Gamma, integral repetida, convolución y transformadas

La integral de orden no entero se obtiene al extender dos estructuras de la integral repetida: el factorial y la convolución. La función gamma prolonga el factorial; el kernel de Cauchy prolonga el número de integraciones. Estas dos estructuras definen un operador no local con una composición verificable.

Función gamma y extensión del factorial

Para $z>0$, la función gamma se define por

$$\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-u}u^{z-1}\,du.$$

Una integración por partes muestra la relación de recurrencia. Se toma $a=u^{z}$ y $db=e^{-u}du$:

$$\Gamma(z+1) =\int_0^\infty e^{-u}u^z\,du =\left[-e^{-u}u^z\right]_0^\infty +z\int_0^\infty e^{-u}u^{z-1}\,du.$$

El término de borde desaparece cuando $z>0$, de modo que

$$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).$$

Como $\Gamma(1)=1$, la recurrencia produce $\Gamma(n+1)=n!$ para cada entero no negativo. El punto decisivo es que la integral también tiene sentido para valores no enteros. Por ejemplo,

$$\Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}.$$

Gamma proporciona el factor de normalización que conserva la regla de composición del operador fraccionario. Das desarrolla esta transición junto con beta, Pochhammer y continuación analítica Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 1, §§1.9-1.16, pp. 11-33 . Oliveira organiza las mismas funciones como herramientas para los operadores y para la familia de Mittag-Leffler Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 2, §§2.1-2.4, pp. 18-29 .

Fórmula de Cauchy para integrales repetidas

Sea

$$(I_{a+}f)(t)=\int_a^t f(\tau)\,d\tau.$$

Al integrar dos veces aparece una región triangular:

$$(I_{a+}^2f)(t) =\int_a^t\int_a^\sigma f(\tau)\,d\tau\,d\sigma.$$

Si se cambia el orden, para cada $\tau$ la variable $\sigma$ recorre $[\tau,t]$; por tanto,

$$(I_{a+}^2f)(t)=\int_a^t(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.$$

La inducción lleva a la fórmula de Cauchy para $n\in\mathbb N$:

$$(I_{a+}^nf)(t) =\frac{1}{(n-1)!}\int_a^t(t-\tau)^{n-1}f(\tau)\,d\tau.$$

Ahora sí existe una expresión que puede continuarse en el orden. Al sustituir $(n-1)!$ por $\Gamma(\alpha)$ y $n-1$ por $\alpha-1$ se define, para $\alpha>0$,

$$({}^{RL}I_{a+}^{\alpha}f)(t) =\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t(t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau.$$

Esta es la integral izquierda de Riemann-Liouville. El terminal $a$ forma parte del operador: indica desde qué instante se incorpora la historia. Cambiarlo altera el intervalo integrado y, en general, cambia el resultado. La construcción mediante integral repetida y cambio de orden se detalla en Das Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 2, §§2.2-2.5, pp. 47-56 .

Convolución con kernel de memoria

Definamos

$$g_\alpha(t)=\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)},\qquad t>0.$$

Cuando $a=0$, la integral anterior se escribe

$${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}f=(g_\alpha*f)(t),$$

donde

$$(g*f)(t)=\int_0^t g(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.$$

La edad de una contribución es $t-\tau$. El kernel $g_\alpha$ decide cuánto pesa esa edad. La operación consulta todo el intervalo $[0,t]$, no solo un vecindario del instante actual.

La regla de semigrupo se obtiene al componer dos integrales:

$${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}{}^{RL}I_{0+}^{\beta}f =(g_\alpha*g_\beta)*f.$$

En el producto de los kernels aparece

$$(g_\alpha*g_\beta)(t) =\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^{\beta-1}\,d\tau.$$

Con $\tau=tu$, la integral se convierte en

$$t^{\alpha+\beta-1} \int_0^1(1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\,du =t^{\alpha+\beta-1}B(\alpha,\beta).$$

Como $B(\alpha,\beta)=\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)$,

$$g_\alpha*g_\beta=g_{\alpha+\beta}, \qquad {}^{RL}I^{\alpha}{}^{RL}I^{\beta}f ={}^{RL}I^{\alpha+\beta}f.$$

La función beta explica por qué la normalización con gamma es la correcta. También precisa las hipótesis: las integrales deben existir y el intercambio del orden debe estar justificado.

Integral fraccionaria de una potencia

Sea $f(t)=t^\mu$, con $\mu>-1$, y $\alpha>0$. Por definición,

$${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}t^\mu =\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}\tau^\mu\,d\tau.$$

Se sustituye $\tau=tu$, $d\tau=t\,du$:

$${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}t^\mu =\frac{t^{\alpha+\mu}}{\Gamma(\alpha)} \int_0^1(1-u)^{\alpha-1}u^\mu\,du.$$

La integral es $B(\alpha,\mu+1)$. En consecuencia,

$${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}t^\mu =\frac{\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+\alpha+1)} t^{\mu+\alpha}.$$

Para $\alpha=1$ se recupera $t^{\mu+1}/(\mu+1)$. Para $\alpha=1/2$ y $f(t)=1$,

$${}^{RL}I_{0+}^{1/2}1 =\frac{t^{1/2}}{\Gamma(3/2)} =\frac{2\sqrt t}{\sqrt\pi}.$$

La respuesta no se obtiene partiendo “a la mitad” el área de una integral ordinaria. Cambian la potencia y la normalización de acuerdo con beta y gamma. Oliveira ofrece ejercicios graduados sobre estas identidades Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 2, §2.5, pp. 29-66 .

Transformada de Laplace de composiciones

Si $F(s)=\mathcal L\{f(t)\}$ y las transformadas existen, el teorema de convolución da

$$\mathcal L\{g_\alpha*f\}(s) =\mathcal L\{g_\alpha\}(s)F(s).$$

Además,

$$\mathcal L\{g_\alpha(t)\}(s)=s^{-\alpha},$$

por lo que

$$\mathcal L\{{}^{RL}I_{0+}^{\alpha}f(t)\}(s) =s^{-\alpha}F(s).$$

En el dominio de Laplace, integrar un orden $\alpha$ multiplica por $s^{-\alpha}$. Esto facilita tanto la regla de semigrupo como la solución de ecuaciones lineales. No elimina las condiciones de existencia ni el terminal inferior; ambas quedaron incorporadas al definir el operador sobre $[0,t]$. Oliveira desarrolla Fourier, Laplace, inversión y contornos en un bloque propio Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 4, §§4.2-4.4, pp. 117-129 . Herrmann usa la lectura transformada para comparar familias de operadores Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 5, §§5.1-5.5, pp. 44-61 .

Integral fraccionaria de la exponencial y función de Mittag-Leffler

La integral fraccionaria de $e^{\lambda t}$ puede obtenerse sin una tabla. Se expande

$$e^{\lambda t}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^kt^k}{k!}$$

y se integra término a término. Como

$${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}t^k =\frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k+\alpha+1)}t^{k+\alpha},$$

la cancelación de $k!=\Gamma(k+1)$ deja

$${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}e^{\lambda t} =t^\alpha\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda t)^k}{\Gamma(k+\alpha+1)}.$$

La serie es $t^\alpha E_{1,\alpha+1}(\lambda t)$, una función de Mittag-Leffler de dos parámetros. Para $\alpha=1$,

$$tE_{1,2}(\lambda t)=\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda},$$

que coincide con la integral ordinaria desde cero. El cálculo muestra cómo una operación fraccionaria transforma incluso una función tan familiar como la exponencial. Das realiza esta transición mediante series y funciones trascendentes Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 2, §2.9, pp. 63-65 .

La manipulación término a término requiere convergencia suficiente. En una presentación rigurosa se indica el intervalo donde la serie converge uniformemente o se usa un teorema que autorice el intercambio. En cálculo aplicado se puede comprobar la identidad por Laplace:

$$\mathcal L\{e^{\lambda t}\}(s)=\frac1{s-\lambda},$$

de modo que

$$\mathcal L\{{}^{RL}I^\alpha e^{\lambda t}\}(s) =\frac{s^{-\alpha}}{s-\lambda}.$$

La serie transformada de $t^\alpha E_{1,\alpha+1}(\lambda t)$ reproduce el mismo cociente en su región de convergencia. Dos verificaciones independientes fortalecen el resultado.

Comportamiento cerca del terminal

La singularidad del kernel no implica que toda integral diverja. Si, cerca de $a$, la función se comporta como

$$f(\tau)\sim(\tau-a)^\mu,$$

la integrabilidad en el extremo izquierdo exige inicialmente $\mu>-1$. Cerca del extremo móvil $\tau=t$, el factor $(t-\tau)^{\alpha-1}$ es integrable para $\alpha>0$. La fórmula exacta

$${}^{RL}I_{a+}^{\alpha}(t-a)^\mu =\frac{\Gamma(\mu+1)}{\Gamma(\mu+\alpha+1)} (t-a)^{\mu+\alpha}$$

hace visibles ambas condiciones y los posibles polos del denominador después de una continuación más amplia.

Este análisis evita dos errores comunes. El primero es descartar el kernel por ser infinito en un punto, aunque su integral sea finita. El segundo es aplicar una tabla a exponentes que atraviesan un polo de gamma o una integral no convergente. Toda identidad debe acompañarse por su dominio.

Operadores izquierdos y derechos

En un intervalo $[a,b]$, la integral derecha se define por

$${}^{RL}I_{b-}^{\alpha}f(t) =\frac1{\Gamma(\alpha)} \int_t^b(\tau-t)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau.$$

La versión izquierda acumula desde $a$ hasta $t$; en una evolución temporal causal suele representar pasado. La versión derecha consulta valores entre $t$ y $b$ y aparece en problemas de frontera, formulaciones adjuntas y cálculo variacional. Llamar “memoria” a ambas sin explicar la orientación puede sugerir causalidad donde el problema es espacial o de contorno.

La reflexión $u=a+b-t$ relaciona las dos formas, pero también invierte la orientación y modifica los límites. Por eso el superíndice o subíndice $a+$, $b-$ no debe omitirse en una derivación. Una notación abreviada es aceptable solo después de fijar el intervalo y el lado.

Fourier y la elección de rama

En la recta completa, ciertos operadores fraccionarios se describen por multiplicadores como $(i\omega)^q$ o $|\omega|^q$. No son la misma función. Para un exponente no entero, $(i\omega)^q$ requiere elegir una rama del logaritmo complejo; el multiplicador $|\omega|^q$ es real y se asocia con operadores simétricos como Riesz bajo convenciones específicas. Herrmann distingue estas familias al estudiar Liouville, Riesz y Feller Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 5, §§5.3-5.5, pp. 47-61 .

La transformada simplifica el operador únicamente cuando se conserva su definición. Sustituir $s^q$ por $(i\omega)^q$, o este por $|\omega|^q$, sin revisar dominio, condiciones de frontera y rama puede cambiar la ecuación. El curso usará Laplace para problemas causales de valor inicial y Fourier para separar escalas espaciales o frecuenciales; cada uso declarará su convención.

Convenciones previas al cálculo

Una fórmula fraccionaria queda incompleta si omite el orden, el lado del operador, el terminal, la clase de funciones y la convención de transformada. También se deben conservar unidades: si $f$ tiene unidades $[F]$, entonces ${}^{RL}I^\alpha f$ tiene unidades $[F]T^\alpha$. Cualquier parámetro que multiplique el operador deberá compensar esa potencia temporal.

La integral repetida de Cauchy transforma $n$ integraciones sucesivas en una sola convolución con $(t-\tau)^{n-1}/(n-1)!$. Sustituir el factorial por $\Gamma(\alpha)$ extiende el orden a valores no enteros y conduce a la integral de Riemann–Liouville Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 2, §§2.2-2.5, pp. 47-56 . El cambio de orden exige integrabilidad y las identidades beta–gamma requieren controlar sus dominios; estas condiciones son necesarias para justificar la fórmula.

Ejercicios: gamma, beta y convolución

1. Demuestra $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ y señala exactamente dónde se usa $z>0$.
2. Calcula ${}^{RL}I_{0+}^{\alpha}t^2$ y verifica los casos $\alpha\to0^+$ y $\alpha=1$.
3. Comprueba la regla de semigrupo sobre $f(t)=1$ sin reutilizar la demostración abstracta.
4. Determina las unidades de $k$ en $x(t)=x_0-k\,{}^{RL}I^\alpha x(t)$.
5. Usa Laplace para recuperar la integral fraccionaria de $t^\mu$ y compara con el cálculo por beta.

La fórmula de Cauchy y su continuación mediante gamma construyen la integral fraccionaria. Las derivadas de Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville y Caputo se distinguen por el orden de las operaciones y el tratamiento del terminal.