Relajación, fricción y osciladores fraccionarios

Una respuesta lenta no demuestra por sí sola que un sistema sea fraccionario. Para hablar de relajación u oscilación con memoria se debe especificar el operador, su orden, las unidades de los parámetros y los datos iniciales. Los modelos lineales permiten hacerlo con claridad porque tienen soluciones de referencia en términos de Mittag-Leffler. También muestran que variar el orden cambia la ecuación, no solo la forma de una curva.

Relajación de Mittag-Leffler

Consideremos

$${}^{C}D_{0+}^{q}x(t)=-\lambda_q x(t), \qquad x(0)=x_0, \qquad 0<q\le1.$$

La notación $\lambda_q$ recuerda que sus unidades dependen del orden:

$$[\lambda_q]=T^{-q}.$$

La transformada de Laplace produce

$$s^qX(s)-s^{q-1}x_0=-\lambda_qX(s),$$

y por tanto

$$X(s)=x_0\frac{s^{q-1}}{s^q+\lambda_q}.$$

Al invertir,

$$x(t)=x_0E_q(-\lambda_qt^q).$$

Para $q=1$ aparece $x_0e^{-\lambda_1t}$. Cuando $0<q<1$, la respuesta inicial y la cola se apartan de una exponencial. Das presenta la relajación con Mittag-Leffler dentro de sus métodos para ecuaciones fraccionarias Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 6, §§6.5-6.13, pp. 260-293 .

Una comparación dimensionalmente limpia introduce una escala $\tau$:

$${}^{C}D^qx(t)=-\tau^{-q}x(t), \qquad x(t)=x_0E_q\!\left[-(t/\tau)^q\right].$$

Así, todos los órdenes comparten la misma variable adimensional $t/\tau$. Mantener un número $\lambda$ fijo con las mismas unidades al cambiar $q$ mezcla modelos incompatibles.

Comportamiento a tiempos cortos y largos

La expansión para tiempos pequeños es

$$E_q(-z)=1-\frac{z}{\Gamma(q+1)} +\frac{z^2}{\Gamma(2q+1)}-\cdots.$$

Con $z=(t/\tau)^q$,

$$x(t)\approx x_0\left[ 1-\frac{(t/\tau)^q}{\Gamma(q+1)} \right].$$

Para $q<1$, la pendiente ordinaria puede ser singular cerca del origen aunque la función sea continua. A tiempos largos, la respuesta positiva posee una cola algebraica bajo las condiciones usuales:

$$E_q(-z)\sim\frac{1}{z\Gamma(1-q)}, \qquad z\to+\infty.$$

Una gráfica lineal centrada en tiempos intermedios puede ocultar ambos rasgos. Para estudiar el modelo hacen falta al menos una ampliación del origen y una representación que muestre la cola. Esto es especialmente importante al ajustar datos: una suma de exponenciales también puede imitar una cola en un intervalo finito.

Fricción hereditaria como integral de memoria

En un modelo ordinario,

$$m\ddot x(t)+c\dot x(t)+kx(t)=F(t),$$

la fuerza viscosa depende de la velocidad actual. Una forma hereditaria sustituye ese término por

$$F_m(t)=\int_0^t\mu(t-\tau)\dot x(\tau)\,d\tau.$$

Si $\mu(s)$ es proporcional a $s^{-q}/\Gamma(1-q)$, el término puede expresarse mediante una derivada de Caputo de orden $q$. El modelo queda

$$m\ddot x(t)+c_q\,{}^{C}D^q x(t)+kx(t)=F(t).$$

Aquí $c_q$ no tiene las mismas unidades que el coeficiente viscoso $c$. Además, elegir un kernel de potencia es una hipótesis constitutiva. Herrmann contrasta fricción clásica y fraccionaria antes de usarla en modelos físicos Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 4, §§4.1-4.2, pp. 33-42 .

Trabajo hereditario y disipación

El signo del término de memoria se decide mediante el trabajo acumulado, no mirando $F_m(t)$ en un instante. Multiplicamos la ecuación por $v(t)=\dot x(t)$ y definimos la energía mecánica

$$\mathcal E(t)=\frac{m}{2}v(t)^2+\frac{k}{2}x(t)^2.$$

Entonces

$$\frac{d\mathcal E}{dt}+F_m(t)v(t)=F(t)v(t).$$

El trabajo absorbido por la memoria durante $[0,T]$ es

$$W_m(T)=\int_0^T F_m(t)v(t)\,dt =\int_0^T v(t)\int_0^t\mu(t-\tau)v(\tau)\,d\tau\,dt.$$

El kernel representa disipación pasiva cuando la forma cuadrática anterior es no negativa para toda velocidad admisible:

$$\int_0^T v(t)\int_0^t\mu(t-\tau)v(\tau)\,d\tau\,dt\ge0.$$

Bajo esa hipótesis, el balance integrado queda

$$\mathcal E(T)-\mathcal E(0)+W_m(T) =\int_0^T F(t)v(t)\,dt.$$

Sin fuerza externa, $W_m(T)\ge0$ implica $\mathcal E(T)\le\mathcal E(0)$. Ésta es la afirmación precisa de disipación: la memoria puede devolver energía en ciertos instantes sin producir energía neta sobre el intervalo completo.

Para el kernel de potencia

$$\mu(t)=\frac{c_q}{\Gamma(1-q)}t^{-q}, \qquad 0<q<1, \qquad c_q>0,$$

su transformada es $\widehat\mu(s)=c_qs^{q-1}$. Al tomar el valor límite desde $\operatorname{Re}s>0$ y usar la rama principal,

$$\operatorname{Re}\widehat\mu(i\Omega) =c_q\Omega^{q-1}\sin\!\left(\frac{\pi q}{2}\right)>0, \qquad \Omega>0.$$

Si $v_T$ denota la velocidad extendida por cero fuera de $[0,T]$, la identidad de Parseval escribe el trabajo como

$$W_m(T)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \operatorname{Re}\widehat\mu(i\Omega) \left|\widehat v_T(\Omega)\right|^2\,d\Omega.$$

Así, la parte real positiva hace no negativo el aporte de cada componente armónica. Como comprobación directa, si $v(t)=v_0$ en $[0,T]$, entonces

$$F_m(t)=\frac{c_qv_0}{\Gamma(2-q)}t^{1-q}, \qquad W_m(T)=\frac{c_qv_0^2}{\Gamma(3-q)}T^{2-q}>0.$$

Por tanto, el kernel de potencia con $c_q>0$ es compatible con el balance disipativo del modelo. Cambiar el signo de $c_q$ o elegir otro kernel obliga a repetir la prueba de positividad; la palabra «memoria» por sí sola no garantiza pasividad.

Oscilador fraccionario de orden entre uno y dos

Una generalización directa es

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}x(t)+\omega_\alpha^2x(t)=0, \qquad 1<\alpha\le2,$$

con datos $x(0)=x_0$ y $x'(0)=v_0$. Las unidades exigen

$$[\omega_\alpha^2]=T^{-\alpha}.$$

La transformada de Caputo para $1<\alpha\le2$ es

$$\mathcal L\{{}^{C}D^\alpha x\} =s^\alpha X(s)-s^{\alpha-1}x_0-s^{\alpha-2}v_0.$$

Al despejar,

$$X(s)=x_0\frac{s^{\alpha-1}}{s^\alpha+\omega_\alpha^2} +v_0\frac{s^{\alpha-2}}{s^\alpha+\omega_\alpha^2}.$$

La inversión da

$$x(t)=x_0E_{\alpha,1}(-\omega_\alpha^2t^\alpha) +v_0tE_{\alpha,2}(-\omega_\alpha^2t^\alpha).$$

Cuando $\alpha=2$,

$$E_{2,1}(-\omega^2t^2)=\cos(\omega t), \qquad tE_{2,2}(-\omega^2t^2)=\frac{\sin(\omega t)}{\omega}.$$

Se recupera el oscilador armónico. Al disminuir $\alpha$, la respuesta combina oscilación y decaimiento sin añadir un término viscoso separado. Herrmann compara formulaciones del oscilador en Fourier, Riemann y Caputo Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 6, §§6.1-6.4, pp. 69-76 .

Desplazamiento inicial sin velocidad

Tomemos $x_0=1$, $v_0=0$ y una escala $\tau$ tal que $\omega_\alpha^2=\tau^{-\alpha}$. La solución es

$$x(t)=E_{\alpha,1}\!\left[-(t/\tau)^\alpha\right].$$

Para $\alpha=2$ se obtiene $\cos(t/\tau)$. Para $\alpha=1$ la misma familia llega a $e^{-t/\tau}$, que ya no oscila. Entre ambos extremos puede haber cruces por cero y amplitudes decrecientes. La transición no debe describirse como “añadir amortiguamiento” sin más: el orden del operador también cambia el número de datos iniciales requeridos al cruzar $\alpha=1$.

Una comprobación analítica elemental usa el origen:

$$x(0)=E_{\alpha,1}(0)=1.$$

Para $1<\alpha\le2$, el primer término no constante es $-t^\alpha/[\tau^\alpha\Gamma(\alpha+1)]$; su primera derivada se anula en $t=0$, de acuerdo con $v_0=0$. La verificación numérica deberá reproducir ambas condiciones y el caso $\alpha=2$.

Modelos lineales de oscilador fraccionario

Hay al menos tres modificaciones lineales que no deben confundirse:

$${}^{C}D^\alpha x+\omega_\alpha^2x=0, \qquad 1<\alpha\le2,$$ $$m\ddot x+c_q{}^{C}D^qx+kx=0, \qquad 0<q<1,$$

y

$$m{}^{C}D^\alpha x+c_q{}^{C}D^qx+kx=0.$$

En la primera, un solo operador interpola entre relajación y oscilación. En la segunda se conserva la inercia ordinaria y se introduce fricción hereditaria. En la tercera, tanto la inercia como la disipación incluyen órdenes no enteros. Las funciones de respuesta, los datos iniciales y las unidades de los coeficientes cambian entre casos.

Una frase como “se fraccionó el oscilador” es insuficiente. El informe debe decir qué término se reemplazó y qué límite recupera. Herrmann estudia una construcción específica según Fourier, Riemann y Caputo; sus resultados no se transfieren automáticamente a cualquier combinación de órdenes Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 6, §§6.1-6.4, pp. 69-76 .

Adimensionalización y variación del orden

Para el modelo de un solo operador se introduce $s=t/\tau$ y $y(s)=x(t)/x_0$. La propiedad de escalamiento conduce formalmente a

$${}^{C}D_t^\alpha x(t) =x_0\tau^{-\alpha}{}^{C}D_s^\alpha y(s).$$

La ecuación queda

$${}^{C}D_s^\alpha y+y=0$$

si $\omega_\alpha^2=\tau^{-\alpha}$. De esta forma, la familia comparada comparte una escala temporal declarada. Para el modelo con fricción fraccionaria aparecen grupos como

$$\frac{c_q\tau^{2-q}}{m} \quad\text{y}\quad \frac{k\tau^2}{m}.$$

Mantener esos grupos, y no números dimensionales arbitrarios, permite separar el efecto del orden del efecto de una reparametrización.

La elección de $\tau$ puede provenir del límite entero, de una frecuencia medida o de un tiempo de relajación. Cada opción responde a una pregunta distinta. Si los parámetros se ajustan por separado para cada orden, la comparación evalúa modelos optimizados; si se conservan grupos adimensionales, evalúa el efecto estructural de variar el operador.

Estado con memoria fuera del plano $(x,\dot x)$

En un oscilador ordinario de segundo orden, conocer $(x(t),\dot x(t))$ determina la evolución futura bajo condiciones estándar. En un sistema fraccionario, dos historias pueden llegar al mismo par actual y producir después respuestas diferentes porque el operador conserva integrales distintas del pasado.

Un retrato de $(x,\dot x)$ sigue siendo una proyección útil. Permite ver amplitud, cruces y rotación, pero no es un espacio de estados completo salvo que se amplíe con variables que representen la memoria o con la historia funcional. Por eso una intersección aparente de curvas proyectadas no viola necesariamente la unicidad del problema histórico.

Para construir una comparación honesta se presentan juntas:

• la serie temporal;
• la proyección $(x,\dot x)$;
• el kernel o los pesos de historia;
• los datos iniciales y el terminal.

La no localidad física que discute Herrmann ayuda a interpretar esta pérdida de clausura en pocas variables Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 8, §§8.2-8.3, pp. 90-106 .

Respuesta armónica, ganancia y resonancia

Consideremos el modelo normalizado y forzado

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}x(t)+\omega_\alpha^2x(t) =F_0\cos(\Omega t), \qquad 1<\alpha<2.$$

Con datos iniciales nulos, la función de transferencia de la fuerza al desplazamiento es

$$H(s)=\frac{X(s)}{F(s)} =\frac{1}{s^\alpha+\omega_\alpha^2}.$$

Para una entrada armónica se toma el valor límite de $H(s)$ desde el semiplano $\operatorname{Re}s>0$. Fijamos la rama principal $s^\alpha=\exp[\alpha\operatorname{Log}s]$, con $-\pi<\arg s<\pi$. Para $\Omega>0$,

$$(i\Omega)^\alpha =\Omega^\alpha\left[ \cos\!\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right) +i\sin\!\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right) \right].$$

Si

$$A(\Omega)=\omega_\alpha^2 +\Omega^\alpha\cos\!\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right), \qquad B(\Omega)=\Omega^\alpha \sin\!\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right),$$

la ganancia y el desfase son

$$G(\Omega)=|H(i\Omega)| =\frac{1}{\sqrt{A(\Omega)^2+B(\Omega)^2}},$$ $$\phi(\Omega)=-\operatorname{atan2}\!\bigl(B(\Omega),A(\Omega)\bigr).$$

Después de que decae el término transitorio de Mittag-Leffler, la respuesta armónica tiene la forma

$$x_{ss}(t)=F_0G(\Omega) \cos\!\bigl(\Omega t+\phi(\Omega)\bigr).$$

En este modelo, «resonancia» significa un máximo interior de $G(\Omega)$. Escribimos $y=\Omega^\alpha$, $a=\omega_\alpha^2$ y $c=\cos(\pi\alpha/2)$. El cuadrado del denominador es

$$D(y)=y^2+2acy+a^2, \qquad D'(y)=2(y+ac).$$

Como $c<0$ cuando $1<\alpha<2$, el mínimo ocurre en $y_r=-ac>0$. Por ello,

$$\Omega_r=\left[ -\omega_\alpha^2\cos\!\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right) \right]^{1/\alpha},$$

y la ganancia máxima vale

$$G(\Omega_r)= \frac{1}{\omega_\alpha^2 \sin(\pi\alpha/2)}.$$

Los extremos aclaran el significado del resultado. En $\alpha=1$ el mínimo queda en $\Omega=0$ y no aparece un pico resonante distinto de cero. Cuando $\alpha\to2^{-}$, el pico crece y se aproxima a la resonancia no acotada del oscilador armónico ideal en $\Omega=\omega_2$. Esta deducción corresponde al modelo escalar de un solo operador; añadir fricción hereditaria separada cambia el denominador y exige volver a calcular ganancia, fase y máximo.

Interpretación física y límites de inferencia

Una cola lenta es compatible con memoria de potencia, pero también con heterogeneidad de escalas o mezclas de procesos. Un ajuste de $q$ no identifica por sí solo un mecanismo. Para sostener una interpretación física hay que comparar modelos alternativos, reportar intervalo, incertidumbre, parámetros dimensionales y residuos.

Tampoco se deduce estabilidad general porque una solución particular decaiga. Estas referencias permiten analizar las respuestas lineales presentadas; no sustituyen un teorema de estabilidad para sistemas fraccionarios multidimensionales.

En la relajación fraccionaria, el operador no local sustituye a la derivada que gobierna la tasa de retorno; en el oscilador, puede aparecer en el término restaurador, inercial o disipativo. Esas elecciones no son equivalentes y producen dimensiones físicas distintas para sus coeficientes Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 4, pp. 33-42; cap. 6, pp. 69-76 . El límite ordinario se comprueba fijando el orden entero apropiado y recuperando tanto la ecuación como sus datos iniciales.

Ejercicios: operadores y respuestas observables

1. Deduce por Laplace la relajación $E_q[-(t/\tau)^q]$ y verifica el caso $q=1$.
2. Compara expansión de tiempo corto y cola larga para dos órdenes.
3. Obtén las unidades de $c_q$ en el oscilador con fricción fraccionaria.
4. Deriva la solución del oscilador de orden $1<\alpha\le2$ con dos datos iniciales.
5. Diseña tres gráficas que separen origen, cruces por cero y cola.
6. Propón un modelo alternativo basado en una suma de exponenciales y explica qué dato podría distinguirlo.
7. Obtén $G(\Omega)$ y $\phi(\Omega)$, deriva $\Omega_r$ y comprueba numéricamente los límites $\alpha\to1^+$ y $\alpha\to2^-$.

Estos modelos proporcionan referencias analíticas para comprobar una implementación. En problemas de propagación espacial, las funciones de Wright y Mainardi y los kernels de Langevin extienden la misma discusión hacia difusión y memoria.