Kernels, terminal inferior e historia previa

En un operador fraccionario, “memoria” significa que el valor calculado en $t$ depende de una distribución de tiempos anteriores. Esa dependencia se define mediante un kernel, un intervalo de historia y una variable de integración. El orden modifica el peso relativo del pasado; el terminal inferior decide qué pasado pertenece al problema.

Ponderación temporal del kernel de Caputo

Para $0<q<1$,

$${}^{C}D_{a+}^{q}x(t) =\frac{1}{\Gamma(1-q)} \int_a^t(t-\tau)^{-q}x'(\tau)\,d\tau.$$

Si se define la edad $s=t-\tau$, el kernel es

$$K_q(s)=\frac{s^{-q}}{\Gamma(1-q)},\qquad s>0.$$

Dos rasgos se observan de inmediato. Cerca de $s=0$ el kernel es singular, aunque integrable para $0<q<1$; los cambios recientes reciben peso importante. Para edades grandes decae como una potencia, más lentamente que una exponencial. La historia remota conserva una contribución que depende de la señal integrada.

Das introduce kernels izquierdo y derecho y vincula su composición con la convolución Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 2, §2.17, pp. 82-86 . Herrmann sitúa esta no localidad dentro de una discusión física más amplia Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 8, §§8.1-8.3, pp. 87-106 .

El valor aislado de $K_q(s)$ no es una medida completa de memoria. Si se comparan órdenes, conviene calcular peso acumulado sobre una ventana $[0,T]$:

$$W_q(T)=\int_0^T K_q(s)\,ds =\frac{T^{1-q}}{\Gamma(2-q)}.$$

La integral cambia con $q$ y con $T$. Para comparar solo la forma puede usarse el kernel normalizado $\widehat K_q(s)=K_q(s)/W_q(T)$, declarando que esa normalización pertenece a la visualización y no a la definición original.

Terminal inferior e intervalo de memoria

Comparemos dos derivadas con terminales $a<b<t$:

$${}^{C}D_{a+}^{q}x(t) =\frac{1}{\Gamma(1-q)} \left[ \int_a^b(t-\tau)^{-q}x'(\tau)\,d\tau +\int_b^t(t-\tau)^{-q}x'(\tau)\,d\tau \right],$$

mientras que

$${}^{C}D_{b+}^{q}x(t) =\frac{1}{\Gamma(1-q)} \int_b^t(t-\tau)^{-q}x'(\tau)\,d\tau.$$

Por tanto,

$${}^{C}D_{a+}^{q}x(t)-{}^{C}D_{b+}^{q}x(t) =\frac{1}{\Gamma(1-q)} \int_a^b(t-\tau)^{-q}x'(\tau)\,d\tau.$$

La diferencia es la historia descartada al mover el terminal. Reiniciar un cálculo en $b$ conservando solo $x(b)$ no reproduce, en general, el problema iniciado en $a$. Para hacerlo se necesita transportar una función de historia o un término de inicialización equivalente. Das dedica su capítulo 5 a esas contribuciones Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 5, §§5.2-5.11, pp. 210-237 .

Rampa anterior al registro

Sea

$$x(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ ct, & t\ge 0, \end{cases}$$

y supongamos que se calcula en un tiempo $t>b>0$. Con terminal $0$, $x'(\tau)=c$ para $0<\tau<t$:

$${}^{C}D_{0+}^{q}x(t) =\frac{c}{\Gamma(1-q)}\int_0^t(t-\tau)^{-q}\,d\tau =\frac{c}{\Gamma(2-q)}t^{1-q}.$$

Si el registro se reinicia en $b$ y se usa el mismo valor $x(b)=cb$, la derivada calculada desde $b$ es

$${}^{C}D_{b+}^{q}x(t) =\frac{c}{\Gamma(2-q)}(t-b)^{1-q}.$$

La diferencia

$$\frac{c}{\Gamma(2-q)} \left[t^{1-q}-(t-b)^{1-q}\right]$$

no se recupera con el estado escalar $x(b)$. Proviene de cómo evolucionó la señal entre $0$ y $b$. En un modelo físico, decidir que esa parte de la historia no importa equivale a introducir una hipótesis adicional.

Diferencias entre memoria distribuida, retardo y amortiguamiento

Una ecuación con retardo puntual,

$$\dot x(t)=F\bigl(x(t),x(t-\tau_d)\bigr),$$

consulta un instante específico. Para iniciar necesita una función definida en un intervalo como $[-\tau_d,0]$. Caputo integra continuamente todas las edades entre el terminal y el presente. Ambos modelos son no locales en el tiempo, pero sus operadores y datos iniciales son distintos.

El amortiguamiento ordinario, por ejemplo $c\dot x$, describe una fuerza proporcional a la velocidad actual. Puede disipar energía sin integrar toda la historia. Un término de fricción fraccionaria sustituye esa respuesta instantánea por una relación hereditaria; Herrmann compara ambos planteamientos en un modelo mecánico Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 4, §§4.1-4.2, pp. 33-42 .

Tampoco todo kernel de memoria es fraccionario. En una ecuación de Langevin generalizada puede aparecer

$$\ddot x(t)+\int_0^t\mu(t-\tau)\dot x(\tau)\,d\tau=F(t),$$

con un kernel $\mu$ elegido por el modelo material. Una potencia, una exponencial y una función de Mittag-Leffler expresan respuestas diferentes. Oliveira desarrolla un problema de Langevin con kernel disipativo y correlación Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 6, problema 29, pp. 267-271 .

Persistencia de la memoria tras el reposo

Supongamos que una partícula se mueve con velocidad constante $v$ durante $0<\tau<T$ y queda inmóvil después. Una trayectoria continua es

$$x(t)= \begin{cases} vt, & 0\le t\le T,\\ vT, & t>T. \end{cases}$$

Para un tiempo $t>T$, la velocidad actual es cero. Sin embargo,

$${}^{C}D_{0+}^{q}x(t) =\frac{v}{\Gamma(1-q)} \int_0^T(t-\tau)^{-q}\,d\tau.$$

Al integrar,

$${}^{C}D_{0+}^{q}x(t) =\frac{v}{\Gamma(2-q)} \left[t^{1-q}-(t-T)^{1-q}\right].$$

El resultado es distinto de cero aunque $x'(t)=0$. La derivada fraccionaria no está afirmando que la partícula siga moviéndose: está calculando una operación no local sobre su historia. A tiempos grandes, la diferencia entre las potencias disminuye, de modo que el efecto residual del intervalo de movimiento se atenúa.

El mismo ejemplo separa memoria y retardo. Un retardo puntual solo consultaría si $t-\tau_d$ cae dentro del intervalo de movimiento. Caputo integra todas las edades comprendidas entre $t-T$ y $t$. También separa memoria y fricción: para convertir el valor calculado en una fuerza se necesita un coeficiente, unidades y una ley constitutiva.

Historia anterior al tiempo elegido como cero

Un sistema físico puede haber evolucionado antes de que comience el registro. Si su terminal real es $a<0$, para $t>0$ se separa

$${}^{C}D_{a+}^{q}x(t) =\frac1{\Gamma(1-q)} \int_a^0(t-\tau)^{-q}x'(\tau)\,d\tau +{}^{C}D_{0+}^{q}x(t).$$

El primer término define una contribución conocida si se conoce la historia previa:

$$H_a(t)=\frac1{\Gamma(1-q)} \int_a^0(t-\tau)^{-q}x'(\tau)\,d\tau.$$

Una ecuación formulada desde $a$ puede reescribirse desde cero solo si $H_a(t)$ se conserva como forzamiento de historia. Reemplazar toda la prehistoria por $x(0)$ elimina información. Das denomina inicialización a este problema y muestra que distintas formas del operador requieren términos compatibles Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 5, §§5.2-5.11, pp. 210-237 .

En experimentos, $H_a$ rara vez se conoce exactamente. Hay tres decisiones honestas: preparar el sistema en un estado controlado durante suficiente tiempo; modelar una familia de historias plausibles y medir sensibilidad; o declarar que el terminal cero representa una idealización. Ninguna se corrige ocultando el intervalo desconocido.

Edad media de kernels normalizados

Sobre una ventana finita $[0,T]$, el kernel de Caputo normalizado es

$$\widehat K_q(s)= \frac{(1-q)s^{-q}}{T^{1-q}}.$$

Su edad media es

$$\bar s_q= \int_0^Ts\widehat K_q(s)\,ds =\frac{1-q}{2-q}T.$$

La cantidad resume la distribución de edades, pero no sustituye al kernel: dos distribuciones pueden compartir media y tener colas distintas. Resulta útil para construir una comparación controlada con un kernel exponencial. Se elige la tasa exponencial de modo que su peso total o su edad media coincida en la misma ventana y luego se comparan la masa antigua y la respuesta a una señal prescrita.

Normalizar también cambia las unidades. $K_q$ tiene unidades $T^{-q}$, mientras que $\widehat K_q$ actúa como una densidad sobre la edad y tiene unidades $T^{-1}$. La figura y el texto deben indicar cuál se representa.

Discretización del kernel integral

En una malla $t_n=a+nh$, una cuadratura por tramos para Caputo tiene la forma

$${}^{C}D_{a+}^{q}x(t_n) \approx \frac{1}{\Gamma(1-q)} \sum_{j=0}^{n-1} \frac{x_{j+1}-x_j}{h} \int_{t_j}^{t_{j+1}}(t_n-\tau)^{-q}\,d\tau.$$

La integral de cada celda puede evaluarse:

$$\int_{t_j}^{t_{j+1}}(t_n-\tau)^{-q}\,d\tau =\frac{h^{1-q}}{1-q} \left[(n-j)^{1-q}-(n-j-1)^{1-q}\right].$$

Así, cada incremento $x_{j+1}-x_j$ recibe un peso explícito. Al avanzar de $n$ a $n+1$ se añade una celda, pero las anteriores continúan presentes con otra edad. La matriz que aplica todos esos pesos es triangular y, salvo truncamiento, densa. Das usa precisamente las diferencias fraccionarias para hacer visible esta estructura Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 3, §§3.17 y 3.23-3.24, pp. 138-149 .

Retener únicamente los últimos $M$ pasos reduce memoria y operaciones. También sustituye el operador de historia completa por una aproximación de memoria corta. El informe debe variar $M$ y $h$ por separado: refinar la malla manteniendo un horizonte de historia insuficiente no corrige el sesgo de truncamiento.

La inicialización determina qué historia anterior al instante de observación participa en el operador Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 5, pp. 210-237 . El kernel asigna peso a cada edad de esa historia; el dato instantáneo fija el estado en el terminal y la ley constitutiva indica cómo la memoria entra al modelo. Mantener separadas esas cuatro piezas evita llamar “memoria” a cualquier decaimiento lento y permite comparar formulaciones no locales con condiciones iniciales distintas.

Ejercicios: kernels y ponderación temporal

1. Calcula $W_q(T)$ para $q=0.25$, $0.5$ y $0.75$ y explica por qué comparar alturas puntuales del kernel puede inducir a error.
2. Divide una ventana en cuatro edades iguales y obtiene la fracción de peso normalizado de cada una.
3. Repite el ejemplo de la rampa con terminales $0$, $b/2$ y $b$.
4. Construye un kernel exponencial con el mismo peso total en $[0,T]$ y compara la masa de la mitad más antigua.
5. Deriva los pesos de la cuadratura por tramos y verifica sus signos.
6. Distingue en tres modelos concretos qué parte representa memoria, retardo y disipación.

La no localidad se vuelve concreta al señalar el pasado dentro de la integral, separarlo por intervalos y convertirlo en pesos discretos. Desde esa lectura, Mittag-Leffler puede usarse como función de respuesta sin confundirla con una exponencial de parámetro reajustado.