Proyecto final reproducible

Definición de la pregunta de investigación

El proyecto sostiene una afirmación concreta mediante análisis matemático, cálculo reproducible y controles capaces de descubrir un error. Las unidades anteriores ya aportaron los objetos: bifurcaciones, exponentes de Lyapunov, espectros, recurrencia, cuencas, secciones de Poincaré, variedades y conexiones globales. El proyecto selecciona una relación entre dos o tres de ellos y la estudia con una pregunta que pueda responderse dentro del tiempo disponible.

“Estudiar el caos de Lorenz” no es una pregunta. Algunas versiones medibles son:

• ¿En qué intervalo de $\rho$ cambia el número de máximos de $z(t)$ retenidos, y cómo depende el diagrama del protocolo de continuación?
• ¿Qué cifras del exponente máximo permanecen al refinar paso y tiempo de medición?
• ¿Cómo cambia la fracción de destinos inciertos al refinar una sección de cuencas?
• ¿Coinciden una dimensión de correlación y una dimensión de Lyapunov dentro de la incertidumbre numérica del registro?

Cada pregunta nombra un sistema, un parámetro u observable y una prueba de robustez. También deja fuera algo. Un proyecto sobre convergencia del exponente de Lorenz no demostrará por sí mismo la existencia rigurosa del atractor ni resolverá la predictibilidad meteorológica. Lorenz muestra por qué un modelo determinista puede tener un horizonte de predicción limitado Lorenz, 1993 Edward N. Lorenz (1993) The Essence of Chaos University of Washington Press Ubicación consultada: caps. 1–3 ; el informe debe mantener separada esa idea general del alcance del sistema truncado y del experimento realizado.

Hipótesis operacional

Una hipótesis operacional anticipa qué patrón se observará y qué resultado la debilitaría. Para la pregunta sobre Lyapunov:

Al reducir $h$ y aumentar $T$, el signo de $\lambda_1$ y su primera cifra decimal se estabilizarán; la suma del espectro se acercará a la divergencia media.

La hipótesis podría fallar si las curvas no forman meseta, si la suma permanece incompatible con la divergencia o si la cifra cambia sistemáticamente con el paso. Es importante escribir estas condiciones antes de ejecutar la malla principal. De ese modo, un resultado adverso no se descarta como “simulación mala” después de verlo.

La revisión bibliográfica se usa para tomar decisiones: qué parámetro es clásico, qué algoritmo calcula el observable, qué control se espera y qué limitación ya se conoce. No se llena el informe con resúmenes de capítulos. Cada nota de lectura debe responder: “¿qué definición, método o contraste cambia en mi protocolo?”. Alligood, Sauer y Yorke combinan desarrollo matemático con visitas de laboratorio y desafíos que obligan a contrastar cálculo y exploración Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: visitas de laboratorio, desafíos y apéndice B .

Especificación del modelo

Antes del código, el informe presenta:

1. ecuaciones y dominio;
2. significado y unidades de variables y parámetros, cuando existan;
3. condición inicial o conjunto de condiciones;
4. simetrías e invariancias relevantes;
5. equilibrios y jacobiano;
6. objeto observado y regla para calcularlo.

Si se estudia Lorenz,

$$\dot x=\sigma(y-x),\qquad \dot y=x(\rho-z)-y,\qquad \dot z=xy-\beta z,$$

se fijan $\sigma=10$, $\beta=8/3$ y el intervalo de $\rho$. La divergencia

$$\nabla\cdot\mathbf f=-(\sigma+1+\beta)$$

proporciona un control para la suma de exponentes. Los equilibrios

$$O=(0,0,0),\qquad C_\pm= \left(\pm\sqrt{\beta(\rho-1)}, \pm\sqrt{\beta(\rho-1)},\rho-1\right)$$

organizan el retrato para $\rho>1$. Este análisis previo no garantiza el resultado numérico, pero crea cantidades independientes con las que detectarlo si está mal.

Para un sistema de Sprott se escribe la ecuación completa; para un mapa se declara que el índice cuenta iteraciones; para un modelo físico se conservan unidades o se documenta la adimensionalización. Un nombre de interfaz nunca reemplaza el contrato matemático.

Registro auditable del cálculo

El protocolo numérico fija versión del programa, integrador, paso o tolerancias, tiempo total, transitorio, regla de muestreo y precisión. Los archivos de configuración deben bastar para reconstruir una ejecución. La fecha no es un identificador científico: dos ejecuciones pueden ocurrir el mismo día con parámetros distintos. Conviene usar nombres que codifiquen sistema, observable, parámetro principal y resolución, además de un manifiesto con todos los valores.

Una estructura pequeña puede ser:

proyecto/
  README.md
  environment.txt
  configs/
    lorenz_rho28_h001.yml
  src/
    simulate.py
    diagnostics.py
    figures.py
  data/
    raw/
    processed/
  figures/
  tables/
  report/

Los datos sin procesar no se editan a mano. Una etapa separada crea datos procesados y registra su origen. Las figuras se regeneran desde un comando documentado. Si una exportación de Toolbox Chaos es la entrada, se conserva junto con la configuración y la versión de la aplicación.

Tél y Gruiz advierten que una simulación numérica debe juzgarse por el problema que resuelve y por sus controles, no por la cantidad de puntos generados Tél, 2006 Tamás Tél y Márton Gruiz (2006) Chaotic Dynamics: An Introduction Based on Classical Mechanics Cambridge University Press Ubicación consultada: recuadro 5.4 y apéndice A.3–A.5 . Por eso cada resultado importante tiene una tabla de procedencia: archivo de entrada, configuración, script, versión y archivo de salida.

Convergencia del espectro de Lyapunov de Lorenz

La pregunta será:

¿Qué parte del espectro de Lyapunov de Lorenz se conserva al refinar paso y tiempo de medición?

Se fija $(\sigma,\rho,\beta)=(10,28,8/3)$, condición inicial $(1,1,1)$, transitorio $20$ e intervalo QR físico $\tau=0.1$. Se usa RK4 con

$$h\in\{0.02,0.01,0.005\}, \qquad T\in\{50,100,200\}.$$

La ecuación variacional se integra junto con el estado. Para cada una de las nueve ejecuciones se guardan $\lambda_i(t)$, valores finales, suma del espectro, tiempo de cómputo y promedio de la divergencia. La discrepancia de control es

$$\Delta_{\mathrm{div}}= \left| \sum_{i=1}^3\lambda_i+\frac{41}{3} \right|.$$

Una segunda medida compara resultados consecutivos:

$$\Delta_h^{(i)}= \left|\lambda_i(h,T)-\lambda_i(h/2,T)\right|, \qquad \Delta_T^{(i)}= \left|\lambda_i(h,T)-\lambda_i(h,2T)\right|.$$

La conclusión no se elige por cercanía a un número publicado. Se decide con criterios previos, por ejemplo: conservar una cifra decimal si todas las ejecuciones con $h\leq0.01$ y $T\geq100$ coinciden en ella, si $\Delta_{\mathrm{div}}$ disminuye y si las curvas acumuladas muestran una meseta. Si el criterio no se cumple, se informa que la malla estudiada no basta.

Para corto plazo también puede calcularse

$$E_h(T_0)= \max_{0\leq t_k\leq T_0} \|\mathbf{x}_h(t_k)-\mathbf{x}_{h/2}(t_k)\|.$$

$T_0$ se fija antes de observar la separación y debe ser suficientemente corto para que ambas integraciones comparen la misma fase. A largo plazo se contrastan tasas, distribuciones y geometría; exigir coincidencia punto a punto en un régimen sensible sería un criterio equivocado.

Sprott describe exponentes, dimensión, cuencas y métodos como diagnósticos que se complementan Sprott, 2010 Julien Clinton Sprott (2010) Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows World Scientific Ubicación consultada: §§1.9–1.15 . El proyecto debe justificar por qué selecciona un diagnóstico principal y uno independiente de control.

Figuras y afirmaciones científicas

Cada figura responde una oración del argumento. Debe incluir ejes, unidades, leyenda, pie interpretativo y configuración rastreable, pero no un título dentro del área gráfica. El pie nombra la comparación y responde:

• qué se calculó;
• con qué parámetros y método;
• qué representan color, línea o punto;
• qué patrón se observa;
• qué límite impide una conclusión más amplia.

Una comparación visual entre Lorenz, Rössler y Sprott B puede abrir una pregunta sobre retorno o disipación, pero el tamaño aparente depende de la escala de los ejes. Si la afirmación habla de “mayor expansión”, debe usar un exponente; si habla de “retornos más regulares”, debe definir una sección y medir intervalos.

No se deben ocultar corridas que contradicen el patrón. Si una figura principal usa la mejor resolución, una tabla o anexo muestra cómo cambió desde las resoluciones anteriores. Una discrepancia explicada puede ser el resultado más importante: revela que la afirmación depende de transitorio, condición inicial, clasificador o integrador.

Pruebas de robustez de la conclusión

La robustez se evalúa modificando una decisión por vez:

• reducir el paso o estrechar tolerancias;
• duplicar transitorio y horizonte;
• cambiar condición inicial dentro de la misma cuenca;
• probar otra condición en una cuenca distinta si hay coexistencia;
• cambiar resolución de parámetro o malla espacial;
• comparar un segundo integrador;
• recalcular con una definición alternativa del observable.

El resultado adverso se anticipa. En un diagrama de bifurcación, una rama que desaparece al aumentar el transitorio era provisional. En una dimensión de correlación, la ausencia de meseta impide reportar una cifra. En una cuenca, una frontera que cambia con el paso puede ser un artefacto. En un espectro, picos que se mueven con la longitud de segmento requieren revisar la estimación.

Entrega y defensa

La entrega mínima contiene:

1. un protocolo de una página con pregunta, hipótesis, exclusiones y pruebas adversas;
2. ecuaciones, análisis previo y bibliografía situada;
3. repositorio o paquete con configuración, código y versiones;
4. datos necesarios para regenerar tablas y figuras;
5. cuatro figuras principales y una tabla de convergencia;
6. informe breve con resultados, límites y trabajo pendiente;
7. exposición en la que se reconstruya una ejecución.

Una rúbrica útil distribuye el peso entre corrección matemática, calidad del control numérico, trazabilidad, interpretación visual y defensa. No concede la máxima calificación a una figura espectacular si no puede reproducirse o si su pie afirma más de lo calculado.

Durante la defensa deben poder responderse preguntas concretas: ¿por qué ese transitorio?, ¿qué cambia al reducir el paso?, ¿cómo se eligió la ventana de ajuste?, ¿qué archivo produce la figura 2?, ¿qué resultado habría debilitado la hipótesis?, ¿qué afirmación es exacta y cuál es experimental? Si una respuesta depende de memoria informal, falta documentarla.

Preguntas de proyecto por sistema

El alcance recomendado es una pregunta principal y una comprobación independiente:

• Mapa logístico: localizar una ventana periódica y validar su ciclo con multiplicadores.
• Lorenz: estudiar convergencia del espectro y contrastar su suma con la divergencia.
• Rössler: relacionar una sección de Poincaré con tiempos de retorno y espectro.
• Sprott: comparar dos flujos compactos mediante divergencia, Lyapunov y una sección común.
• Cuencas: estimar incertidumbre a varias escalas y repetir con mayor horizonte.
• Bifurcación: comparar reinicio y continuación, documentando coexistencia.

No es necesario usar todas las herramientas del curso. Una pregunta estrecha con controles sólidos enseña más que una colección de paneles desconectados.

Comprobaciones de reproducibilidad antes de entregar

Antes de entregar, confirma:

• la pregunta coincide con la conclusión;
• todas las variables y parámetros están definidos;
• cada cita aparece donde se usa el concepto o método;
• los datos brutos permanecen intactos;
• las figuras se regeneran desde instrucciones escritas;
• existe al menos una prueba de refinamiento;
• los estados no resueltos o fallos no fueron ocultados;
• las cifras reportadas se conservan bajo los controles declarados;
• una persona externa puede reproducir una ejecución sin instrucciones orales.