Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville y Caputo

Una “derivada de orden $q$” no identifica por sí sola un operador. Grünwald-Letnikov parte de diferencias finitas; Riemann-Liouville deriva una integral fraccionaria; Caputo integra una derivada ordinaria. Las tres construcciones pueden coincidir bajo hipótesis adecuadas, pero no son intercambiables en cualquier función ni con cualquier dato inicial. El orden de las operaciones decide qué información aparece en el extremo inferior.

Diferencia retrospectiva de Grünwald–Letnikov

La derivada entera de orden $n$ puede escribirse mediante diferencias regresivas:

$$f^{(n)}(t) =\lim_{h\to0^+}h^{-n} \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(t-kh).$$

El coeficiente binomial admite continuación con gamma:

$$\binom{q}{k} =\frac{\Gamma(q+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(q-k+1)}.$$

Al permitir $q\in\mathbb R$ y extender la suma hasta el terminal $a$, se obtiene la forma izquierda de Grünwald-Letnikov:

$${}^{GL}D_{a+}^{q}f(t) =\lim_{h\to0^+}h^{-q} \sum_{k=0}^{\lfloor (t-a)/h\rfloor} (-1)^k\binom{q}{k}f(t-kh).$$

Para orden no entero la suma ya no termina después de pocos coeficientes. Cada valor anterior de $f$ contribuye. Herrmann presenta este paso desde la regla binomial y discute su relación con representaciones de Riemann y Caputo Herrmann, 2014 Richard Herrmann (2014) Fractional Calculus: An Introduction for Physicists 2.ª ed. · World Scientific Ubicación consultada: cap. 3, §§3.1-3.4, pp. 15-32 . Das lo usa además para mostrar por qué una matriz de diferencia fraccionaria es densa Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 3, §§3.13-3.17, pp. 130-140 .

La fórmula también anticipa un algoritmo, pero la definición contiene un límite. Reemplazarlo por un paso fijo y una suma finita produce una aproximación que debe estudiarse; no convierte automáticamente todo cálculo discreto en una identidad analítica.

Riemann-Liouville: integrar y después derivar

Sea $n-1<q<n$. La derivada izquierda de Riemann-Liouville se define mediante la integral fraccionaria de orden $n-q$:

$${}^{RL}D_{a+}^{q}f(t) =\frac{d^n}{dt^n} \left({}^{RL}I_{a+}^{n-q}f\right)(t).$$

En forma integral,

$${}^{RL}D_{a+}^{q}f(t) =\frac{1}{\Gamma(n-q)}\frac{d^n}{dt^n} \int_a^t(t-\tau)^{n-q-1}f(\tau)\,d\tau.$$

Primero se acumula la historia y después se aplica la derivada entera. En $0<q<1$ basta una derivada exterior. La construcción permite tratar funciones que no poseen todas las derivadas ordinarias requeridas por Caputo, pero introduce trazas fraccionarias en las fórmulas transformadas.

Das deriva RL y Caputo desde la misma integral repetida y los coloca lado a lado Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 3, §§3.7-3.10, pp. 119-128 . Oliveira ofrece una presentación compacta seguida por ejercicios que obligan a conservar las condiciones de existencia Oliveira, 2019 Edmundo Capelas de Oliveira (2019) Solved Exercises in Fractional Calculus Springer Ubicación consultada: cap. 5, §§5.3-5.5, pp. 176-221 .

Caputo: derivar y después integrar

Con el mismo $n-1<q<n$, la derivada de Caputo es

$${}^{C}D_{a+}^{q}f(t) =\left({}^{RL}I_{a+}^{n-q}f^{(n)}\right)(t) =\frac{1}{\Gamma(n-q)} \int_a^t(t-\tau)^{n-q-1}f^{(n)}(\tau)\,d\tau.$$

Ahora la derivada entera actúa antes de la integral. Para $0<q<1$, una constante desaparece antes de ponderar la historia:

$${}^{C}D_{a+}^{q}C=0.$$

En cambio, Riemann-Liouville produce

$${}^{RL}D_{a+}^{q}C =\frac{C}{\Gamma(1-q)}(t-a)^{-q}.$$

La singularidad cerca de $a$ no es un error de cálculo. Registra la combinación de función, terminal y operador. Si una aplicación exige que una constante represente equilibrio sin evolución, Caputo suele resultar conveniente; esa conveniencia no demuestra que sea la única elección posible.

Relación entre Riemann–Liouville y Caputo

Para una función suficientemente regular y $n-1<q<n$,

$${}^{C}D_{a+}^{q}f(t) = {}^{RL}D_{a+}^{q} \left[ f(t)-\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(t-a)^k \right].$$

De forma equivalente,

$${}^{RL}D_{a+}^{q}f(t) = {}^{C}D_{a+}^{q}f(t) +\sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{\Gamma(k-q+1)}(t-a)^{k-q}.$$

Caputo puede leerse como la derivada RL de una función a la que se restó su polinomio inicial de Taylor. En $0<q<1$ solo se resta $f(a)$. Por eso ambas derivadas coinciden sobre $t^\beta$ cuando $a=0$ y $\beta>0$ dentro del dominio admisible, pero se separan para $\beta=0$.

Derivadas de $f(t)=1+t^2$

Tomemos $a=0$ y $0<q<1$. Para una potencia $t^\beta$ con $\beta>-1$ y denominadores finitos,

$${}^{RL}D_{0+}^{q}t^\beta =\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-q+1)}t^{\beta-q}.$$

Por linealidad,

$${}^{RL}D_{0+}^{q}(1+t^2) =\frac{t^{-q}}{\Gamma(1-q)} +\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(3-q)}t^{2-q}.$$

Como $\Gamma(3)=2$,

$${}^{RL}D_{0+}^{q}(1+t^2) =\frac{t^{-q}}{\Gamma(1-q)} +\frac{2}{\Gamma(3-q)}t^{2-q}.$$

Para Caputo se deriva primero: $f'(t)=2t$. Entonces

$${}^{C}D_{0+}^{q}(1+t^2) =\frac{1}{\Gamma(1-q)} \int_0^t(t-\tau)^{-q}2\tau\,d\tau =\frac{2}{\Gamma(3-q)}t^{2-q}.$$

La diferencia es exactamente el término asociado con $f(0)=1$:

$${}^{RL}D^q f-{}^{C}D^q f =\frac{f(0)}{\Gamma(1-q)}t^{-q}.$$

Cuando $q\to1^-$, el término de la constante desaparece en el sentido compatible con el límite y el término cuadrático se aproxima a $2t$. Cerca de $t=0$, sin embargo, evaluar la forma RL requiere tratar la singularidad con cuidado.

Datos iniciales en el dominio de Laplace

Para $0<q<1$ y terminal cero,

$$\mathcal L\{{}^{C}D_{0+}^{q}x(t)\} =s^qX(s)-s^{q-1}x(0).$$

El dato es el valor ordinario $x(0)$. Para Riemann-Liouville,

$$\mathcal L\{{}^{RL}D_{0+}^{q}x(t)\} =s^qX(s)- \left[{}^{RL}I_{0+}^{1-q}x(t)\right]_{t=0^+}.$$

Aquí aparece una traza fraccionaria. Prescribir $x(0)$ y usar la segunda fórmula como si fuera la primera cambia el problema. Das dedica un capítulo completo a la inicialización y a la función de historia Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 5, §§5.2-5.11, pp. 210-237 .

Composición y términos de borde

Las integrales RL sí satisfacen una regla de semigrupo bajo hipótesis adecuadas:

$${}^{RL}I^\alpha{}^{RL}I^\beta f ={}^{RL}I^{\alpha+\beta}f.$$

No se debe trasladar esa identidad sin condiciones a las derivadas. En Caputo, la aplicación secuencial puede introducir o eliminar términos asociados con datos iniciales. Un ejemplo sencillo usa $0<q<1/2$ y $f(t)=t^q$. Primero,

$${}^{C}D^qt^q=\Gamma(q+1),$$

que es constante. Aplicar otra derivada de Caputo de orden $q$ da cero:

$${}^{C}D^q{}^{C}D^qt^q=0.$$

En cambio, una derivada única de orden $2q$ no es cero en general:

$${}^{C}D^{2q}t^q =\frac{\Gamma(q+1)}{\Gamma(1-q)}t^{-q},$$

porque en este ejemplo $0<2q<1$. Si $2q$ atraviesa un entero cambia además el número de datos iniciales y la función elegida debe satisfacer mayor regularidad. El contraejemplo muestra que

$${}^{C}D^q{}^{C}D^q\ne{}^{C}D^{2q}$$

como identidad universal. Das examina criterios de composición e inicialización antes de usar ecuaciones secuenciales Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 5, §5.8, pp. 219-222; cap. 7, §§7.12-7.19, pp. 320-343 .

Esta distinción afecta a los sistemas escritos mediante variables auxiliares. En orden entero, una ecuación de segundo orden puede convertirse en dos de primer orden. En orden fraccionario, sustituir una derivada de orden $2q$ por dos derivadas secuenciales de orden $q$ requiere demostrar la equivalencia y transportar los datos adecuados.

Acción fraccionaria sobre la función exponencial

Para la derivada ordinaria, $D e^{\lambda t}=\lambda e^{\lambda t}$. Es tentador escribir

$$D^q e^{\lambda t}=\lambda^qe^{\lambda t}$$

sin indicar el operador. Esa propiedad puede aparecer para operadores definidos sobre toda la recta y funciones con condiciones transformadas específicas, pero no es la fórmula general de Caputo con terminal cero.

Al expandir $e^{\lambda t}$ y aplicar Caputo para $0<q<1$,

$${}^{C}D_{0+}^qe^{\lambda t} =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-q+1)}t^{k-q}.$$

La respuesta depende del terminal y contiene el ajuste que hace desaparecer la constante inicial. Su transformada es

$$\mathcal L\{{}^{C}D^qe^{\lambda t}\} =\frac{s^q}{s-\lambda}-s^{q-1}.$$

El término $s^{q-1}$ impide reducirla sin más a $\lambda^q/(s-\lambda)$. La función propia natural para Caputo con dato inicial ordinario será $E_q(\lambda t^q)$.

Traslación temporal y terminal inferior

Sea $g(t)=f(t-t_0)$. Una derivada ordinaria es invariante ante la traslación: basta desplazar el argumento. En una derivada fraccionaria con terminal fijo, el intervalo histórico cambia. Para conservar la misma historia relativa debe trasladarse también el terminal:

$${}^{C}D_{(a+t_0)+}^{q}g(t+t_0) =\left({}^{C}D_{a+}^{q}f\right)(t),$$

bajo las condiciones correspondientes. Si se mueve la señal pero se deja el terminal en cero, se ha creado otro problema.

La misma precaución se aplica al escalamiento. Con $g(t)=f(ct)$ y $c>0$, la potencia dimensional sugiere un factor $c^q$, pero el terminal y el dominio deben escalar de forma consistente. Este control resulta indispensable al comparar órdenes con una escala temporal común.

Comparación numérica sin confundir definición y aproximación

Para una potencia con solución cerrada se pueden contrastar tres rutas:

1. fórmula gamma de RL o Caputo;
2. integral evaluada por cuadratura;
3. suma GL con paso $h$.

La primera es una identidad bajo sus hipótesis; las otras dos contienen error numérico. Al refinar, los resultados discretos deben acercarse a la misma referencia en los casos donde se conoce la equivalencia GL-RL. Si no convergen, se revisan pesos, terminal, orientación, singularidad y precisión de gamma antes de atribuir la diferencia a los operadores.

Un caso constante es deliberadamente más delicado: Caputo da cero, RL con terminal finito no, y una suma GL truncada puede reflejar condiciones de historia que deben interpretarse. Precisamente por eso no sirve usar una única prueba para “validar todas las definiciones”.

Riemann–Liouville y Caputo difieren por términos que contienen los datos iniciales de orden entero. Para $n-1<\alpha<n$, esa relación permite pasar de un operador al otro sólo cuando existen las derivadas requeridas y se fija el mismo terminal Das, 2020 Shantanu Das (2020) Kindergarten of Fractional Calculus Cambridge Scholars Publishing Ubicación consultada: cap. 3, §3.10, pp. 125-128 . Que ambos cálculos coincidan sobre una potencia particular no prueba equivalencia universal: también importan regularidad, dominio y la forma en que se prescribe el estado inicial.

Ejercicios: tres operadores sobre las mismas funciones

1. Calcula GL, RL y Caputo para una constante y explica cuál de los límites requiere una interpretación especial.
2. Repite el ejemplo para $t$, $t^2$ y $1+t^2$; registra dominios de $q$ y polos de gamma.
3. Verifica la relación RL-Caputo para $1+t+t^2$ con $1<q<2$.
4. Deriva las unidades del parámetro $\lambda$ en ${}^{C}D^q x=-\lambda x$.
5. Audita una ecuación publicada: ¿qué operador, terminal y dato inicial usa? Si falta uno, no intentes reproducirla hasta explicitarlo.

Una tabla de resultados no basta para comparar estos operadores. La diferencia debe explicarse por el orden en que integran y derivan; de allí salen las distintas interpretaciones de la memoria, la historia previa y los terminales distintos de cero.