Difusión-onda, propagadores y ecuaciones de Langevin

La memoria temporal también modifica la propagación espacial. En la difusión clásica, cada modo de Fourier decae exponencialmente; en la ecuación temporalmente fraccionaria, el mismo modo sigue una ley de Mittag-Leffler. Al reunir todos los modos aparecen perfiles de Wright y Mainardi. Una ecuación de Langevin generalizada ofrece otra entrada al mismo fenómeno: el medio ejerce una fuerza que depende de la historia de la velocidad.

Ecuación fraccionaria de difusión–onda

Consideremos en la recta

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}u(x,t) =\kappa_\alpha\frac{\partial^2u}{\partial x^2}(x,t), \qquad 0<\alpha\le2.$$

Para $0<\alpha\le1$ se prescribe $u(x,0)=u_0(x)$. Si $1<\alpha\le2$, Caputo requiere además $u_t(x,0)=v_0(x)$. Cuando $\alpha=1$ se recupera la ecuación de difusión; cuando $\alpha=2$ y $\kappa_2=c^2$, la ecuación de onda.

Las unidades dependen del orden:

$$[\kappa_\alpha]=L^2T^{-\alpha}.$$

Por ello no es correcto variar $\alpha$ conservando un valor dimensional de $\kappa$ sin explicar cómo se define la escala común. Das desarrolla esta ecuación, sus problemas de Cauchy y señalización y las funciones auxiliares que forman el propagador Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 8, §§8.2-8.12, pp. 344-371 . Herrmann examina ecuaciones de onda y regularización fraccionaria desde una perspectiva física Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 7, §§7.1-7.3, pp. 77-86 .

Evolución modal en el dominio de Fourier

Definamos

$$\widehat u(k,t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)e^{-ikx}\,dx.$$

La transformada de la segunda derivada espacial es $-k^2\widehat u$. La EDP se convierte, para cada número de onda, en

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}\widehat u(k,t) =-\kappa_\alpha k^2\widehat u(k,t).$$

Para $0<\alpha\le1$,

$$\widehat u(k,t)= \widehat u_0(k) E_\alpha(-\kappa_\alpha k^2t^\alpha).$$

Cada modo conserva su amplitud inicial y adquiere un factor de relajación. En $\alpha=1$, ese factor es $e^{-\kappa_1k^2t}$; las escalas de $k$ grande decaen con rapidez. Para otro orden cambia la historia temporal de cada modo, no el multiplicador espacial $k^2$.

Perfil sinusoidal

En un dominio periódico tomemos

$$u(x,0)=A\cos(k_0x),$$

y, si $1<\alpha\le2$, $u_t(x,0)=0$. Como el coseno es función propia de $\partial_{xx}$,

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\cos(k_0x) =-k_0^2\cos(k_0x).$$

Se busca $u(x,t)=a(t)\cos(k_0x)$. La amplitud satisface

$${}^{C}D_t^\alpha a(t) =-\kappa_\alpha k_0^2a(t), \qquad a(0)=A.$$

Por tanto,

$$u(x,t)=A E_\alpha(-\kappa_\alpha k_0^2t^\alpha) \cos(k_0x).$$

Para $\alpha=1$ la amplitud decae exponencialmente. Para $\alpha=2$ y $\kappa_2=c^2$,

$$E_2(-c^2k_0^2t^2)=\cos(ck_0t),$$

y el modo oscila sin decaimiento. El intervalo $1<\alpha<2$ interpola mediante una respuesta de Mittag-Leffler, pero “interpolación” describe la familia matemática; no identifica por sí sola un medio físico.

El propagador y la función de Mainardi

Para una condición inicial concentrada, $u_0(x)=\delta(x)$, la solución fundamental en el régimen $0<\alpha\le1$ puede escribirse mediante Mainardi. Con $\nu=\alpha/2$,

$$G_\alpha(x,t) =\frac{1}{2\sqrt{\kappa_\alpha}\,t^{\alpha/2}} M_{\alpha/2}\!\left( \frac{|x|}{\sqrt{\kappa_\alpha}\,t^{\alpha/2}} \right),$$

bajo la normalización correspondiente. La variable de similitud es

$$\xi=\frac{|x|}{\sqrt{\kappa_\alpha}\,t^{\alpha/2}}.$$

En $\alpha=1$, $M_{1/2}$ recupera el perfil gaussiano. La anchura característica escala como $t^{\alpha/2}$, en vez de $t^{1/2}$ para la difusión clásica. Das presenta las funciones auxiliares $M$ y $F$, sus representaciones y su uso en el problema difusión-onda Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 8, §§8.6-8.12, pp. 351-371 .

Esta solución fundamental permite construir otras mediante convolución espacial:

$$u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty} G_\alpha(x-y,t)u_0(y)\,dy.$$

Antes de interpretar $G_\alpha$ como densidad deben verificarse positividad y normalización en el régimen considerado. La misma fórmula simbólica no garantiza una lectura probabilística para todo $\alpha$ hasta dos.

Problemas de Cauchy y de señalización

El problema de Cauchy prescribe un perfil inicial en todo el espacio y pregunta cómo evoluciona:

$$u(x,0)=u_0(x), \qquad x\in\mathbb R.$$

El problema de señalización considera, por ejemplo, un semieje $x>0$, un estado inicial y una señal impuesta en la frontera $x=0$. En el primero, la función de Green propaga una condición inicial; en el segundo, propaga una entrada de borde. Das estudia ambos y establece relaciones entre sus funciones de Green Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 8, §§8.2-8.5, pp. 344-351 .

La diferencia importa al citar un propagador. Una solución normalizada como densidad para un impulso inicial no se reutiliza sin cambios como respuesta a una señal temporal de frontera. Deben declararse dominio, condición inicial, condición de borde y variable sobre la cual se normaliza.

En un intervalo finito, las condiciones de Dirichlet o Neumann llevan a una expansión en funciones propias espaciales. Si

$$-\phi_n''(x)=\lambda_n\phi_n(x),$$

cada amplitud evoluciona como

$$a_n(t)=a_n(0)E_\alpha(-\kappa_\alpha\lambda_nt^\alpha)$$

para datos de velocidad nulos cuando sean necesarios. El método del modo sinusoidal no es un truco aislado: es la pieza elemental de una expansión espectral.

Masa total y condiciones de frontera

Integramos la ecuación en toda la recta:

$${}^{C}D_t^\alpha\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,dx =\kappa_\alpha \int_{-\infty}^{\infty}u_{xx}(x,t)\,dx.$$

Si $u_x$ desaparece en los extremos,

$$\int_{-\infty}^{\infty}u_{xx}\,dx =u_x(\infty,t)-u_x(-\infty,t)=0.$$

La masa $M(t)=\int u\,dx$ satisface ${}^{C}D_t^\alpha M=0$. Con $0<\alpha\le1$ y el dato $M(0)=M_0$, la solución es constante. Para $1<\alpha\le2$ también se fija $M'(0)$; la conservación $M(t)=M_0$ corresponde a $M'(0)=0$. Esta comprobación debe acompañar cualquier cálculo de un propagador de difusión.

En un dominio finito con flujo no nulo, la masa cambia por el borde. Un algoritmo que pierde masa puede estar aproximando una condición absorbente o simplemente contener un error. La gráfica por sí sola no distingue ambos casos.

Cálculo del límite gaussiano

Para $\alpha=1$, $\nu=1/2$ y

$$M_{1/2}(z)=\frac1{\sqrt\pi}e^{-z^2/4}.$$

Al sustituir en el propagador,

$$G_1(x,t) =\frac1{2\sqrt{\kappa_1t}} \frac1{\sqrt\pi} \exp\left[-\frac{x^2}{4\kappa_1t}\right],$$

es decir,

$$G_1(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa_1t}} \exp\left[-\frac{x^2}{4\kappa_1t}\right].$$

La integral espacial vale uno y el segundo momento es $2\kappa_1t$. Recuperar ambos resultados constituye una prueba del factor dos, la raíz temporal y la normalización de Mainardi.

Condiciones de fluctuación y disipación

En una Langevin generalizada, el kernel disipativo y la correlación de la fuerza pueden estar ligados por una relación de fluctuación-disipación bajo hipótesis de equilibrio. Oliveira expone esa relación dentro de un problema específico Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 6, problema 29, pp. 267-271 . Fuera de esas hipótesis, elegir un kernel y un ruido independientes puede producir otra clase de modelo.

Antes de simular se especifican:

• si $F(t)$ es determinista o aleatoria;
• su media y correlación;
• el kernel $\mu(t)$ y sus unidades;
• los datos iniciales de posición y velocidad;
• la interpretación del promedio observado.

Una sola trayectoria no estima por sí sola el desplazamiento cuadrático medio de un ensamble. Si se usa promedio temporal, debe justificarse la relación con el promedio de realizaciones; la memoria puede volver delicada esa equivalencia.

Estabilidad del esquema modal semidiscreto

La solución por modos sugiere un esquema cuyo análisis puede hacerse sin mezclar estabilidad temporal y error espacial. En un dominio periódico de longitud $L$, tomamos $N$ nodos con $h_x=L/N$ y aproximamos la segunda derivada por diferencias centradas:

$${}^{C}D_t^\alpha U_j(t) =\kappa_\alpha \frac{U_{j+1}(t)-2U_j(t)+U_{j-1}(t)}{h_x^2}.$$

Los modos discretos $e^{2\pi i\ell j/N}$ diagonalizan esta matriz. Para el modo $\ell$ aparece el valor no negativo

$$\rho_\ell=\frac{4}{h_x^2} \sin^2\!\left(\frac{\pi\ell}{N}\right),$$

y su amplitud satisface

$${}^{C}D_t^\alpha\widehat U_\ell(t) =-\kappa_\alpha\rho_\ell\widehat U_\ell(t).$$

Para $0<\alpha\le1$, el esquema evalúa esa evolución modal en los tiempos de salida $t_n$ mediante

$$\widehat U_\ell^{\,n} =E_\alpha(-\kappa_\alpha\rho_\ell t_n^\alpha) \widehat U_\ell^{\,0}.$$

En el eje real negativo, $0\le E_\alpha(-r)\le1$ para $r\ge0$ y $0<\alpha\le1$. Por Parseval,

$$\|U^n\|_{2,h}\le\|U^0\|_{2,h}.$$

El modo constante tiene $\rho_0=0$ y factor uno, de modo que la masa discreta se conserva. Los demás modos no crecen. Ésta es una estabilidad contractiva del esquema semidiscreto bajo tres hipótesis explícitas: difusión $0<\alpha\le1$, $\kappa_\alpha>0$ y un laplaciano discreto simétrico semidefinido negativo. Con condiciones homogéneas de Dirichlet o Neumann se obtiene el mismo argumento al usar los autovectores de la matriz espacial correspondiente.

La dependencia temporal se evalúa con Mittag-Leffler, por lo que este esquema no realiza pasos explícitos y no necesita una condición CFL. Sus errores proceden de la aproximación espacial —de orden $O(h_x^2)$ para soluciones suaves— y de la evaluación numérica de $E_\alpha$. Ambos se comprueban por separado: se refina $h_x$ con una tolerancia fija para Mittag-Leffler y después se endurece esa tolerancia en una malla fija.

El caso clásico muestra dónde sí aparece una restricción de paso. Si $\alpha=1$ y la evolución temporal se sustituye por Euler hacia delante, el factor de amplificación es

$$g_\ell=1-\kappa_1h_t\rho_\ell.$$

Exigir $|g_\ell|\le1$ para todos los modos y usar la cota $\rho_\ell\le4/h_x^2$ produce la condición suficiente

$$\frac{\kappa_1h_t}{h_x^2}\le\frac12.$$

Esta condición pertenece a Euler explícito aplicado a la difusión ordinaria; no se transfiere cambiando simplemente $h_t$ por $h_t^\alpha$.

Para $1<\alpha\le2$ se incorpora la velocidad inicial. El mismo esquema espacial da

$$\widehat U_\ell(t)= E_{\alpha,1}(-\kappa_\alpha\rho_\ell t^\alpha) \widehat U_\ell(0) +tE_{\alpha,2}(-\kappa_\alpha\rho_\ell t^\alpha) \widehat V_\ell(0).$$

Para $1<\alpha<2$, ambos factores son acotados en cualquier intervalo finito y proporcionan dependencia continua respecto de posición y velocidad iniciales, aunque ya no son positivos ni contractivos modo por modo. En $\alpha=2$ se recuperan

$$E_{2,1}(-\kappa_2\rho_\ell t^2) =\cos(\sqrt{\kappa_2\rho_\ell}\,t),$$ $$tE_{2,2}(-\kappa_2\rho_\ell t^2) =\frac{\sin(\sqrt{\kappa_2\rho_\ell}\,t)} {\sqrt{\kappa_2\rho_\ell}},$$

con el límite $t$ para el modo constante. Una CFL de onda aparece únicamente si también se reemplaza esta evolución exacta por diferencias temporales; no es una propiedad del propagador modal. Das deriva la separación en Fourier y los propagadores usados en este análisis Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 8, §§8.2-8.12, pp. 344-371 .

Desplazamiento cuadrático medio

Para una solución normalizada del problema de difusión temporal con $0<\alpha\le1$, la transformada espacial satisface

$$\widehat G(k,t)=E_\alpha(-\kappa_\alpha k^2t^\alpha).$$

El segundo momento se obtiene mediante

$$\langle x^2(t)\rangle =-\left. \frac{\partial^2\widehat G}{\partial k^2} \right|_{k=0}.$$

Expandiendo Mittag-Leffler alrededor de $k=0$,

$$\widehat G(k,t) =1-\frac{\kappa_\alpha k^2t^\alpha} {\Gamma(\alpha+1)}+O(k^4).$$

Así,

$$\langle x^2(t)\rangle =\frac{2\kappa_\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}t^\alpha.$$

Cuando $0<\alpha<1$ el crecimiento es sublineal. Este resultado conecta el operador temporal con un observable medible, pero una ley $t^\alpha$ observada en un intervalo finito no identifica de manera única el mecanismo microscópico.

Langevin: memoria en la fuerza de fricción

Una ecuación de Langevin generalizada puede escribirse como

$$m\dot v(t) +\int_0^t\mu(t-\tau)v(\tau)\,d\tau =F(t).$$

El kernel $\mu$ determina cómo la velocidad pasada influye en la fuerza actual. Si $\mu$ es exponencial, puede introducirse una escala de memoria finita y, en ciertos casos, variables auxiliares. Si tiene cola de potencia o forma Mittag-Leffler, la memoria de largo alcance conduce a respuestas relacionadas con operadores fraccionarios.

Oliveira desarrolla una ecuación de Langevin generalizada y su versión fraccionaria, relacionando kernel disipativo, correlación y función de relajación Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 6, problema 29, pp. 267-271 . Esa exposición permite sintetizar el mecanismo matemático, pero no autoriza a atribuir a cualquier ruido o medio una ley fraccionaria sin contrastar sus hipótesis físicas.

Una distinción importante es la siguiente:

• la ecuación difusión-onda prescribe directamente una evolución macroscópica;
• Langevin modela una trayectoria o velocidad bajo fricción y fuerza fluctuante;
• la relación entre ambos niveles requiere promedios, supuestos estadísticos y condiciones sobre el ruido.

Las funciones de Green de los problemas de Cauchy y de señalización propagan datos distintos: una condición inicial distribuida en el espacio y una excitación impuesta en la frontera Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 8, §§8.2-8.12, pp. 344-371 . La ecuación de Langevin introduce, en cambio, una descripción microscópica con fuerza aleatoria y memoria. Relacionar ambos niveles exige especificar qué variable se promedia y qué observable macroscópico se conserva.

Ejercicios: modos, propagadores y memoria

1. Deriva la ecuación temporal de cada modo de Fourier.
2. Resuelve el perfil sinusoidal y comprueba los límites $\alpha=1$ y $\alpha=2$.
3. Verifica dimensionalmente la variable de similitud del propagador.
4. Obtén $\langle x^2(t)\rangle$ desde la expansión de $\widehat G$.
5. Compara un kernel exponencial con uno de potencia que tenga el mismo peso en una ventana finita.
6. Explica qué hipótesis relacionan la ecuación de Langevin con una ecuación de densidad.
7. En una malla periódica, calcula $\rho_\ell$ y verifica la contracción modal para $0<\alpha\le1$. Repite con Euler en $\alpha=1$ y localiza numéricamente el umbral $\kappa_1h_t/h_x^2=1/2$.

Una descripción de propagación fraccionaria conecta el operador temporal, el espectro espacial, la función de Green y el observable. Cuando no existe una solución cerrada, la discretización debe conservar esa conexión para distinguir una trayectoria calculada de la evidencia numérica que realmente aporta.