Interpolación, diferenciación y cuadratura

Interpolar, diferenciar e integrar datos parecen tres tareas separadas. En realidad comparten una pregunta: ¿qué información sobre una función puede recuperarse con una cantidad finita de valores? La respuesta depende de regularidad, distribución de nodos, ruido y escala. Un polinomio que pasa exactamente por todos los datos puede oscilar; una derivada amplifica ruido; una integral suele suavizarlo, pero puede acumular sesgo.

Taylor, la interpolación de salidas y la cuadratura aparecen en experimentos de EDO. Aquí se derivan sus fórmulas, se usan las interfaces correspondientes de SciPy y se sitúan las referencias académicas que vinculan estas herramientas con los sistemas dinámicos.

Interpolación y supuestos entre nodos

Dados nodos distintos $x_0,\ldots,x_n$ y valores $y_i$, existe un polinomio de grado a lo sumo $n$ que interpola todos. En forma de Lagrange,

$$p_n(x)=\sum_{i=0}^ny_iL_i(x), \qquad L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

Si $f$ tiene $n+1$ derivadas, el error en un punto puede escribirse

$$f(x)-p_n(x)= \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n(x-x_i).$$

La fórmula muestra dos factores: regularidad y geometría de nodos. Aumentar el grado con nodos equiespaciados no garantiza mejora; cerca de los extremos puede aparecer el fenómeno de Runge. Nodos de Chebyshev controlan el producto y reducen oscilación en aproximación global.

Para datos tabulados o salidas de una simulación, los splines cúbicos construyen polinomios por intervalos con continuidad de derivadas. Evitan el grado global alto y permiten condiciones de frontera naturales, sujetas u otras. La elección afecta curvatura en los extremos; debe formar parte del resultado.

La documentación oficial de interpolación en SciPy reúne interpoladores 1D, splines, PCHIP y herramientas multidimensionales. PCHIP preserva monotonicidad local y evita sobrepasos en datos monótonos; un spline cúbico suave puede crear máximos que los datos nunca tuvieron. Ninguno conoce la física si no se le imponen restricciones.

Localización de cruces por interpolación

Supón una función de evento conocida en dos tiempos:

$$g(t_n)=-0.08, \qquad g(t_{n+1})=0.12, \qquad h=t_{n+1}-t_n=0.1.$$

La interpolación lineal coloca la raíz en

$$t_c=t_n-h\frac{g(t_n)}{g(t_{n+1})-g(t_n)} =t_n+0.04.$$

El resultado usa sólo valores extremos y es compatible con una trayectoria lineal dentro del paso. Si el integrador dispone de un polinomio denso de mayor orden, se resuelve allí $g(t)=0$ y se conserva la precisión del método. Ajustar un spline global a toda la trayectoria sería innecesario y podría introducir raíces espurias.

Verifica también la dirección. Si $\dot g(t_c)>0$, el cruce es positivo. Una raíz localizada con precisión pero en el sentido equivocado no pertenece a la sección definida.

Diferenciación numérica y amplificación del ruido

Taylor alrededor de $x$ da

$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+O(h^3),$$

por lo que la diferencia hacia adelante

$$D_+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

tiene error de truncamiento $O(h)$. Al combinar expansiones simétricas,

$$D_0f(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} =f'(x)+\frac{h^2}{6}f^{(3)}(x)+O(h^4).$$

Reducir $h$ baja el truncamiento, pero divide por un número menor el error de datos y redondeo. Un modelo simple para la diferencia central es

$$E(h)\approx C_th^2+C_r\frac{u}{h}.$$

Existe una zona óptima; refinar indefinidamente empeora. Fuchs usa Taylor como herramienta básica antes de los procedimientos computacionales, lo que permite derivar estas fórmulas en lugar de tratarlas como plantillas. Fuchs, 2013 Armin Fuchs (2013) Nonlinear Dynamics in Complex Systems: Theory and Applications for the Life-, Neuro- and Natural Sciences Springer Ubicación consultada: cap. 10, sección 10.4, pp. 193–195

Si los datos contienen ruido de amplitud $\sigma$, la derivada por diferencias tiene ruido del orden de $\sigma/h$. En series experimentales puede ser necesario suavizar con un modelo explícito —por ejemplo un spline regularizado o un ajuste local— y propagar la elección. Suavizar primero y derivar después cambia el estimador; no debe ocultarse.

Para funciones analíticas implementadas con operaciones compatibles, el paso complejo

$$f'(x)\approx\frac{\operatorname{Im}f(x+ih)}{h}$$

evita la resta cancelante y permite $h$ muy pequeño. Falla con operaciones no analíticas como valor absoluto, ramas condicionales o código que descarta la parte imaginaria. La documentación de scipy.differentiate proporciona diferenciación numérica y control de error; revisa dominio, tolerancias y estado de convergencia.

Cuadratura de integrales y cantidades acumuladas

Para nodos uniformes $x_i=a+ih$, la regla compuesta del trapecio es

$$T_h=h\left[ \frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) \right].$$

Si $f$ es dos veces diferenciable, el error global es $O(h^2)$. Simpson combina pares de subintervalos:

$$S_h=\frac h3 \left[f_0+f_n+4\sum_{i\ \mathrm{impar}}f_i+ 2\sum_{i\ \mathrm{par},\ 0<i<n}f_i\right]$$

y tiene error $O(h^4)$ bajo mayor regularidad y un número par de subintervalos. Aplicar los pesos de Simpson a una malla no uniforme sin modificación es incorrecto.

La cuadratura adaptativa estima error al comparar subdivisiones y concentra evaluaciones donde la función cambia. Singularidades integrables, oscilaciones rápidas y colas infinitas requieren transformaciones o algoritmos adecuados. La documentación oficial de integración en SciPy separa cuadratura de funciones, datos muestreados e integración de EDO; escoger la familia equivocada cambia el problema.

Periodo calculado mediante una integral de energía

Para un oscilador conservativo

$$\frac12\dot x^2+V(x)=E,$$

el semiperiodo entre puntos de retorno $x_-$ y $x_+$ es

$$\frac{T(E)}2= \int_{x_-}^{x_+} \frac{dx}{\sqrt{2(E-V(x))}}.$$

El integrando tiene singularidades integrables en los extremos porque $E-V(x_\pm)=0$. Una malla uniforme que evalúa exactamente allí produce división por cero. Puede usarse una sustitución que suavice los extremos o una cuadratura que acepte puntos singulares conocidos.

En el péndulo $V(\theta)=1-\cos\theta$. Para amplitudes pequeñas, la cuadratura recupera $T\approx2\pi$ en unidades adimensionales. Al acercarse la energía a la separatriz $E=2$, el periodo diverge. Este crecimiento no es un artefacto si persiste bajo tolerancias y una transformación adecuada; expresa el tiempo largo que la órbita pasa cerca de la silla.

Datos no uniformes y series temporales

La regla trapezoidal para nodos no uniformes usa

$$\int f(x)dx\approx \sum_i\frac{x_{i+1}-x_i}{2}(f_i+f_{i+1}).$$

Antes de diferenciar, la malla debe entrar en los pesos. Fórmulas uniformes aplicadas a pasos adaptativos introducen sesgo. Para FFT, en cambio, se necesita remuestrear a tiempos uniformes mediante la salida densa del integrador, no interpolar de forma independiente una nube mal documentada.

Alligood, Sauer y Yorke incluyen salida e integración dentro del apéndice computacional de dinámica. La fuente sostiene el contexto, pero las interfaces modernas de interpolación y cuadratura se toman de SciPy. Alligood, 1996 Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer y James A. Yorke (1996) Chaos: An Introduction to Dynamical Systems Springer Ubicación consultada: apéndice B, pp. 567–576

Para validar una derivada o integral:

1. usa una función con resultado exacto;
2. refina la malla y estima el orden;
3. añade ruido controlado y observa la sensibilidad;
4. cambia nodos uniformes por no uniformes;
5. reporta la extrapolación por separado de la interpolación.

Tél y Gruiz presentan programas y técnicas de integración dentro de experimentos de caos; esa práctica refuerza que una señal procesada debe conservar su malla y protocolo. Tél, 2006 Tamás Tél y Márton Gruiz (2006) Chaotic Dynamics: An Introduction Based on Classical Mechanics Cambridge University Press Ubicación consultada: apéndices A.3–A.4, pp. 329–336

Validación con ruido, refinamiento y extrapolación

Interpolar reconstruye bajo una hipótesis de forma; diferenciar expone variaciones y amplifica errores; la cuadratura acumula y suele suavizar. La malla, la regularidad y el ruido deciden cuál aproximación es defendible en cada caso.