evita escoger un tiempo que exagere la diferencia después de ver las curvas.

La entrega debe explicar que un cambio en $t_{1/2}$ es un resultado del modelo normalizado, no una propiedad universal de todos los procesos con memoria.

Verificación separada de solución y algoritmo

La referencia $E_q[-(t/\tau)^q]$ también se evalúa numéricamente. Por eso la verificación tiene dos niveles:

1. Evaluación de la referencia. Comparar dos tolerancias o dos representaciones de Mittag-Leffler y recuperar $E_1(-t)=e^{-t}$.
2. Discretización del operador. Comparar la suma GL o la cuadratura elegida contra esa referencia con $h$, $h/2$ y $h/4$.

Si ambas usan el mismo código o la misma aproximación interna, pueden compartir un error. La comprobación más fuerte emplea caminos independientes: serie o biblioteca para la referencia y pesos GL/RL para la trayectoria.

Funciones de cada figura

El informe incluye, como mínimo, cuatro visuales:

1. Respuesta completa: $x(t)/x_0$ contra $t/\tau$ para orden uno y dos órdenes fraccionarios.
2. Origen ampliado: misma normalización en una ventana corta, para mostrar la expansión inicial.
3. Cola: escala apropiada para distinguir decaimiento exponencial y algebraico.
4. Convergencia: error máximo o en el observable contra $h$.

Cada pie debe indicar ecuación, operador, órdenes, terminal, parámetros, intervalo, paso y método. El color no sustituye etiquetas. Si se emplea una escala logarítmica, debe señalarse y justificarse.

Para la ruta de oscilación se sustituyen origen y cola por cruces por cero, envolvente y recuperación del caso $\alpha=2$. En difusión se muestran normalización, perfiles reescalados por $t^{\alpha/2}$ y segundo momento.

Separación de hechos, resultados e interpretación

Conviene organizar la conclusión en cuatro niveles:

Nivel	Ejemplo admisible
Identidad analítica	La transformada del modelo conduce a $E_q[-(t/\tau)^q]$.
Resultado numérico	En las mallas ensayadas, el error disminuyó al refinar el paso.
Comparación del modelo	Con la normalización elegida, cambió el tiempo de cruce y apareció una cola más lenta.
Hipótesis física	El comportamiento podría representar un material con memoria de potencia; requiere datos y modelos alternativos.

No debe saltarse del segundo nivel al cuarto. Una trayectoria finita no demuestra estabilidad, causalidad material ni superioridad del modelo. Herrmann aporta motivación física para la no localidad, pero la inferencia sobre un experimento concreto debe justificarse aparte Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 8, §8.3, pp. 100-106 .

Suma de memoria en ABM–PECE

Para un problema de Caputo de orden $0<q<1$,

$${}^{C}D_{0+}^{q}y(t)=f(t,y(t)), \qquad y(0)=y_0,$$

la ecuación diferencial equivale a la ecuación integral de Volterra

$$y(t)=y_0+\frac{1}{\Gamma(q)} \int_0^t(t-s)^{q-1}f(s,y(s))\,ds.$$

ABM–PECE aproxima esa integral sobre una malla uniforme $t_n=nh$. El predictor de Adams–Bashforth usa únicamente valores ya calculados:

$$y_{n+1}^{P}=y_0+\frac{h^q}{\Gamma(q+1)} \sum_{j=0}^{n}b_{j,n+1}f(t_j,y_j),$$

con

$$b_{j,n+1}=(n+1-j)^q-(n-j)^q.$$

Después se evalúa $f(t_{n+1},y_{n+1}^{P})$ y se aplica el corrector de Adams–Moulton:

$$y_{n+1}=y_0+\frac{h^q}{\Gamma(q+2)} \left[ f(t_{n+1},y_{n+1}^{P})+ \sum_{j=0}^{n}a_{j,n+1}f(t_j,y_j) \right].$$

Para $1\le j\le n$, los pesos interiores son

$$a_{j,n+1}=(n-j+2)^{q+1}-2(n-j+1)^{q+1}+(n-j)^{q+1},$$

y el peso del extremo inicial se trata por separado:

$$a_{0,n+1}=n^{q+1}-(n-q)(n+1)^q.$$

Las siglas PECE describen el orden de la operación: predecir, evaluar la función en el estado predicho, corregir y evaluar el estado corregido para conservarlo en el historial. Diethelm, Ford y Freed derivan este predictor–corrector y analizan su aproximación Diethelm, 2002 Kai Diethelm, Neville J. Ford y Alan D. Freed (2002) A Predictor-Corrector Approach for the Numerical Solution of Fractional Differential Equations Nonlinear Dynamics 29, 3-22 Ubicación consultada: artículo completo, DOI 10.1023/A:1016592219341 Abrir fuente . Sun, He y Wang muestran su uso en sistemas fraccionarios y el efecto práctico del paso Sun, 2022 Kehui Sun, Shaobo He y Huihai Wang (2022) Solution and Characteristic Analysis of Fractional-Order Chaotic Systems Springer Nature Singapore y Science Press Ubicación consultada: cap. 3, §§3.1-3.3, pp. 37-47; cap. 5, §§5.2-5.3, pp. 63-74 Abrir fuente .

Cada actualización contiene todos los valores $f(t_j,y_j)$ anteriores. Con $N$ pasos, una implementación directa requiere $O(N^2)$ operaciones y $O(N)$ datos almacenados. Recortar la suma, comprimir el kernel o aproximarlo mediante exponentiales reduce el costo, pero introduce otra aproximación: ya no es el mismo cálculo de historia completa.

El estudio de refinamiento conserva ecuación, orden, terminal, intervalo, parámetros y datos iniciales al comparar $h$, $h/2$ y $h/4$. Las soluciones se contrastan en tiempos comunes mediante una norma y mediante el observable del proyecto. Si existe una solución cerrada, se calcula

$$e_h=\max_n|y_h(t_n)-y_{\mathrm{ref}}(t_n)|, \qquad p_{\mathrm{obs}}=\log_2\!\left(\frac{e_h}{e_{h/2}}\right).$$

Cuando la referencia es una malla más fina, debe llamarse referencia numérica y no solución exacta. Una disminución regular de $e_h$ documenta convergencia observada para ese problema; no sustituye una demostración general ni controla por sí sola el error con que se evaluó Mittag–Leffler. Para órdenes $1<q<2$ aparece además el término inicial asociado con $y'(0)$, de modo que las fórmulas anteriores no se reutilizan omitiendo ese dato.

Sector de estabilidad lineal

Sea un sistema autónomo conmensurable de Caputo

$${}^{C}D_{0+}^{q}\mathbf{x}=\mathbf{f}(\mathbf{x}), \qquad 0<q<1,$$

y un equilibrio $\mathbf{x}^{*}$ tal que $\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*})=\mathbf{0}$. Si $\mathbf{f}$ es diferenciable cerca del equilibrio, la perturbación $\boldsymbol{\xi}=\mathbf{x}-\mathbf{x}^{*}$ conduce al sistema lineal

$${}^{C}D_{0+}^{q}\boldsymbol{\xi}=J(\mathbf{x}^{*})\boldsymbol{\xi}.$$

Para este sistema lineal finito, autónomo, de coeficientes constantes y orden común, el criterio sectorial de Matignon establece estabilidad asintótica cuando todos los autovalores cumplen

$$|\arg(\lambda_k)|>\frac{q\pi}{2}.$$

La desigualdad es estricta. Para $q=1$ recupera el semiplano izquierdo; para $0<q<1$ excluye una cuña más estrecha alrededor del eje real positivo. En el problema no lineal, la condición aplicada al jacobiano sustenta una conclusión local bajo las hipótesis de regularidad de la linealización. Un autovalor dentro de la cuña prohibida señala inestabilidad local, mientras que un autovalor sobre la frontera angular exige un análisis adicional. Sun, He y Wang emplean esta geometría espectral al estudiar sistemas caóticos fraccionarios Sun, 2022 Kehui Sun, Shaobo He y Huihai Wang (2022) Solution and Characteristic Analysis of Fractional-Order Chaotic Systems Springer Nature Singapore y Science Press Ubicación consultada: cap. 5, §5.3, pp. 67-74 Abrir fuente .

El criterio no demuestra estabilidad global, existencia de un atractor ni caos. Tampoco se traslada sin modificación a órdenes inconmensurables, retardos, operadores distribuidos o modelos no suaves. Además, clasifica el sistema continuo, no la estabilidad del algoritmo ABM–PECE: una trayectoria que diverge puede revelar un equilibrio inestable, un paso demasiado grande o un error de implementación, y esas posibilidades se separan mediante análisis espectral y refinamiento.

En la relajación se contrasta una exponencial con Mittag–Leffler; en la oscilación se comparan cruces, envolvente y datos iniciales; en difusión se examinan perfil, masa y segundo momento. Das sustenta las ecuaciones y los problemas de difusión–onda; Herrmann aporta la interpretación física; Oliveira desarrolla aplicaciones calculadas Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 6, pp. 223-306 . Los modelos entero y fraccionario deben compartir escala, datos y observable para que la diferencia pueda atribuirse a la ley de evolución.

Comparación entera–fraccionaria reproducible

El proyecto termina con estos elementos:

• pregunta y observable definidos antes del barrido;
• derivación del modelo entero y fraccionario;
• tabla de unidades y datos iniciales;
• algoritmo o pseudocódigo de los pesos;
• prueba con solución conocida;
• tres refinamientos y medición de costo;
• figuras con pies autosuficientes;
• tabla que separe resultados e hipótesis;
• referencias con capítulos y páginas;
• archivos de datos o parámetros suficientes para repetir el cálculo.

La reproducción se comprueba entregando ecuaciones, parámetros, datos y criterio de error suficientes para repetir las cifras. El resultado debe distinguir con claridad qué se derivó, qué se observó y qué permanece como pregunta física.