Mittag-Leffler, Wright y Mainardi

La exponencial resuelve una ecuación lineal de primer orden porque derivarla reproduce la misma función. Al sustituir la derivada ordinaria por una de Caputo, la respuesta natural deja de ser $e^{\lambda t}$ y aparece la función de Mittag-Leffler. Wright y Mainardi amplían esa familia y proporcionan perfiles para problemas de difusión-onda. Estas funciones condensan las series y transformadas que aparecen al resolver ecuaciones fraccionarias lineales.

Función exponencial como caso de Mittag–Leffler

La función de Mittag-Leffler de un parámetro se define por

$$E_\alpha(z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k+1)}, \qquad \alpha>0.$$

Si $\alpha=1$, el denominador es $\Gamma(k+1)=k!$ y se recupera

$$E_1(z)=e^z.$$

La versión de dos parámetros es

$$E_{\alpha,\beta}(z)= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k+\beta)}, \qquad \alpha>0.$$

Entonces $E_{\alpha,1}=E_\alpha$. El segundo parámetro permite representar factores de potencia y términos de forzamiento. Oliveira dedica un capítulo completo a estas funciones y a sus ejercicios Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 3, §§3.1-3.3, pp. 69-112 . Herrmann las introduce inmediatamente después de gamma porque intervienen en las respuestas físicas fraccionarias Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 2, §2.2, pp. 9-11 .

Para cualquier $z$ fijo, la serie converge cuando $\alpha>0$. En cálculo numérico, sin embargo, “la serie converge” no significa que truncarla sea igualmente eficaz en todo el plano complejo. El tamaño de $z$, el signo, la precisión y la cancelación entre términos deciden si conviene una serie, una expansión asintótica o una inversión transformada.

Mittag–Leffler como función propia de Caputo

Sea $0<\alpha\le1$ y

$$x(t)=E_\alpha(\lambda t^\alpha) =\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k t^{\alpha k}}{\Gamma(\alpha k+1)}.$$

El término $k=0$ es constante y su derivada de Caputo es cero. Para $k\ge1$ se usa

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}t^{\alpha k} =\frac{\Gamma(\alpha k+1)} {\Gamma(\alpha k+1-\alpha)} t^{\alpha k-\alpha}.$$

Aplicando término a término,

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}x(t) =\sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^k t^{\alpha(k-1)}} {\Gamma(\alpha(k-1)+1)}.$$

Al cambiar $j=k-1$,

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}x(t) =\lambda\sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j t^{\alpha j}} {\Gamma(\alpha j+1)} =\lambda E_\alpha(\lambda t^\alpha).$$

Así, $E_\alpha(\lambda t^\alpha)$ cumple la función que $e^{\lambda t}$ desempeña en orden uno. Das muestra esta propiedad al discutir autofunciones de RL y Caputo Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 4, §4.14, pp. 181-183 .

Derivación por transformada de Laplace

La identidad transformada central es

$$\mathcal L\left\{t^{\beta-1} E_{\alpha,\beta}(\lambda t^\alpha)\right\}(s) =\frac{s^{\alpha-\beta}}{s^\alpha-\lambda},$$

en la región donde la transformada existe. Puede comprobarse expandiendo la serie:

$$\mathcal L\{t^{\alpha k+\beta-1}\} =\frac{\Gamma(\alpha k+\beta)} {s^{\alpha k+\beta}}.$$

El factor gamma se cancela y queda una serie geométrica en $\lambda/s^\alpha$. La identidad no es solo una tabla: explica por qué aparecen $E_\alpha$ y $E_{\alpha,\beta}$ al invertir cocientes que contienen $s^\alpha$.

Herrmann propone como ejercicio obtener una transformada de Mittag-Leffler Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: ejercicio 5.1, p. 68; solución en el apéndice A . Oliveira conecta esta inversión con los contornos de Bromwich y Hankel Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 4, §§4.3.2-4.3.3, pp. 123-125 .

Ecuación lineal con entrada constante

Consideremos

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}x(t)+\lambda x(t)=F, \qquad x(0)=x_0,$$

con $0<\alpha\le1$ y $\lambda>0$. La transformada de Laplace da

$$s^\alpha X(s)-s^{\alpha-1}x_0 +\lambda X(s)=\frac{F}{s}.$$

Por tanto,

$$X(s)=x_0\frac{s^{\alpha-1}}{s^\alpha+\lambda} +F\frac{1}{s(s^\alpha+\lambda)}.$$

El primer término invierte como $x_0E_\alpha(-\lambda t^\alpha)$. Para el segundo se usa

$$\frac{1}{s(s^\alpha+\lambda)} =\frac{1}{\lambda} \left(\frac1s-\frac{s^{\alpha-1}}{s^\alpha+\lambda}\right).$$

Entonces

$$x(t)=\frac{F}{\lambda} +\left(x_0-\frac{F}{\lambda}\right) E_\alpha(-\lambda t^\alpha).$$

El equilibrio es $F/\lambda$. Para $\alpha=1$ se obtiene la respuesta exponencial clásica. Para $0<\alpha<1$, el acercamiento al equilibrio conserva una cola algebraica. Esa cola cambia la interpretación física de la relajación; aquí importa además que la solución se dedujo con el operador y el dato inicial correctos.

Respuesta convolucional a una entrada arbitraria

La ecuación lineal

$${}^{C}D_{0+}^{\alpha}x(t)+\lambda x(t)=f(t), \qquad x(0)=x_0,$$

tiene, para $0<\alpha\le1$, la transformada

$$X(s)=x_0\frac{s^{\alpha-1}}{s^\alpha+\lambda} +\frac{F(s)}{s^\alpha+\lambda}.$$

La primera parte ya es conocida. Para la segunda se usa

$$\mathcal L^{-1}\left\{ \frac1{s^\alpha+\lambda} \right\} =t^{\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}(-\lambda t^\alpha).$$

El teorema de convolución da

$$x(t)=x_0E_\alpha(-\lambda t^\alpha) +\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1} E_{\alpha,\alpha}[-\lambda(t-\tau)^\alpha] f(\tau)\,d\tau.$$

El kernel de respuesta

$$R_\alpha(t)=t^{\alpha-1}E_{\alpha,\alpha}(-\lambda t^\alpha)$$

reemplaza a $e^{-\lambda t}$ en la fórmula de variación de constantes. Para $\alpha=1$, $E_{1,1}=e^z$ y se recupera la solución ordinaria. Das resuelve ecuaciones homogéneas, no homogéneas e integrales mediante esta estructura transformada Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 7, §§7.5-7.11, pp. 308-321 .

La fórmula también aclara la causalidad: el valor en $t$ integra entradas $f(\tau)$ con $0\le\tau\le t$. Una fuerza impulsiva, escalón o pulso produce respuestas distintas al mismo kernel. En un experimento, identificar $R_\alpha$ requiere controlar la entrada y no solo observar una relajación libre.

Identidades de desplazamiento en el segundo parámetro

La serie permite derivar relaciones útiles. Multiplicando por $t^{\beta-1}$,

$$t^{\beta-1}E_{\alpha,\beta}(\lambda t^\alpha) =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^kt^{\alpha k+\beta-1}} {\Gamma(\alpha k+\beta)}.$$

Una integral ordinaria desde cero eleva la potencia y usa la recurrencia de gamma:

$$\int_0^t\tau^{\beta-1} E_{\alpha,\beta}(\lambda\tau^\alpha)\,d\tau =t^\beta E_{\alpha,\beta+1}(\lambda t^\alpha).$$

De manera correspondiente,

$$\frac{d}{dt} \left[t^{\beta}E_{\alpha,\beta+1}(\lambda t^\alpha)\right] =t^{\beta-1}E_{\alpha,\beta}(\lambda t^\alpha).$$

Estas fórmulas permiten comprobar integrales y construir soluciones forzadas sin volver a invertir Laplace cada vez. También muestran por qué el segundo parámetro no es accesorio: registra el desplazamiento de la potencia.

Casos especiales como controles

Además de $E_1(z)=e^z$, existe la identidad

$$E_{1/2}(z)=e^{z^2}\operatorname{erfc}(-z),$$

donde $\operatorname{erfc}$ es la función error complementaria. Para un argumento negativo,

$$E_{1/2}(-x)=e^{x^2}\operatorname{erfc}(x), \qquad x\ge0.$$

Este caso permite contrastar una rutina de Mittag-Leffler con una implementación independiente de erfc. Oliveira presenta gamma incompleta y funciones error antes de las familias hipergeométricas Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 2, §2.1, pp. 18-21 .

Otro control usa $E_{2,1}(-x^2)=\cos x$ y $xE_{2,2}(-x^2)=\sin x$. Aunque el curso se concentra primero en $0<\alpha\le1$, estas identidades anticipan el oscilador de orden entre uno y dos.

Cola asintótica y región de uso

Para $0<\alpha<1$ y $x$ positivo grande, la respuesta de relajación tiene como primer término

$$E_\alpha(-x) \sim\frac{1}{x\Gamma(1-\alpha)}.$$

La exponencial decae más rápido que cualquier potencia; por eso la diferencia entre ambos modelos se vuelve especialmente visible en la cola. Sin embargo, usar solo el primer término asintótico cerca del origen produce un error grande. Una evaluación robusta divide el dominio: serie para argumentos pequeños, representación apropiada o expansión asintótica para grandes, y contraste en una zona de solapamiento.

En el plano complejo intervienen sectores y ramas. No se debe extrapolar una expansión escrita para el eje real negativo a cualquier argumento. Los contornos de Bromwich y Hankel que revisa Oliveira explican el papel de singularidades y cortes Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 4, §4.3.2, pp. 123-124; apéndice A, pp. 309-318 .

Funciones de Wright y Mainardi en difusión

Una forma de la función de Wright es

$$W_{\lambda,\mu}(z) =\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!\,\Gamma(\lambda k+\mu)}, \qquad \lambda>-1.$$

La función de Mainardi, para $0<\nu<1$, se define como un caso particular:

$$M_\nu(z)=W_{-\nu,1-\nu}(-z) =\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!\,\Gamma[-\nu k+(1-\nu)]}.$$

Estas funciones aparecen al invertir transformadas de ecuaciones de difusión fraccionaria. En el caso $\nu=1/2$, el perfil de Mainardi se relaciona con la gaussiana:

$$M_{1/2}(z)=\frac{1}{\sqrt\pi}e^{-z^2/4}.$$

El límite enlaza el propagador fraccionario con la difusión clásica. Oliveira presenta Wright y Mainardi junto con ejercicios específicos Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 3, §§3.2-3.3, pp. 72-112 . Das las utiliza en la ecuación difusión-onda y en sus funciones auxiliares Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 8, §§8.6-8.12, pp. 351-371 .

Verificación numérica de funciones especiales

Para una serie truncada en $N$,

$$E_\alpha(z)\approx \sum_{k=0}^{N}\frac{z^k}{\Gamma(\alpha k+1)},$$

un criterio operativo es exigir que varios términos consecutivos sean pequeños respecto de la suma y repetir con mayor precisión. Esa comprobación local no constituye una cota rigurosa en todos los regímenes. Para argumentos negativos grandes puede haber cancelación, y una expansión asintótica puede ser más adecuada. Se deben contrastar al menos dos representaciones en una zona de solapamiento.

Las funciones de Mittag–Leffler, Wright y Mainardi pertenecen a una misma familia de series gobernadas por cocientes de funciones gamma Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 3, pp. 69-112 . Mittag–Leffler generaliza la exponencial que resuelve la relajación; Wright y Mainardi aparecen en perfiles de propagación y difusión anómala. Las representaciones de Mellin–Barnes ofrecen continuaciones y asintóticos eficientes, pero sólo son intercambiables con las series cuando se satisfacen las condiciones del contorno y de convergencia.

Ejercicios: funciones propias y transformadas

1. Demuestra término a término que $E_\alpha(\lambda t^\alpha)$ es función propia de Caputo.
2. Obtén la transformada de $t^{\beta-1}E_{\alpha,\beta}(-\lambda t^\alpha)$.
3. Resuelve la ecuación con entrada constante y verifica $x(0)=x_0$ y el límite $\alpha=1$.
4. Evalúa $E_{1/2}(-t^{1/2})$ con dos truncamientos y registra el cambio.
5. Comprueba numéricamente el caso gaussiano de $M_{1/2}$ en una malla finita.

Mittag-Leffler describe respuestas temporales de ecuaciones fraccionarias lineales; Wright y Mainardi proporcionan perfiles para problemas de propagación.